2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung

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1 2. Anfangswertprobleme 2. Ordnung 2.1 Grundlagen 2.2 Mathematisches Pendel 2.3 Selbstzentrierung Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

2 2.1 Grundlagen Für ein Anfangswertproblem 2. Ordnung müssen folgende Daten gegeben sein: Eine Differentialgleichung 2. Ordnung: ẍ t = f [ x t, ẋ t,t ] Die Anfangsbedingungen: x 0 =x 0, ẋ 0 =ẋ 0 Das zu untersuchende Zeitintervall: t [0, t E ] Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

3 2.1 Grundlagen Beispiel: Für das mathematische Pendel lautet die Bewegungsgleichung: = g l sin Mit x= gilt also: f [ x t, ẋ t,t ]= f [ t ]= g l sin Um den Winkel φ im Intervall [0, t E ] berechnen zu können, muss der Winkel φ 0 und die Winkelgeschwindigkeit 0 zum Zeitpunkt t = 0 gegeben sein. Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

4 2.1 Grundlagen Rückführung auf ein Anfangswertproblem 1. Ordnung: Mit den neuen Variablen z 1 t =x t, z 2 t =ẋ t geht die Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System von 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung über: ż 1 = z 2 ż 2 = f [ z 1, z 2,t ] Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

5 2.1 Grundlagen Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung: Ein Differentialgleichungssystem 2. Ordnung hat die Form ẍ t = f [ x t, ẋ t,t ] Dazu kommen die Anfangsbedingungen x 0 =x 0, ẋ 0 =ẋ 0 Für die neuen Variablen gilt: ż 1 = z 2 ż 2 = f [ z 1, z 2,t ] z 1 t =x t, z 2 t =ẋ t Das ist ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung der doppelten Dimension. Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

6 Gleichungssystem: 2.2 Mathematisches Pendel Die Bewegungsgleichung lautet Neue Variablen: z 1 =, z 2 = Zu lösendes Gleichungssystem: = g l sin ż 1 = z 2 ż 2 = g l sin z 1 Anfangsbedingungen: Die Gleichungen werden gelöst für die Anfangsbedingungen z 1 0 = 0 und ż 2 0 = 0 =0 Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

7 2.2 Mathematisches Pendel Daten: Pendellänge: l = 1m Anfangswinkel: Lösungsverfahren: Das Gleichungssystem wird mit dem vierstufigen Runge- Kutta-Verfahren gelöst. # Funktion global c = g / l; function y = f(x, t) global c; y(1) = x(2); y(2) = - c * sin(x(1)); end 0 =30, 0 =90 und 0 =150 Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

8 2.2 Mathematisches Pendel # Startwerte phi0 = 150; z(1, 1) = phi0 * pi / 180; z(1, 2) = 0; # Runge-Kutta-Verfahren for i = 1 : n k1 = f(z(i, :), t(i)); k2 = f(z(i, :) + k1 * dt / 2, t(i) + dt / 2); k3 = f(z(i, :) + k2 * dt / 2, t(i) + dt / 2); k4 = f(z(i, :) + k3 * dt, t(i) + dt); k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6; z(i + 1, :) = z(i, :) + k * dt; end Ergebnisse: Die Diagramme auf den folgenden Seiten zeigen den Winkel als Funktion der Zeit sowie das Phasendiagramm. Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

9 Winkel t : 2.2 Mathematisches Pendel Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

10 2.2 Mathematisches Pendel Phasendiagramm : Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

11 Aufgabenstellung: 2.3 Selbstzentrierung Der Anfahrvorgang für den Schleudergang einer Waschmaschine soll untersucht werden. y y Ω c/4 c/4 m c/4 e z O O S c/4 x Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

12 2.3 Selbstzentrierung Mitrotierendes Koordinatensystem: η Der Ursprung B liegt auf der z-achse des ortsfesten Koordinatensystems, um die sich die Trommel dreht. Am Mittelpunkt M greifen die Lagerkräfte an. v B = O Ω r BM u e M S r BS ξ Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

