15. Bereichsintegrale

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1 H.J. Oberle Analysis III WS 212/ Bereichsintegrale 15.1 Integrale über uadern Ziel ist die Berechnung des Volumens unterhalb des Graphen einer Funktion f : R n D R, genauer zwischen dem Graphen von f und der x Ebene. Wir bezeichnen wir dieses Volumen als Integral V = f(x) dx. D 2 Im Bild rechts ist D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} z und f : D R +, z = f(x, y) x y

2 Die Konstruktion des Integrals erfolgt wie im Fall einer Variablen. Zunächst betrachten wir o.e.d.a. n = 2 und den Fall eines kompakten uaders (Rechtecks) als Definitionsbereich. Sei also = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] und f : R eine beschränkte Funktion. Definition (15.1.1) a) Z = {(x, x 1,..., x n ), (y, y 1,..., y m )} heißt eine Zerlegung des uaders, falls gelten: a 1 = x < x 1 <... < x n = b 1 und a 2 = y < y 1 <... < y m = b 2. Mit Z() wird die Menge der Zerlegungen von bezeichnet. Ferner heißt Z := max i,j { x i+1 x i, y j+1 y j } die Feinheit einer Zerlegung Z. b) Zu Z Z() sind ij := [x i, x i+1 ] [y j, y j+1 ] die Teilquader der Zerlegung und vol( ij ) := (x i+1 x i ) (y j+1 y j ) das Volumen des Teilquaders ij. 456

3 c) Die Riemannsche Untersumme bzw. Obersumme von f zur Zerlegung Z Z() ist gegeben durch U f (Z) := i,j O f (Z) := i,j inf {f(x) : x ij } vol( ij ), sup {f(x) : x ij } vol( ij ). Für beliebige Punkte x ij ij R f (Z) := i,j heißt f(x ij ) vol( ij ) eine (allgemeine) Riemannsche Summe von f zur Zerlegung Z. Bemerkungen (15.1.2) a) Für eine beliebige Riemannsche Summe gilt stets U f (Z) R f (Z) O f (Z). 457

4 b) Entsteht eine Zerlegung Z 2 aus Z 1 durch Verfeinerung (d.h. durch Hinzunahme weiterer Zwischenpunkte x i und/oder y j ), so gilt U f (Z 2 ) U f (Z 1 ), O f (Z 2 ) O f (Z 1 ). c) Für beliebige Zerlegungen Z 1, Z 2 Z() gilt stets U f (Z 1 ) O f (Z 2 ). Definition (15.1.3) a) Aufgrund der obigen Eigenschaften existieren die Grenzwerte f(x) d x := sup { U f (Z) : Z Z() } f(x) d x := inf { O f (Z) : Z Z() }. Sie heißen Riemannsches Unter bzw. Oberintegral. 458

5 b) Stimmen Unter und Oberintegral überein, so heißt f (Riemann ) integrierbar über und der gemeinsame Wert f(x) dx := f(x) dx = f(x) dx heißt dann das (Riemann ) Integral von f über. Bemerkung (15.1.4) Die obigen Definitionen lassen sich ganz analog auf den Fall von Raumdimensionen n > 2 übertragen. Für das Integral die Schreibweise f(x, y) d(x, y) f(x)dx gibt es im Fall n = 2 bzw. n = 3 auch bzw. f(x, y, z) d(x, y, z). 459

6 Satz (15.1.5) Linearität: (Eigenschaften des Integrals) (αf(x)+βg(x)) dx = α f(x) dx+β Monotonie: Gilt f(x) g(x) für alle x, so folgt: f(x) dx g(x) dx. Positivität: Gilt f(x), x, so folgt: g(x) dx. f(x) dx. Additivität: Sind 1, 2, R n uader mit = 1 2 und vol( 1 2 ) =, so gilt: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

