ANALYSIS 1 Kapitel 4: Folgen von (reellen und komplexen) Zahlen

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1 ANALYSIS 1 Kapitel 4: Folgen von (reellen und komplexen) Zahlen MAB.01012UB MAT.101UB Vorlesung im WS 2017/18 Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität Graz

2 4.1 Grundbegrie Denition (1) a) Eine Folge (reeller bzw. komplexer) Zahlen ist eine Abbildung R a : Z k mit einem k Z. C Schreibweise: a(n) = a n R C... n-tes Folgenglied a = (a n ) n k = (a k, a k+1, a k+2,...). b) Eine Folge (a n ) n k heiÿt konvergent, wenn es eine Zahl a C mit folgender Eigenschaft gibt: zu jedem ε > 0 existiert ein N N, sodass für alle n N gilt: a n a < ε.

3 Denition (1) (Fortsetzung) Ist die Folge (a n ) n k konvergent, so heiÿt diese Zahl a der Grenzwert (oder: Limes) der Folge. Schreibweise: lim a n = a bzw. (a n ) n k a Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heiÿt Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergent ist, heiÿt divergent. c) Eine Folge (a n ) n k heiÿt beschränkt, falls die Menge a n n k} beschränkt ist; andernfalls heiÿt sie unbeschränkt.

4 Satz (1) a) Ist eine Folge konvergent, so ist ihr Limes eindeutig bestimmt. b) Eine konvergente Folge ist beschränkt. c) Ist (a n ) n k a eine gegen a C konvergente Folge, so gilt: lim a n = a, lim R(a n) = R(a), lim a n = a, lim I(a n) = I(a). Insbesondere gilt: Sind alle a n R, so ist auch a R.

5 Satz (2) (Rechenregeln für konvergente Folgen) Es seien a = (a n ) n 1 und b = (b n ) n 1 Folgen. a) Sind a eine Nullfolge und b eine beschränkte Folge, so gilt lim a nb n = 0. b) Sind a und b konvergente Folgen, so gilt: (i) lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n lim (a nb n ) = lim a n lim b n. und (ii) Ist lim b n 0, so existiert ein k N, sodass für alle n k gilt: ( ) an lim a n b n 0 und b n n k lim b. n

6 Denition (2) Es sei a = (a n ) n N eine Folge. a) Für n 0 N heiÿt die Folge (a n ) n n0 ein Endstück der Folge a. b) Ist T N eine unendliche Teilmenge, T = n 1, n 2, n 3,...} mit n 1 < n 2 < n 3 <..., so heiÿt die Folge (a ni ) i N = (a n1, a n2, a n3,...) eine Teilfolge von a. c) Ist ϕ: N N eine bijektive Abbildung, so heiÿt die Folge (a ϕ(j) ) j N = (a ϕ(1), a ϕ(2), a ϕ(3),...) eine Umordnung der Folge a. Satz (3) Ist a = (a n ) n N eine konvergente Folge mit lim a n = a, und ist die Folge b = (b n ) n N ein Endstück von a oder eine Teilfolge von a oder eine Umordnung von a, oder ist n N a n b n } eine endliche Menge, so ist auch b konvergent, und es gilt lim b n = a.

7 Denition (2) Es sei a = (a n ) n N eine Folge. a) Für n 0 N heiÿt die Folge (a n ) n n0 ein Endstück der Folge a. b) Ist T N eine unendliche Teilmenge, T = n 1, n 2, n 3,...} mit n 1 < n 2 < n 3 <..., so heiÿt die Folge (a ni ) i N = (a n1, a n2, a n3,...) eine Teilfolge von a. c) Ist ϕ: N N eine bijektive Abbildung, so heiÿt die Folge (a ϕ(j) ) j N = (a ϕ(1), a ϕ(2), a ϕ(3),...) eine Umordnung der Folge a. Satz (3) Ist a = (a n ) n N eine konvergente Folge mit lim a n = a, und ist die Folge b = (b n ) n N ein Endstück von a oder eine Teilfolge von a oder eine Umordnung von a, oder ist n N a n b n } eine endliche Menge, so ist auch b konvergent, und es gilt lim b n = a.

8 4.2 Reelle Folgen Satz (4) Es seien (a n ) n N a und (b n ) n N b konvergente reelle Folgen, und für alle n N sei a n b n. a) Dann gilt: a b. b) [Einzwickkriterium] Ist c = (c n ) n N eine reelle Folge mit a n c n b n für alle n N und ist a = b, so ist auch c konvergent und lim c n = a.

9 Denition (4) Eine reelle Folge a = (a n ) n N heiÿt: oben nach beschränkt, wenn es ein M R gibt, sodass für alle unten a n M n N gilt:, M a n [streng] monoton wachsend, wenn für alle n N gilt: a n a n+1 [bzw. a n < a n+1 ], [streng] monoton fallend, wenn für alle n N gilt: a n a n+1 [bzw. a n > a n+1 ], monoton, wenn a entweder monoton wächst oder monoton fällt.

