Lösungen zum Thema Folgen und Reihen

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1 Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Lösuge zum Thema Folge ud Reihe Lösug zu Aufgabe 1. a) (a ) N ist eie arithmetische Folge mit d = 11 ud damit ist a 75 = 7 + (75 1) ( 11) = 807. b) (b ) N ist eie geometrische Folge mit q = 31 6 ud damit ist b 4 = 36 ( 31 6 )3 = 4965, c) (c ) N ist eie geometrische Folge mit q = 5 ud damit ist c 8 = 5 ( 5) 7 = ( 5) 8 = d) (d ) N ist eie arithmetische Folge mit d = 1 3 ud damit ist d 16 = 1 + ( ) = 5 1. Lösug zu Aufgabe. a) Es wird die Formel zur Bestimmug vo eizele Folgeglieder arithmetischer Folge verwedet: a = 1 + ( 1) = 1 + = 10. Es gilt 10 > > > 455. Damit ist das erste Glied dieser arithmetische Folge, welches größer als ist, das 456. Folgeglied. Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, Regesburg schueler.zirkel@mathematik.ui-regesburg.de

2 b) Eie geometrische Folge (b ) N = 1, b, b 3, b 4, 56,... ist gegebe. Somit ist das füfte Folgeglied b 5 = 56 bekat. Nu ka der Quotiet q der geometrische Folge mit der Formel zur Bestimmug eizeler Folgeglieder berechet werde: 56 = 1 q = q 4 q = 4. Die gesuchte Zahle b, b 3, b 4 köe u mit derselbe Formel berechet werde: b = = 4 b 3 = = 16 b 4 = = 64 Alterative: 56 = 8 ud 1 = 0. Es köe die drei Zahle = 4, 4 = 16 ud 6 = 64 eigeschobe werde, damit eie geometrische Folge etsteht. c) Die Differez zweier Folgeglieder der Fiboacci-Folge ist stets das vorherige Folgeglied: f + f +1 = f. Somit ist das erste Folgeglied f zu fide, für das gilt: f > 100. Dieses sei das -te Folgeglied. Da ist die Differez zwische dem ( + )-te ud dem ( + 1)-te Glied geau das -te Glied. Wird die Fiboacci-Folge fortgesetzt (f ) N = 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144,..., erhält ma f 1 = 144 als erstes Folgeglied, das größer als 100 ist. Damit ist also ab dem 14. Folgeglied der Uterschied zwische zwei beachbarte Folgeglieder größer als 100. Lösug zu Aufgabe 3. a) Die explizite Bildugsgesetze laute (a ) N = +1 ud (b ) N = 4. b) c : explizit: (c ) N = 1 + ( 1) ( 5) rekursiv: c = c 1 5, mit c 1 = 1, N d : explizit: (d ) N = 1 1 rekursiv: d = 1 d 1, mit d 1 = 1, N c) Gegebe ist die Folge (e ) N = 1, 3, 5, 7, 9,... Eie explizite Form für diese Folge ist (e ) N = 1 + ( 1). Lösug zu Aufgabe 4. a) (a ) N = +3 ist gegebe. Berechet ma die erste Folgeglieder, so erhält ma: a 1 = 1 5 ; a = 7 ; a 3 = 3 9 = 1 3. Damit ist also a 3 > a > a 1. Vermutug:

