9 Konvexe Funktionen, Stütz- und Distanzfunktion

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1 U BREHM: Konvexgeometrie 9-9 Konvexe Funktionen, Stütz- un Distanzfunktion Definition: Sei K IR, f : K IR eine Abbilung f heißt konvex, wenn K konvex ist un für alle x, y K un alle, gilt f( x( ) y) f( x) ( ) f( y) Sei f : K IR eine Abbilung E f x y ( ): m(, ) IR xk, y f( x) r E( f ) heißt er Epigraph von f f heißt konkav, wenn f konvex ist Lemma 9: Sei f : K IR eine Abbilung Dann gilt: ) E( f ) ist konvex genau ann, wenn f konvex ist ) Falls f konvex ist, ann sin für alle a IR lxk f( x) aq un lxk f ( x ) aq konvex ) "": Sei E( f ) konvex Dann ist K p E( f ), wobei p auf ie ersten Komponenten ist, also K konvex Seien x, y K,, Dann gilt ( x, f ( x)) ( )( y, f ( y)) E( f ), also f( x) ( ) f( y) f( x ( ) y) "": Sei f konvex ( xs, ),( yt, ) E( f),,, also f( x) s, f( y) t, also f ( x) ( ) f ( y) s ( ) t, also ( xs, ) ( )( yt, ) E( f) ) Klar (einsetzen) :IR IR ie Projektion Wir untersuchen nun Stetigkeits- un Differenzierbarkeitseigenschaften konvexer Funktionen Dazu zunächst

2 9- U BREHM: Konvexgeometrie Lemma 9: Sei f : K IR eine konvexe Funktion, seien x, x K Seien Dann gilt für ie Differenzenquotienten 3 f( x 3( xx)) f( x) f( x ( x x)) f( x) 3 f( x ( xx)) f( x), sofern x ( x x ) K i Sei 3 l qir efiniert urch g( ): f( x ( x x )) Sei g: x ( x x ) K g ist konvex, a f konvex ist (betrachte en Schnitt von konv{ x, x} IR mit em Epigraphen) F I g( ) g g( ) g( ) H K, also g( ) g( ) g( ) g( ), woraus sofort ie Ungleichung folgt Entsprechen F I 3 3 g( ) g 3 g( 3) g( ) H 3 3 K, also 3 3 g( 3) g( ) g( ) g( ) 3 Satz 9: Sei f x : K IR konvex, ann ist f in K stetig un es existieren in jeem Punkt K un für jee Richtung u ie einseitige Richtungsableitung f lim ( x u ) f ( x ) Sei x K Dann gibt es einen Würfel W mit Mittelpunkt x un W K Seien x,, x ie Ecken von W Dann gilt für y W F f ( y ) f x f ( x ) max f ( x ) max f ( x H G I K J F H G I K J ), i i i i i i i i i i i i wobei i, i i

3 U BREHM: Konvexgeometrie 9-3 Sei M: max f( x ) i i Wir erhalten nun mit Lemma 9 urch ie Spezialisierung bzw 3, y: x : f( x ( y x )) f( x ) ( f( y) f( x )) ( M f( x )) bzw ( f( x ( y x )) f( x )) ( f( x ( y x )) f( x )) ( M f( x )) (unter Beachtung er Zentralsymmetrie von W bezüglich x, h yw x ( yx ) W ), also f( x ( yx )) f( x )) f( x ) ( M f( x )) ( ) Also ist f in x stetig Ferner folgt aus Lemma 9, ass f ( x u) f ( x) für : min RST M f( x ),, Seitenlänge von W für eine monoton wachsene nach unten beschränkte Funktion ist, so ass f lim ( x u ) f ( x ) f ( x u) f ( x) inf existiert UVW Definition: f :IR IR heißt positiv homogen, wenn für alle gilt f( x) f( x) Beispiel: Sei :IR IR eine beliebige Norm Dann gilt nach Definition einer Norm für x, yir,, x( ) y x ( ) y x x für alle, also ist eine Norm konvex un positiv homogen Definition: Sei K K Dann bezeichne hku (, ): max l xu, xkq für u IR h heißt ie Stützfunktion von K Das Maximum existiert wegen er Kompaktheit von K Sei int K Dann bezeichne: gku (, ): inf l, ukq g heißt ie Distanzfunktion von K

