Übung zu Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)
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- Silke Seidel
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1 Übung zu Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2017 Rüdiger Göbl, Mai Bui Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München
2 Wiederholung: Validation Validation: nicht-formaler Nachweis der Korrektheit, etwa durch systematisches Testen Warum Validation wenn wir Verifikation haben? bei Verifikation können Fehler unterlaufen sein Verifikation zu aufwendig oder nicht mehr möglich für größere bzw. komplexe Programme der verwendete Compiler/Rechner kann fehlerhaft sein
3 Wiederholung: Validation Validation: nicht-formaler Nachweis der Korrektheit, etwa durch systematisches Testen Warum Validation wenn wir Verifikation haben? bei Verifikation können Fehler unterlaufen sein Verifikation zu aufwendig oder nicht mehr möglich für größere bzw. komplexe Programme der verwendete Compiler/Rechner kann fehlerhaft sein aber! Testen kann nur Anwesenheit von Fehlern zeigen, nicht die Abwesenheit!
4 Validation Multiply Funktion Multiply(a,b) mit vorzeichenbehafteten (signed) Variablen von 8 Bit Länge insgesamt mögliche Zahlendarstellung von 2 8 = 256 Wertebereich von [ 2 7, 2 7 1] Extremfälle an Grenzwerten 2 7 und z.b. Überlauf Extremfall bei 0 Übergang von negativen auf positiven Zahlen
5 Wiederholung: Whitebox-Test Input Output Programm als Whitebox betrachten innere Struktur bekannt systematischer Test auf innere Struktur des Programms, d.h. das alle Programmteile ausgeführt werden ablaufbezogenes Testen
6 Wiederholung: Whitebox-Test Input Output Programm als Whitebox betrachten innere Struktur bekannt systematischer Test auf innere Struktur des Programms, d.h. das alle Programmteile ausgeführt werden ablaufbezogenes Testen Test-Varianten (Auszug): Ausführung sämtlicher Programmwege inkl. Kombinationen (meist unpraktikabel!) Alle Schleifen müssen nicht nur einmal, sondern zweimal durchlaufen werden Alle Anweisungen sollen mindestens einmal ausgeführt werden
7 White-Box-Test Multiply Multiply(a, b): if (a == 0 b == 0) { c = 0; } else if (a < 0) { c = Multiply( a, b); } else { c = 0; i = 1; while(i a) { c = c + b; i = i + 1; } } return c; Fall 1: a = 0, b beliebig oder b = 0, a beliebig
8 White-Box-Test Multiply Multiply(a, b): if (a == 0 b == 0) { c = 0; } else if (a < 0) { c = Multiply( a, b); } else { c = 0; i = 1; while(i a) { c = c + b; i = i + 1; } } return c; Fall 2: a < 0, b 0
9 White-Box-Test Multiply Multiply(a, b): if (a == 0 b == 0) { c = 0; } else if (a < 0) { c = Multiply( a, b); } else { c = 0; i = 1; while(i a) { c = c + b; i = i + 1; } } return c; Fall 3: a > 0, b 0, a 2 für doppelten Durchlauf der Schleife
10 Wiederholung: Blackbox-Test Input Output Programm als Blackbox betrachten interne Struktur unbekannt nur Eingabe und Ausgabe bekannt sowie Dokumentation was als Eingabe erlaubt ist
11 Wiederholung: Blackbox-Test Input Output Programm als Blackbox betrachten interne Struktur unbekannt nur Eingabe und Ausgabe bekannt sowie Dokumentation was als Eingabe erlaubt ist systematischer Test auf mögliche Eingabedaten (und ob korrektes Ergebnis geliefert wird) datenbezogenes Testen
12 Wiederholung: Blackbox-Test Input Output Programm als Blackbox betrachten interne Struktur unbekannt nur Eingabe und Ausgabe bekannt sowie Dokumentation was als Eingabe erlaubt ist systematischer Test auf mögliche Eingabedaten (und ob korrektes Ergebnis geliefert wird) datenbezogenes Testen Repräsentative Werteanalyse: Klassen von Eingabedaten (z.b. negative ganze Zahlen) Auswahl von Repräsentanten dieser Klasse zum Test