3 Durch Umformuge erhält ma: (+3) +3 5(+3) 0 5 ( + 3) ud dies gilt für alle N. Somit ist a 1 = 1 5 eie utere Schrake. Wege a < = 1 ist 1 eie obere Schrake. b) (b ) N = +1 ist gegebe. Die erste Folgeglieder laute: b 1 = 1 ; b = 4 3 ; b 3 = 9 4. Es gilt also b 3 > b > b 1. Vermutug: Durch Umformuge erhält ma: Ud dies gilt für alle N. Somit ist b 1 = 1 eie utere Schrake (+1) (+1) ( 1) 1. Da der Zähler scheller wächst als der Neer, wird die Folge (b ) N = groß. Die Folge b besitzt also keie obere Schrake. +1 beliebig c) Die Folge immt abwechseld ur die Werte 1 ud 1 a. Damit ist 1 eie obere Schrake ud 1 eie utere Schrake. Lösug zu Aufgabe 5. a) (a ) N ist eie streg mooto steigede Folge. a +1 a = (+1) + + = ++1+ = +1 = + 1. Da + 1 > 0 für alle N gilt, ist die Folge a streg mooto steiged. b) Die Folge (b ) N ist weder mooto steiged och mooto falled. b = Berechet ma eiige Folgeglieder, so erhält ma: = ( 5) (+) b 1 = 16 9 ; b = 9 16 ; b 3 = 4 5 ; b 10 = Also gilt: b 1 > b aber b 3 < b 10. Die Folge b ist daher weder mooto steiged och falled. 3

4 c) Die Folge c ist eie streg mooto fallede Folge. Wir bilde de Quotiete aus c +1 ud c : c = (+1) 3 = ( 3 ). ( 3 )+1 ( = ( 3 )+1 3 ) ( 3 ) = 3. Da 3 < 1 ist, gilt c +1 < c. Damit ist die Folge c eie streg mooto fallede Folge. Lösug zu Aufgabe 6. a) s 7 = = s 1 = 1; s = 1 1 = 1 ; s 3 = = 5 6 Somit ist s 1 > s ud s < s 3. Demach ist die alterierede harmoische Reihe weder mooto steiged och mooto falled. b) Die harmoische Reihe s = besitzt keie obere Schrake. Dies ka gezeigt werde, idem ma die Reihe abschittsweise mit 1 ach ute abschätzt: Für beliebiges k N ud k gilt: s = ( ) + ( ) ( 1 k ) k k 1 1 = 1 + k k Die harmoische Reihe wächst - zwar immer lagsamer, aber ubegrezt - über jede Schrake hiaus. c) Die -te Partialsumme der geometrische Reihe lässt sich wie folgt bereche: s = a 1 + a 1 q + a 1 q + a 1 q a 1 q 1 s = a 1 (1 + q + q + q q 1 ). (I) Multipliziert ma auf beide Seite q, ergibt sich q s = a 1 (q + q + q q ). (II) Zieht ma die beide Gleichuge voeiader ab (I-II), ergibt sich: s qs = a 1 (1 + q + q + q q 1 ) a 1 (q + q + q q ) s qs = a 1 (1 q ) s (1 q) = a 1 (1 q ) s = a 1(1 q ) 1 q, für q 1 s = a 1 1 q 1 q, für q 1 4

5 d) Die Folge (a ) N = ist gegebe. Damit ist s 100 die Summe der erste 100 atürliche Zahle, also Addiert ma (wie der Mathematiker Carl Friedrich Gauß bereits i seier Kidheit) immer zwei Summade, die i der Summe 101 ergebe, kommt ma schell zur Lösug: ( ) + ( + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) (49 + 5) + ( ) = = Alterative: Ket ma die etsprechede sogeate Gauß sche Summeformel s = (+1) für die Summe der erste aufeiaderfolgede Zahle, ergibt sich damit für = 100: s 100 = = e) Die Folge aus 3c) (e ) N = 1, 3, 5, 7, 9,... ist die Folge der ugerade atürliche Zahle. Die dazugehörige Reihe ist die Summe der ugerade atürliche Zahle. Die Partialsumme sid daher s 1 = 1, s = = 4, s 3 = = 9, s 4 = = 16, also 1, 4, 9, 16,... Das ist geau die Folge der Quadratzahle (1,, 3, 4,...). [Beweis mit vollstädiger Iduktio siehe hierzu Lösug des Themeblattes Iduktio vom Schuljahr 01/013.] 5