13 Bewegungsgleichung: 2.3 Selbstzentrierung Der zeitliche Verlauf der Drehzahl Ω(t) ist vorgegeben. Im mitrotierenden Bezugssystem lautet die Bewegungsgleichung: m a r =F F f F c Für die Relativbeschleunigung gilt: a r =ü b v b Damit die Trommel die statische Gleichgewichtslage erreicht, muss Dämpfung berücksichtigt werden. Die resultierende äußere Kraft enthält also neben der Federkraft zusätzlich eine Dämpferkraft: F=F F F D Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

14 2.3 Selbstzentrierung Für die Federkraft gilt: F F = c u b v b Die Dämpfungskräfte in den Dämpferelementen hängen von der Absolutgeschwindigkeit des Mittelpunkts ab, an dem die Lagerkräfte angreifen. Für die Absolutgeschwindigkeit gilt: Mit v Mr = u b v b, = b v Ma =v Mr r BM und dem Ortsvektor r BM =u b v b des Mittelpunkts folgt: v Ma = u b v b b u b v b = u v b v u b Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

15 2.3 Selbstzentrierung Damit gilt für die Dämpfungskraft: F D = d u v b d v u b Da die Winkelgeschwindigkeit der Trommel nicht konstant ist, enthält die Führungskraft neben der Zentrifugalkraft noch den Beitrag der Winkelbeschleunigung: F f = m r BS m r BS Mit = b und = d folgt: dt F f =m [ v b e u b ] m 2 [ e u b v b ] =m [ v 2 e u ] b m [ e u 2 v ] b Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

16 2.3 Selbstzentrierung Für die Corioliskraft gilt: B F c = 2m v S =2m v b u b Damit lauten die Bewegungsgleichungen: mü = cu d u v m [ v 2 e u ] 2m v m v = c v d v u m [ e u 2 v ] 2m u 2 Mit c/m= c und d /m=2 folgt schließlich: ü = 2 c2 u 2 v 2 u 2 v 2 e v = 2 u 2 c2 v 2 u 2 v e Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

17 2.3 Selbstzentrierung Mit z 1 =u, z 2 =v, z 3 = u, z 4 = v gilt: [ ż 1 ż 2 4]=[ z z 2 ż c z ż c 2 2 ][ 4] [ 0 e] e z Dazu kommen die Anfangsbedingungen: z 1 0 =z 2 0 =0, z 3 0 =z 4 0 =0 Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

18 2.3 Selbstzentrierung Daten: Die Trommel wird bis zum Erreichen der Nenndrehzahl N mit der konstanten Winkelbeschleunigung α = 15s -2 beschleunigt. Nenndrehzahl: N = 1600min -1 Winkelgeschwindigkeit bei Nenndrehzahl: N = 30 N =167,6 s 1 Zeit bis Erreichen der Nenndrehzahl: t N = N =11,17 s Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

19 2.3 Selbstzentrierung Zeitlicher Verlauf der Winkelgeschwindigkeit: Kritische Winkelgeschwindigkeit: Ω c = 30s -1 Exzentrizität: e = 0,005m Lehrsches Dämpfungsmaß: D = 5% Abklingkonstante: = c D=1,5 s 1 Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

20 Lösungsverfahren: 2.3 Selbstzentrierung Das Gleichungssystem wird mit dem vierstufigen Runge- Kutta-Verfahren gelöst. Ergebnisse: Die Diagramme auf den folgenden Seiten zeigen die Verschiebungen als Funktion der Zeit sowie die Bahn, die der Mittelpunkt der Trommel beschreibt. Es ist deutlich zu sehen, wie der Mittelpunkt in die Ruhelage wandert. Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

21 2.3 Selbstzentrierung Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik

22 2.3 Selbstzentrierung Prof. Dr. Wandinger 7. Numerische Methoden Dynamik