Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

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1 KAPITEL 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 1 Veränderliche Koeffizienten Analog zu den linearen Dierentialgleichungen 2 Ordnung gilt: 75

2 76 5 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN n-ter ORDNUNG Form Standardform Anfangsbedingungen A n x)y n) x) + A n 1 x)y n 1) + + A 1 x)y + A 0 x)y = Gx), wobei A n, A n 1,, A 1, A 0 und G stetige, reellwertige Funktionen auf einem Intervall α < x < β sind und A n x) auf diesem Intervall nirgends Null ist y n) x) + a n 1 x)y n 1) + + a 1 x)y + a 0 x)y = gx), wobei a n 1,, a 1, a 0 und g stetige, reellwertige Funktionen auf einem Intervall α < x < β sind yx 0 ) = y 0, y x 0 ) = y 0,, y n 1) x 0 ) = y n 1) 0 Wronski- Determinante W y 1, y 2,, y n ) = y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n y n 1) 1 y n 1) 2 y n n 1) linear unabhangig W y 1, y 2,, y n )x 0 ) 0 an einer Stelle α < x 0 < β linear abhangig W y 1, y 2,, y n )x) = 0 fur alle x mit α < x < β Losungsbasis der homogenen Dierentialgl Losungsstruktur Fundamentalsystem jede Losung der homogenen Dgl lasst sich als Linearkombination darstellen) von n linear unabhangigen Losungen yx) = c 1 y 1 x) + c 2 y 2 x) + c n y n x) + Y x), wobei c 1 y 1 x) + c 2 y 2 x) die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung und Y x) eine spezielle der inhomogenen Dierentialgleichung ist Satz 24 Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Es seien die Funktionen a 0, a 2,, a n 1 und g stetig auf dem oenen Intervall I, dann existiert genau eine Losung yx) der inhomogenen Dierentialgleichung, die die Anfangsbedingungen erfullt Diese Losung existiert auf dem gesamten Intervall I

3 1 VERANDERLICHE KOEFFIZIENTEN 77 Satz 25 Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung) Es seien a 0, a 2,, a n 1 und g stetig auf dem oenen Intervall I Sind die Funktionen y 1 x), y 2 x),, y n x) Losungen der zugehorigen homogenen Dierentialgleichung und ist W y 1, y 2,, y n ) 0 in mindestens einem Punkt x 0 aus I, so kann jede Losung der homogenen Dierentialgleichung als Linearkombination der Losungen y 1 x), y 2 x),, y n x) ausgedruckt werden Beispiel 33 Die Funktionen x, x 2 und 1 x x 3 y + x 2 y 2xy + 2y = 0, x 0 bilden eine Losungsbasis fur Dazu muss man zeigen, dass die angegebenen 3 Funktionen Losungen der angegebenen linearen Dierentialgleichung 3 Ordnung sind und linear unabhangig Es gilt x) = 1, x) = 0, x 2) = 0 und weiterhin x x 2 0 2x 1 + 2x = 0, x 2 ) = 2x, x 2 ) = 2, x 2 ) = 0 x x 2 2 2x 2x + 2x 2 = 0 sowie ) 1 = 1 ) 1 x x, = 2 ) 1 2 x x, = 6 3 x x 4 x 3 6x ) ) 2 + x 2 2x 1x ) x = 0 x 3 Nun soll die lineare Unabhangigkeit mit Hilfe der Wronski-Determinante nachgewiesen werden: y 1 y 2 y 3 x x 2 1 W y 1, y 2, y 3 ) = y 1 y 2 y 3 x = 1 2x 1 y 2) 1 y 2) 2 y 2) x = x 2 x 2 = x 3 Eine spezielle Losung der inhomogene Dierentialgleichung kann man wiederum versuchen mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten zu berechnen, der Ansatz ergibt sich aus der Basislosung: Y x) = c 1 x)y 1 x) + c 2 x)y 2 x) + + c n x)y n x)

4 78 5 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN n-ter ORDNUNG Das ist aber nur eine Bedingung, wir brauchen insgesamt n Bedingungen und mussen deshalb n 1 weitere nden Diese erhalten wir dadurch, dass wir fordern, dass die k-te Ableitung Y k) x) = c 1 y k) 1 x) + c 2 y k) 2 x) + + c n y k) n x), k = 1, 2,, n 1, 31) ist, dh wir erhalten die folgenden n 1 Gleichungen: c 1x)y i) 1 x) + c 2x)y i) 2 x) + + c nx)y i) n x) = 0, i = 0, 1, 2,, n 2 Wir erinnern daran, dass Y eine Losung der inhomogenen Dierentialgleichung muss Ersetzen wir die Ableitungen von Y durch die Ausdrucke in 31) und erinnern daran, dass die y 1, y 2,, y n Losungen der homogenen Dierentialgleichung sind, so erhalt man c 1x)y n 1) 1 x) + c 2x)y n 1) 2 x) + + c nx)y n 1) x) = fx), dh wir erhalten das Gleichungssystem c 1x)y 1 x) + c 2x)y 2 x) + + c nx)y n x) = 0, c 1x)y 1) 1 x) + c 2x)y 1) 2 x) + + c nx)y 1) n x) = 0, c 1x)y 2) 1 x) + c 2x)y 2) 2 x) + + c nx)y 2) n x) = 0, c 1x)y n 2) 1 x) + c 2x)y n 2) 2 x) + + c nx)y n 2) n x) = 0, c 1x)y n 1) 1 x) + c 2x)y n 1) 2 x) + + c nx)y n n 1) y 1 y 2 y 3 y n y 1 y 2 y 3 y n y n 2) 1 y n 2) 2 y n 2) 3 y n n 2) y n 1) 1 y n 1) 2 y n 1) 3 y n n 1) c 1 c 2 n c n 1 c n x) = fx), = fx) Dieses Gleichungssystem fur c 1x), c 2x),, c nx) ist genau dann eindeutig losbar, wenn die Koezientenmatrix eine Determinante besitzt, die ungleich Null ist Da die auftretende Determinante die Wronski-Determinante ist und die Funktionen y 1, y 2,, y n eine Losungsbasis bilden, ist das Gleichungssystem eindeutig losbar und mit Hilfe der Cramerschen Regel erhalt man c mx) = fx)w mx), m = 1, 2,, n, W x) wobei W x) = W y 1, y 2,, y n )x) und W m x) diejenige Determinante, die man aus W x) erhalt, wenn man die m-te Spalte durch 0, 0,, 0, 1) T ersetzt Mit dieser Schreibweise ergibt sich die partikulare Losung Y x) = n y m x) m=1 x x 0 fξ)w m ξ) W ξ) dξ