10 Satz (5) Ist a = (a n ) n N eine beschränkte und monotone Folge reeller Zahlen, so ist a konvergent mit lim a supa n n N} falls a monoton wächst n =. infa n n N} falls a monoton fällt Erweiterte Zahlengerade: Wir ergänzen R durch 2 weitere Elemente = + und zur erweiterten Zahlengeraden R = R, }. Ordnungs- bzw. Rechenregeln für R: Für beliebiges a R deniert man: (i) < a < (ii) a ± = ± + a = ±

11 Satz (5) Ist a = (a n ) n N eine beschränkte und monotone Folge reeller Zahlen, so ist a konvergent mit lim a supa n n N} falls a monoton wächst n =. infa n n N} falls a monoton fällt Erweiterte Zahlengerade: Wir ergänzen R durch 2 weitere Elemente = + und zur erweiterten Zahlengeraden R = R, }. Ordnungs- bzw. Rechenregeln für R: Für beliebiges a R deniert man: (i) < a < (ii) a ± = ± + a = ±

12 a (± ) = ± a = ± falls a > 0 falls a < 0 und a ± = 0. (iii) + = = ( ) ( ) = ( ) + ( ) = ( ) = ( ) = = = Ist A R nicht nach sup(a) = inf(a) =. oben unten beschränkt, so setzt man Weiters setzt man sup( ) = und inf( ) =. Intervalle in R: [, ] = R, (, ) = R, (0, ] = R + } usw.

13 Denition (4) Eine reelle Folge a = (a n ) n N heiÿt bestimmt divergent gegen, wenn es zu jedem M R ein N N gibt, sodass für alle M < a n n N gilt: a n < M. Schreibweise: (a n ) n N Satz (6) bzw. lim a n =. Die Aussagen von Satz 1.a), Satz 2.b) (falls die entsprechenden Ausdrücke deniert sind), Satz 3 und Satz 4.a) gelten auch für bestimmt divergente Folgen. Satz 4.b): Ist (a n ) n N und a n c n für alle n N, so ist auch (c n ) n N. Satz 5: Eine monotone reelle Folge ist konvergent oder bestimmt divergent.

14 Denition (4) Eine reelle Folge a = (a n ) n N heiÿt bestimmt divergent gegen, wenn es zu jedem M R ein N N gibt, sodass für alle M < a n n N gilt: a n < M. Schreibweise: (a n ) n N Satz (6) bzw. lim a n =. Die Aussagen von Satz 1.a), Satz 2.b) (falls die entsprechenden Ausdrücke deniert sind), Satz 3 und Satz 4.a) gelten auch für bestimmt divergente Folgen. Satz 4.b): Ist (a n ) n N und a n c n für alle n N, so ist auch (c n ) n N. Satz 5: Eine monotone reelle Folge ist konvergent oder bestimmt divergent.

15 4.3 Häufungswerte und Satz von Bolzano-Weierstraÿ Denition (5) reelle Es sei a = (a n ) n N eine komplexe Folge. Dann heiÿt a R C ein Häufungswert der Folge a, wenn es eine Teilfolge (a ni ) i N von a mit lim a ni = a gibt i (d. h.: wenn es eine gegen a konvergente oder bestimmt divergente Teilfolge von a gibt).

16 Satz (7) Es sei a = (a n ) n N eine reelle oder komplexe Folge und H R (bzw. H C) die Menge der Häufungswerte von a. a) Dann gilt: + H a ist reell und nicht nach oben beschränkt. H a ist reell und nicht nach unten beschränkt. b) Für ein a C gilt: a H für jedes ε > 0 gilt: #n N a n a < ε} =.

17 Satz (8) (BolzanoWeierstraÿ) Es sei a = (a n ) n N eine Folge und H die Menge der Häufungswerte von a. a) [reelle Version] Ist a eine reelle Folge, so existieren a, a H R, sodass für alle a H gilt: insbesondere ist H. a a a ; Denition: a = lim inf a n = lim a n heiÿt Limes inferior oder kleinster Häufungswert von a und a = lim sup a n = lim a n heiÿt Limes superior oder gröÿter Häufungswert von a. b) [komplexe Version] Ist a komplex und beschränkt, so ist H.

18 Bemerkung: Es sei a eine reelle Folge. Für ein x R gilt: x = lim sup a n x = lim inf a n für alle ε > 0 gilt: n N x + ε < a n } ist endlich und n N x ε < a n } ist unendlich. für alle ε > 0 gilt: n N a n < x ε} ist endlich und n N a n < x + ε} ist unendlich. Satz (9) (Konvergenzkriterium nach Cauchy) Eine (reelle oder komplexe) Folge a = (a n ) n N konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, sodass für alle m, n N gilt: a n a m < ε.