13 Wiederholung: Blackbox-Test Input Output Programm als Blackbox betrachten interne Struktur unbekannt nur Eingabe und Ausgabe bekannt sowie Dokumentation was als Eingabe erlaubt ist systematischer Test auf mögliche Eingabedaten (und ob korrektes Ergebnis geliefert wird) datenbezogenes Testen Repräsentative Werteanalyse: Klassen von Eingabedaten (z.b. negative ganze Zahlen) Auswahl von Repräsentanten dieser Klasse zum Test Grenzwertanalyse: Eingabedaten haben meist Grenzwerte (z.b. Zahlen von -128 bis 127) direkte Tests auf die Grenzwerte und auch darüber hinaus
14 Black-Box-Test Input Output Programm als BlackBox betrachten interne Struktur unbekannt nur Eingabe und Ausgabe bekannt sowie Dokumentation was als Eingabe erlaubt ist Gegeben ein Sortieralgorithmus: nur Sortier-Eigenschaft und Stabilität testbar keine Information über den Algorithmus
15 Komplexität von Algorithmen Interessante Fragen bei Algorithmus A: wie viel Speicherplatz benötigt Algorithmus? wie viel Rechenzeit benötigt Algorithmus? Komplexitätsanalyse Wesentlicher Faktor bei Komplexität: Größe der Eingabe n benötigter Speicher abhängig von n benötigte Rechenzeit abhängig von n Funktion T zur Beschreibung des Wachstumsverhaltens von A
16 Wachstumsraten schwarz: f (n) = 1 blau: f (n) = log(n) grün: f (n) = n rot: f (n) = n log(n) pink: f (n) = n 2 cyan: f (n) = 2 n
17 Landau-Symbole Abschätzung des Wachstumsverhaltens einer (komplexeren) Funktion durch eine andere (intuitivere) Funktion. Θ(g) := {f : R R : es existieren c 1, c 2 > 0 und n 0 N, so dass für alle n n 0 gilt: 0 c 1 g(n) f (n) c 2 g(n)} O(g) := {f : R R : es existieren c > 0 und n 0 N, so dass für alle n n 0 gilt: 0 f (n) c g(n)} Θ(g) ist die asymptotisch scharfe und O(g) die asymptotisch obere Schranke.
18 Landau-Symbol Θ Θ(g) = { f : R R : es existieren c 1, c 2 > 0, n 0 N so dass für alle n n 0 gilt: 0 c 1 g(n) f (n) c 2 g(n) } c 2 g(n) f(n) c 1 g(n) f = Θ(g) n 0
19 Landau-Symbol O O(g) = {f : R R : es existieren c > 0 und n 0 N so dass für alle n n 0 gilt: 0 f (n) cg(n)} cg(n) f(n) f = O(g) n 0
20 7n 4 = O(n 5 ) Betrachte Ungleichung aus der Definition von O(n): 0 7n 4 c n 5 Dividiere für n 1 durch n 4 ohne Umkehr der Ungleichung: 0 7 c n Für c = 7 und n 0 = 1, so gilt die Ungleichung für alle n n 0.
21 n 2 /2 2n = Θ(n 2 ) Betrachte beide Schranken unabhängig voneinander: c 1 n 2 n2 2 2n n 2 2 2n c 2 n 2 Dividiere für n 1 durch n 2 ohne Umkehr der Ungleichung: c n n c 2 Für c 1 = 1 4, c 2 = 1 2 und n 0 = 8 gilt die komplette Ungleichung für alle n n 0.
22 2 n+1 = O(2 n ) Betrachte wieder die Ungleichung aus der Definition von O(2 n ): 0 2 n+1 c 2 n Zerlegung ergibt: 2 n+1 = 2 2 n Für c = 2 und n 0 = 1 gilt also die Ungleichung für alle n n 0.
23 2 2n O(2 n ) Annahme, dass die Behauptung nicht zutrifft. Dann existieren Konstanten c und n 0 > 0, so dass für alle n n 0 gilt: Zerlegung ergibt: 0 2 2n c 2 n 2 2n = 2 n 2 n c 2 n 2 n c. Die Folge 2 n ist aber unbeschränkt, und es existiert keine Konstante c, die für beliebige n die Forderung c 2 n erfüllt. Widerspruch zur Annahme! Also gilt die ursprüngliche Behauptung.
24 Bedeutung der konstanten Faktoren Die Worst-Case-Komplexität eines Algorithmus sei Θ(n). Nachdem auch 2n = Θ(n), entspricht die Dauer eines Worst-Case-Beispiels der Länge 2n ungefähr der Dauer eines Worst-Case-Beispiels der Länge n. Konstante Faktoren entfallen, nur grundsätzliches Wachstum ist relevant. Laufzeitunterschied von konstanten Faktoren also unabhänging von n. Doppelt großes Beispiel rechnet auch (etwa) doppelt so lange! Die Behauptung ist falsch!