5 2 HOMOGENE DIFFERENTIALGLEICHUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 79 2 Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Die homogene lineare Dierentialgleichung n-ter Ordnung lautet in Standardform: y n) + a n 1 y n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0, mit reellwertigen oder auch komplexwertigen Koezienten a n 1,, a 1, a 0 Der Ansatz ist wieder der λ-ansatz: yx) = e λx, λ C Dann geht die Dierentialgleichung in des charakteristische Polynom χλ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0 uber Jenachdem ob eine Nullstelle einfach reell, k-fach reell oder einfach komplex bzw k-fach komplex vorliegt, ergeben sich die folgenden Basislosungen: Losung der charakteristischen Gleichung λ R, einfach reell Basislosung e λx λ R, k-fach reell e λx, x λx, x k 1 e λx, λ = a ± bi, einfach komplex e ax cosbx), e ax sinbx), λ = a ± bi, k-fach komplex e ax cosbx), xe ax cosbx),, x k 1 e ax cosbx), als Beispiel 34 Man zeige, dass die allgemeine Losung von geschrieben werden kann Man bestimme die Losung, welche y 4) y = 0 yx) = c 1 cos x + c 2 sin x + c 3 sinh x + c 4 cosh x y0) = 0, y 0) = 0, y 0) = 1, y 4) 0) = 1 e ax sinbx), xe ax sinbx),, x k 1 e ax sinbx) erfullt Warum ist es gunstiger, anstelle von e x und e x die Losungen cosh x und sinh x zu verwenden Als erstes stellen wir das charakteristische Polynom auf: λ 4 1 = 0 λ 2 1)λ 2 + 1) = 0

6 80 5 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN n-ter ORDNUNG Oensichtlich hat diese Gleichung die Losungen: λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = i, λ 4 = i Das ergibt die allgemeine Losung der homogenen Dierentialgleichung yx) = c 1 cos x + c 2 sin x + C 3 e x + C 4 e x Nun ist aber cosh x = 1 2 e x + e x), sinh x = 1 2 e x e x) C 3 e x + C 4 e x = 1 2 C 3 C 4 ) e x + e x) C 3 + C 4 ) e x e x) = c 3 cosh x + c 4 sinh x bzw yx) = c 1 cos x + c 2 sin x + c 3 sinh x + c 4 cosh x Diese Darstellung ist gunstiger, da sinh x) = cosh x, cosh x) = sinh x und sinh 0 = 0, cosh 0 = 1 Zu Losung des Anfangswertproblems betrachten wir y0) = c 1 cos 0 + c 2 sin 0 + c 3 sinh 0 + c 4 cosh 0 = c 1 + c 4 = 0, y 0) = c 1 sin 0 + c 2 cos 0 + c 3 cosh 0 + c 4 sinh 0 = c 2 + c 3 = 0, y 0) = c 1 cos 0 c 2 sin 0 + c 3 sinh 0 + c 4 cosh 0 = c 1 + c 4 = 1, Mit der Losung y 0) = c 1 sin 0 c 2 cos 0 + c 3 cosh x + c 4 sinh 0 = c 2 + c 3 = 1 c 1 = c 2 = 1 2, c 3 = c 4 = 1 2 Dh die Losung des Anfangswertproblems ist yx) = 1 2 cos x sin x 1 2 sinh x 1 cosh x 2 21 Inhomogenene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Hier empehlt es sich, wenn moglich einen Ansatz vom Typ der rechten Seite zu machen Fur die partikulare Losung von a n y n) + a n 1 y n 1) + a 1 y + a 0 y = fx) kann man fur die entsprechenden rechten Seite die folgenden Ansatze wahlen:

7 2 HOMOGENE DIFFERENTIALGLEICHUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 81 fx) Y x) P m x) = b m x m +b m 1 x m x s B m x m + B m 1 x m B 0 ) b 0 P m x)e αx sinβx) P m x)e αx cosβx) x s B m x m + B m 1 x m B 0 ) e αx x s [B m x m + B m 1 x m B 0 ) e αx cosβx) + B m x m + B m 1 x m B 0 ) e αx sinβx)], dabei ist s die Vielfacht von 0 bzw α bzw α+iβ als Nullstelle der charakteristische Gleichung