7 Abschätzung: f(x) dx sup { f(x) : x } vol(). Riemannsches Kriterium: f ist genau dann über integrierbar, falls gilt: ε > : Z Z() : O f (Z) U f (Z) < ε. Satz von Fubini: Ist f über integrierbar und existieren für alle x [a 1, b 1 ] bzw. y [a 2, b 2 ] die Integrale so gilt: F (x) := b 2 f(x) dx = a 2 f(x, y) dy bzw. G(y) := b 1 a 1 b 2 a 2 f(x, y) dy dx = b 2 a 2 b 1 b 1 a 1 f(x, y) dx, a 1 f(x, y) dx dy. 461

8 Bemerkung (15.1.6) Da uader = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] stets kompakt sind, ist eine stetige Funktion f auf auch gleichmäßig stetig, vgl. (4.1.15). Zu vorgegebenem ε > gibt es daher δ > mit x y < δ f(x) f(y) < ε Wählt man nun eine Zerlegung Z Z() mit Z < δ, so folgt O f (Z) U f (Z) ε vol(). Nach dem Riemannschen Kriterium sind somit stetige Funktionen über uadern integrierbar! Beispiel (15.1.7) Sei := [, 1] [, 2] und f(x, y) := 2 x y. Da f stetig ist, sind die Voraussetzungen des Satzes von Fubini erfüllt und es gilt: f(x) dx = 2 1 (2 x y) dx dy = 2 [ 2x x2 y 2 ] x=1 x= dy 462

9 = 2 ( 2 y ) 2 dy = [ 2 y y2 4 ] y=2 y= = 3. Beispiel (15.1.8) Man beachte, dass die Existenz der iterierten Integrale alleine nicht genügt, um die Integrierbarkeit von f zu garantieren! Das iterierte Integral Funktion 1 1 f(x, y) := f(x, y) dx dy existiert beispielsweise für die { 1, falls y 2x, falls y. Die Funktion f ist jedoch nicht über dem uader := [, 1] 2 integrierbar! 463

10 15.2 Integrale über kompakten Bereichen Wir erweitern den Integralbegriff auf den Fall kompakter Integrationsbereiche D R n. Zu einer beschränkten Funktion f : D R definieren wir: { f f(x), falls x D (x) :=, falls x R n (15.2.1) \ D. Speziell für f = 1 heißt f die charakteristische Funktion der Menge D, bezeichnet mit χ D. Sei R n nun der kleinste uader mit D. Definition (15.2.2) a) f heißt integrierbar über D, falls f über integrierbar ist. In diesem Fall setzen wir: f(x) dx := f (x) dx. D 464

11 b) D heißt messbar, falls das Integral vol(d) := D 1 dx = χ D (x) dx existiert. vol(d) heißt dann das Volumen von D. c) D heißt Nullmenge, falls D messbar ist und vol(d) = gilt. Bemerkung (15.2.3) Ist D selbst ein uader, so gilt = D. Damit stimmt der Integrierbarkeitsbegriff im Sinn von (15.2.2) mit der früheren Definition aus Abschnitt 15.1 überein. Ferner sind uader stets messbare Mengen, und der Volumenbegriff stimmt ebenfalls mit dem früheren Volumenbegriff nach (15.1.1) überein. 465

12 Satz (15.2.4) (Kennzeichnungssatz) D ist genau dann messbar, falls der Rand D von D eine Nullmenge ist. Beispiel (15.2.5) D := {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} ist eine messbare Menge, da der Rand D := {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} eine Nullmenge ist. Letzteres zeigt man mittels der gleichmäßigen Stetigkeit der Funktionen y = ± 1 x 2 auf 1 x 1. Satz (15.2.6) (Integrierbarkeit stetiger Funktionen) Ist D R n kompakt und messbar und f : D R stetig, so ist f über D integrierbar. Beweis: Mit Hilfe der gleichmäßigen Stetigkeit von f. 466

13 Satz (15.2.7) (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Ist D R n nichtleer, kompakt, zusammenhängend und messbar und ist f : D R stetig, so gibt es einen Punkt ξ D mit: f(x) dx = f(ξ) vol(d). D Zum konkreten Nachweis der Messbarkeit einer Menge D beschränkt man sich zumeist auf Mengen von einfacher Gestalt. Definition (15.2.8) a) D R 2 heißt Normalbereich, falls D = { (x, y) : a x b g(x) y h(x) }, oder D = { (x, y) : ã y b g(y) x h(y) } mit stetigen Funktionen g, h bzw. g, h gilt. 467