25 Iterationen über Code bekannter Komplexität Sei die Komplexität einer Funktion f bestimmt als O(n). Dann ist die n-malige Ausführung O(n 2 ). T f (n) = O(n), also gibt es c und n 0, so dass für alle n n 0 : 0 T f (n) c n Bei n-maliger Ausführung muss einfach multipliziert werden: 0 n T f (n) n c n = c n 2 Das ist direkt die Forderung aus der Definition von O(n 2 ), die Aussage ist korrekt!
26 Falls f (n) = Θ(g(n)), dann folgt 2 f (n) = Θ(2 g(n) ). Für f (n) = n und g(n) = 2 n gilt f (n) = Θ(g(n)). Falls Aussage korrekt, erhalten wir aus 2 f (n) = Θ(2 g(n) ): 0 c n 2 n c n Teilung durch 2 n > 0 (n > 0) ergibt: 0 c 1 2 n 1 c 2 2 n Widerspruch, da Folge 2 n unbeschränkt ist, also kein konstantes c 1 gefunden werden kann. Damit ist die komplette Aussage falsch, da mit der getroffenen Auswahl für f und g ein Gegenbeispiel gefunden wurde.
27 n n = O(2 n ) Falls die Aussage wahr ist, dann gilt: 0 n n c 2 n Teilung durch 2 n > 0 (n > 0) ergibt: ( n ) n c 2 Widerspruch, da die Folge unbeschränkt ist. Es existiert keine obere Schranke c. Damit ist die Aussage als falsch widerlegt!
28 n = O(n 3 ) Falls die Aussage wahr ist, dann gilt: 0 n c n 3 Teilung durch n 3 > 0 (n > 0) ergibt: ( ) 1 n 2 c ( 1 n 2 ) 0, also ist ( 1 n 2 ) beschränkt. Beispiel: Für c = 1 und n 0 = 10 für alle n n 0 Damit ist die Aussage als wahr!
29 Wiederholung: RAM-Modell einfaches Rechnermodell für Laufzeitanalyse Ziel: Abschätzung der erforderlichen Ressourcen zur Ausführung eines Algorithmus exakte Zeit der Ausführung ist nicht relevant Modell: Random Access Machine, kurz RAM
30 Wiederholung: Annahmen im RAM-Modell nur sequentielle Ausführungen das heißt nur 1 Prozessor, keine Parallelität alle Daten liegen direkt zugreifbar im Speicher ( RAM) jeder Speicherzugriff dauert gleich lang das ist in Wahrheit nicht der Fall! (Speicher-Hierarchie) alle elementaren Verarbeitungsschritte benötigen eine Zeiteinheit Wertzuweisung Arithmetische Operationen: +, -, *, /, %, ceil, floor Vergleichsoperationen: <, >,! = Kontrollflußoperationen: if, else
31 Komplexität von Swap Swap(A, i, j): k = A[j]; A[j] = A[i]; A[i] = k; Im RAM-Modell 3 Anweisungen Damit offensichtlich O(1) (mit c = 3, n 0 = 1)
32 Komplexität eines Algorithmus Algorithmus besteht aus elementaren Bausteinen Komplexität eines ganzen Algorithmus ergibt sich aus Komplexität der elementaren Bausteine und der Addition in O-Notation
33 Komplexität von IndexOfMin 1 i = j; 2 k = j + 1; 3 while (k < n) { 4 if (A[k] < A[i]) { 5 i = k; } 6 k = k + 1; } Zeile Kosten Häufigkeit 1 c c c 3 n j 4 c 4 n j 1 5 c 5 t k 6 c 6 n j 1 Laufzeitfunktion T (n) = (n j) + (n j 1) + t k + (n j 1) = 3 n 3 j + t k t k ist die Anzahl der Verzweigungen bei 4 bzw. Durchführungen von 5
34 Best und Worst Case der IndexOfMin Im besten Fall wird Zeile 5 nie ausgeführt. Das passiert, wenn A bereits aufsteigend sortiert ist. Im schlechtesten Fall wird Zeile 5 immer ausgeführt. Das passiert, wenn A bereits absteigend sortiert ist. Im schlechtesten Fall gilt t k = n j 1, und damit T (n) = 4 n 4 j 1 Somit ergibt sich sogar dann die Komplexität O(n)! Inoffiziell ergibt sich das direkt aus der for-schleife...
35 Komplexität von SelectionSort 1 for j = 0 to n 2 { 2 i = IndexOfMin(A, j); 3 if (j i) { 4 Swap(A, i, j); } } Zeile Kosten Häufigkeit 1 c 1 2n 2 c 2 (n 1) O(n) 3 c 3 n 1 4 c 4 t j O(1) Laufzeitfunktion ungefähr T (n) = 2n + (n 1) O(n) + (n 1) + t j O(1) = O(n 2 ) t j ist die Anzahl der Vertauschungen bei 4
36 Best und Worst Case der SelectionSort Im besten Fall ist A bereits aufsteigend sortiert. Der schlechteste Fall der IndexOfMin war ein absteigend sortiertes A, aber dann genügen n/2 Vertauschungen.
37 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 0: 0 Updates, 0 Vertauschungen
38 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 1: 8 Updates, 1 Vertauschung
39 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 2: 14 Updates, 2 Vertauschungen
40 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 3: 18 Updates, 3 Vertauschungen
41 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 4: 20 Updates, 4 Vertauschungen
42 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 5: 20 Updates, 4 Vertauschungen
43 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 6: 20 Updates, 4 Vertauschungen
44 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 7: 20 Updates, 4 Vertauschungen
45 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 8: 20 Updates, 4 Vertauschungen
46 Selection Sort: Absteigende Sortierung j = 9: 20 Updates, 4 Vertauschungen
47 Best und Worst Case der SelectionSort Im besten Fall ist A bereits aufsteigend sortiert. Der schlechteste Fall der IndexOfMin war ein absteigend sortiertes A, aber dann genügen n/2 Vertauschungen.
48 Best und Worst Case der SelectionSort Im besten Fall ist A bereits aufsteigend sortiert. Der schlechteste Fall der IndexOfMin war ein absteigend sortiertes A, aber dann genügen n/2 Vertauschungen. Maximale Anzahl von Vertauschungen, wenn A das maximale Element am Anfang und dann eine aufsteigende Ordnung hat.
49 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 0: 0 Updates, 0 Vertauschungen
50 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 1: 1 Update, 1 Vertauschung
51 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 2: 2 Updates, 2 Vertauschungen
52 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 3: 3 Updates, 3 Vertauschungen
53 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 4: 4 Updates, 4 Vertauschungen
54 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 5: 5 Updates, 5 Vertauschungen
55 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 6: 6 Updates, 6 Vertauschungen
56 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 7: 7 Updates, 7 Vertauschungen
57 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 8: 8 Updates, 8 Vertauschungen
58 Selection Sort: Größtes Element vorne, dann aufsteigend j = 9: 8 Updates, 8 Vertauschungen
59 Best und Worst Case der SelectionSort Im besten Fall ist A bereits aufsteigend sortiert. Der schlechteste Fall der IndexOfMin war ein absteigend sortiertes A, aber dann genügen n/2 Vertauschungen. Maximale Anzahl von Vertauschungen, wenn A das maximale Element am Anfang und dann eine aufsteigende Ordnung hat.
60 Best und Worst Case der SelectionSort Im besten Fall ist A bereits aufsteigend sortiert. Der schlechteste Fall der IndexOfMin war ein absteigend sortiertes A, aber dann genügen n/2 Vertauschungen. Maximale Anzahl von Vertauschungen, wenn A das maximale Element am Anfang und dann eine aufsteigende Ordnung hat. Sind Vertauschungen oder Updates des minimalen Index teurer?
61 Konstanten in Landau-Symbolen Landau-Symbole Θ, O enthalten Konstanten c 1, c 2 bzw. c für asymptotisches Verhalten (n ) vernachlässigbar Aber: ist n klein, spielen die Konstanten sehr wohl eine Rolle! es kann angebracht sein einen eigentlich komplexeren Algorithmus einzusetzen, da bei kleinem n die Konstanten mehr zählen Beispiel: Insertion Sort
62 Effizienz von Algorithmen I O-Notation erlaubt Kategorisierung der Effizienz von Algorithmen O(1): konstante Laufzeit unabhängig von Problemgröße Beispiel: Löschen von erstem Element in verketteter Liste