14 b) D R 3 heißt Normalbereich, falls D = { x : a x i b, g(x i ) x j h(x i ), u(x i, x j ) x k v(x i, x j ) }, wobei (i, j, k) eine Permutation von (1, 2, 3) ist und g, h, sowie u, v stetige Funktionen sind. c) D R n heißt projizierbar in Richtung x i, i {1,..., n}, falls es eine messbare Menge B R n 1 und stetige Funktionen u, v gibt, so dass D = { x : y = (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ) T B u(y) x i v(y) }. Satz (15.2.9) a) Projizierbare Mengen sind messbar! b) Normalbereiche sind projizierbar, also auch messbar! 468

15 Bemerkung (15.2.1) Häufig lässt sich D als Vereinigung endlich vieler Normalbereiche darstellen. Solche Mengen sind also nach obigem messbar. y D = D 1 D 2 D 3 D 1 D 2 D... = + D 1 + D 2 D 3 D 3 vol(d i D j ) = für i j x Folgerung ( ) Ist f stetig auf einem Normalbereich D = { (x, y) R 2 : a x b g(x) y h(x) }, 469

16 so gilt D f(x) dx = b a h(x) g(x) f(x, y) dy dx. Analog gilt für das Integral über einem Normalbereich D R 3 D f(x) dx = b a h(x) g(x) v(x,y) u(x,y) f(x, y, z) dz dy dx, sowie für das Integral über einem projizierbaren Bereich D f(x) dx = B v(y) u(y) f(x) dx i dy. D R n 47

17 Beispiel ( ) f(x, y) := x + 2 y soll über dem Bereich D := {(x, y) : 1 x 1 x 2 y 2 x 2 } integriert werden. Da D ein Normalbereich und f stetig ist, folgt D f(x) dx = = x 2 (x + 2 y) dy dx = (x y + y 2 ) x 2 1 ( x (2 2x 2 ) + (2 x 2 ) 2 x 4) dx 1 y=2 x 2 y=x 2 dx = 1 1 ( 2x 3 4x 2 + 2x + 4 ) dx = 1 [ 1 2 x4 4 3 x3 + x x ] 1 1 =

18 Beispiel ( ) Zu berechnen sei das innere Volumen des Rotationsparaboloids: V := { (x, y, z) T : x 2 + y 2 1 x 2 + y 2 z 1 }. Man erhält: vol(v ) = = = V d(x, y, z) = 1 x x 2 1 x 2 (1 x 2 y 2 ) dy dx 1 x 2 [ (1 x 2 ) y y3 3 ] y= 1 x 2 1 x 2 +y 2 y= 1 x 2 dx dz dy dx 472

19 = 4 3 = [ x (1 x 2 ) 3/2 dx ( 1 x 2 ) x 1 x arcsin x ]1 1 = π Schwerpunkt und Trägheitsmoment Mit Hilfe so genannter allgemeiner Riemannscher Summen (vgl. Lehrbuch) lassen sich die folgenden Definitionen begründen: Definition (15.3.1) Sei D R 2 bzw. D R 3 eine messbare Menge und ρ : D R eine stetige und nichtnegative Funktion, die die Massendichte von D beschreibt. a) Der Schwerpunkt der Fläche bzw. des Körpers D ist dann gegeben durch 473

20 x s : = D D ρ(x) x dx ρ(x) dx. Das Integral im Zähler ist dabei koordinatenweise auszuwerten. b) Das Trägheitsmoment von D bezüglich einer vorgegebenen Drehachse wird definiert durch Θ Achse : = D ρ(x) r 2 (x) dx. Dabei bezeichnet r(x) den Abstand des Punktes x D von der Drehachse. Beispiel (15.3.2) Eine gerade, homogene Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Kantenlänge a) und Höhe h lässt sich beschreiben durch 474

21 P = { (x, y, z) T : max( x, y ) a (h z) 2 h, z h }. Für den Schwerpunkt x s ergibt sich (bei konstanter Dichte ρ = 1): vol(p ) = h a(h z)/(2h) a(h z)/(2h) dx dy dz = 1 3 a2 h a(h z)/(2h) a(h z)/(2h) vol(p ) x s = h a(h z)/(2h) a(h z)/(2h) (x, y, z) T dx dy dz a(h z)/(2h) a(h z)/(2h) = (,, 1 12 a2 h 2 ) T. Damit wird x s = (,, h/4) T. 475

22 Beispiele (15.3.3) Wir berechnen das Trägheitsmoment des Zylinders Z = { (x, y, z) T : x 2 + y 2 r 2, l/2 z l/2 } bei konstanter Dichte ρ = 1 bezüglich der Θ x Achse = Z = r r (y 2 + z 2 ) d(x, y, z) r 2 x 2 r 2 x 2 l/2 l/2 = π l r2 12 (3 r2 + l 2 ). x Achse: (y 2 + z 2 ) dz dy dx 476

23 15.4 Der Transformationssatz Der folgende Transformationssatz entspricht im Eindimensionalen der Substitutionsregel: Satz (15.4.1) (Transformationssatz) Sei Φ : U R n, U R n offen, eine C 1 Abbildung. D U sei eine kompakte, messbare Menge, so dass Φ auf dem Innern von D einen C 1 Diffeomorphismus Φ D : D Φ(D ) bildet. Dann ist auch das Bild Φ(D) kompakt und messbar, und für jede stetige Funktion f : Φ(D) R gilt Φ(D) f(x) dx = D f(φ(u)) det JΦ(u) du. Man beachte, dass die Bijektivität von Φ lediglich auf dem inneren Bereich D gefordert wird, nicht jedoch auf dem Rand von D! 477

24 Beispiel (15.4.2) (Kugelkoordinaten) Gesucht sei der Schwerpunkt eines (homogenen) Kugeloktanten: V = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1 x, y, z }. Zur Integration verwenden wir Kugelkoordinaten: x y z = r cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r sin θ =: Φ(r, ϕ, θ). Mit D := [, 1 ] [, π/2] [, π/2] gilt Φ(D) = V. Ferner ist Φ auf D ein C 1 Diffeomorphismus (nicht aber auf D!) und es gilt det(jφ(r, ϕ, θ)) = r 2 cos θ. Mit dem Transformationssatz folgt vol(v ) = V dx = 1 π/2 π/2 r 2 cos θ dθ dϕ dr = π 6, sowie 478

25 vol(v ) x s = = V 1 x dx = r 3 dr 1 π/2 π/2 π/2 cos ϕ dϕ (r cos ϕ cos θ) r 2 cos θ dθ dϕ dr π/2 cos 2 θ dθ = π 16. Damit ist x s = 3 8 und analog y s = z s = 3 8, also x s = 3 8 (1, 1, 1)T. Beispiel (15.4.3) (Das Gaußsche Fehlerintegral) I := e x2 dx lässt sich nicht durch analytische Berechnung einer Stammfunktion bestimmen. Durch einen Poisson zugeschriebenen Trick lässt sich die Berechnung jedoch auf die Berechnung eines Flächenintegrals zurückführen. Zunächst ist 479

26 I 2 = ( mit I R := folgt abschätzen: e x2 dx) 2 = lim R [,R] [,R] ( R )( R e x2 dx e (x2 +y 2) d(x, y). K R e (x2+y2) d(x, y) I R K 2R ) e y2 dy = lim R I R, Nun lässt sich I R wie e (x2 +y 2) d(x, y). Dabei sei K ρ der Viertelkreis (1. uadrant) mit Radius ρ, ρ = R bzw. ρ = 2R. Die Integration über K ρ erfolgt nun mit Hilfe der Transformation in Polarkoordinaten: ( x y ) = ( r cos ϕ r sin ϕ ) =: Φ(r, ϕ), det(jφ(r, ϕ)) = r. 48

27 K ρ e (x2+y2) d(x, y) = ρ π/2 Damit hat man die Abschätzung: ( π 1 e R2) I R π 4 4 und hieraus lim I R = π R 4, d.h. e r2 r dϕ dr = π 4 (1 e ρ2 ). (1 e 2R2) e x2 dx = π