63 Effizienz von Algorithmen I O-Notation erlaubt Kategorisierung der Effizienz von Algorithmen O(1): konstante Laufzeit unabhängig von Problemgröße Beispiel: Löschen von erstem Element in verketteter Liste O(log n): logarithmische Laufzeit Laufzeit wächst langsamer als Problemgröße typisch für Divide & Conquer Algorithmen (s. nächstes Übungsblatt) Beispiel: Suchen in sortierter Liste
64 Effizienz von Algorithmen I O-Notation erlaubt Kategorisierung der Effizienz von Algorithmen O(1): konstante Laufzeit unabhängig von Problemgröße Beispiel: Löschen von erstem Element in verketteter Liste O(log n): logarithmische Laufzeit Laufzeit wächst langsamer als Problemgröße typisch für Divide & Conquer Algorithmen (s. nächstes Übungsblatt) Beispiel: Suchen in sortierter Liste O(n): lineare Laufzeit Laufzeit wächst vergleichbar zur Problemgröße jedes Eingabe-Element erfordert O(1) Arbeit Beispiele: Suchen in unsortierter Liste, Löschen von Element in sequentieller Liste
65 Effizienz von Algorithmen II O(n log n): loglinear Laufzeit Laufzeit wächst schneller als Problemgröße typisch für Divide & Conquer Algorithmen (s. nächstes Übungsblatt) Beispiele: Quicksort (s. nächstes Übungsblatt)
66 Effizienz von Algorithmen II O(n log n): loglinear Laufzeit Laufzeit wächst schneller als Problemgröße typisch für Divide & Conquer Algorithmen (s. nächstes Übungsblatt) Beispiele: Quicksort (s. nächstes Übungsblatt) O(n 2 ): quadratische Laufzeit typisch für Algorithmen, die Element paarweise kombinieren Beispiele: Insertion Sort
67 Effizienz von Algorithmen II O(n log n): loglinear Laufzeit Laufzeit wächst schneller als Problemgröße typisch für Divide & Conquer Algorithmen (s. nächstes Übungsblatt) Beispiele: Quicksort (s. nächstes Übungsblatt) O(n 2 ): quadratische Laufzeit typisch für Algorithmen, die Element paarweise kombinieren Beispiele: Insertion Sort O(n 3 ): kubische Laufzeit Beispiel: Matrix-Matrix Multiplikation
68 Effizienz von Algorithmen II O(n log n): loglinear Laufzeit Laufzeit wächst schneller als Problemgröße typisch für Divide & Conquer Algorithmen (s. nächstes Übungsblatt) Beispiele: Quicksort (s. nächstes Übungsblatt) O(n 2 ): quadratische Laufzeit typisch für Algorithmen, die Element paarweise kombinieren Beispiele: Insertion Sort O(n 3 ): kubische Laufzeit Beispiel: Matrix-Matrix Multiplikation O(2 n ): exponentielle Laufzeit auch als unlösbar bezeichnet (intractable) Beispiel: Traveling Salesman (kürzeste Route, so dass alle Städte exakt einmal besucht)
69 Komplexitätsschätzung rot13 rot13(string): encrypted = string; for i = 0 to size(string) 1 { if (string[i] a string[i] z ) { abstand = string[i] a ; rotierter abstand = (abstand + 13) mod 26; encrypted[i] = a + rotierter abstand; } } Häufigkeit 1 2n + 2 n t i t i t i mit n = size(string) Laufzeitfunktion ungefähr T (n) = 1 + (2n + 2) + n + t i + t i + t i, im Worst-Case t i = n O(n) lineare Laufzeit
70 Komplexitätsschätzung MatrixMultiplication MatrixMultiplikation(A,B): if(cols(a) rows(b)){ return ; } n = cols(a); C = matrix(rows(a), cols(b)); for i = 0 to rows(a) 1 { for j = 0 to cols(b) 1 { C[i][j] = 0; for k = 0 to n 1 { C[i][j] = C[i][j] + A[i][k] B[k][j]; } } } Häufigkeit 1 t c 1 1 t m 2n + 2 n (2n + 2) n 2 1 n 2 (2n + 2) n 3 1 Laufzeitfunktion ungefähr T (n) = 1+t c +1+t m +(2n+2)+2n 2 +2n+n 2 1+2n 3 +2n 2 +n 3 1 O(n 3 ) kubische Laufzeit
71 Zusammenfassung Komplexitätsabschätzung oft intuitiv Beispiel: Eingabelänge n, aber nur lokale Änderung (etwa Anfügung an verkettete Liste) O(1) Beispiel: Eingabelänge n, und for-schleife (etwa Minimum in Array) O(n) Wichtig ist vor allem Verständnis für die Bedeutung! Einfache Algorithmen/Probleme können extrem komplex zu lösen sein! Traveling Salesman Problem Primfaktorzerlegung
72 Traveling Salesman Problem (TSP) Beispiel: Straßenkarte mit Kilometerangaben Problem: Finde Rundreise, so dass jeder Knoten (jede Stadt) genau einmal besucht wird, und die Gesamtstrecke möglichst kurz ist! a b c d e
73 Traveling Salesman Problem (TSP) Die Beschreibung des Problems ist trivial! Die exakte Lösung aber extrem komplex! Verwendet viel Zeit zur expliziten Untersuchung aller Möglichkeiten!
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