4 9-4 U BREHM: Konvexgeometrie Die geometrische Beeutung er Stützfunktion ist leicht zu sehen: Sei H( K, u) ie Stützebene an K mit äußerem Normalenvektor u, also m m r r HKu (, ) yir yu,, wobei K yir y, u un es x K gibt mit xu,, also xu, yu, für y K, also u x u K H( K, u) x, u max y, u h( K, u), also y K HKu (, ) myir yu, hku (, ) r Insbesonere ist für u hku (, ) er Abstan er Stützhyperebene H( K, u) von Geometrische Beeutung von g (vgl auch Satz 93a): gku (, ) u u, wobei u er auf em Strahl von urch u liegene von u u u K K möglichst weit entfernte Punkt aus K ist gku (, ) Satz 9: Sei K K ) Die Stützfunktion h( K,_): IR IR ist positiv homogen un konvex m r (Polarmenge) ) K xir h( K, x) 3) Falls int K, ann gilt für alle x IR hkx (, ) gk (, x) un g( K, x) h( K, x) 4) Für gilt h( K, x) h( K, x) für alle x IR 5) Für K, K K un alle x IR gilt: h( K K, x) h( K, x) h( K, x) 6) Die Distanzfunktion gk (,_): IR IR ist positiv homogen un konvex 7) Für K, K K mit h( K, x) h( K, x) für alle x IR folgt K K Für K, K K, int K i mit gk (, x) gk (, x) für alle x IR folgt K K

5 U BREHM: Konvexgeometrie 9-5 ) Positiv homogen: klar Konvex: Sei,, ann ist h( K, x( ) y) max x( ) y, u uk ) Klar nach Definition von K max xu, ( ) max yv, hkx (, )+( ) hk (, y) uk vk 3) Sei int K Dann folgt aus K K, ass K K un int K (vgl Satz 5) hku (, ) max xu, xk min l, ux, für alle xkq min m, umyir y, x für alle xk gk (, u) gkx (, ) gk (, x) hk (, x) 4) h( K, x) max x, u uk max l xu, uk hkx (, ) l 5) hk ( K, x) max uu, x uk, uk max u, x u K max u, x u K hk (, x) hk (, x) 6) Klar nach ) un 3) q l q l q l q rr 7) Sei K K, oba K / K Dann gibt es xk \ K Dann lassen sich x un K urch eine Hyperebene H echt trennen (Satz 33)) Sei H myir y, u ar un K my IR y, u ar Dann gilt hk (, u) a xu, hk (, u), also hk (, u) hk (, u) Die entsprechene Aussage für g folgt aus er für h mit 3) Bemerkung: Aus Satz 95 un 97 folgt sofort Lemma 8a), nämlich KK K K K K für K, K; KK

6 9-6 U BREHM: Konvexgeometrie Bemerkung: Sei K K Dann gilt int K genau ann, wenn hkx (, ) für alle x IR \ Dies folgt irekt aus er geometrischen Deutung von h Bemerkung: Nach Satz 9, 3) sin Stützfunktion un Distanzfunktion ual, für K K mit int K Falls int K, ann ist nur noch ie Stützfunktion sinnvoll zu efinieren (entsprechen ist ie Distanzfunktion auch für unbeschränkte Mengen efinierbar) Satz 93: a) Sei g:ir IR eine positiv homogene konvexe Funktion mit g( x) für x Dann gibt es genau eine kompakte konvexe Menge K mit K, so ass g( K, x) g( x) für alle x IR gilt Dabei kann K als K: mxir g( x) r efiniert weren b) Sei h:ir IR eine positive homogene konvexe Funktion mit h( x) für x Dann gibt es genau eine kompakte konvexe Menge K mit K, so ass hkx (, ) hx ( ) für alle x IR gilt a) Die Eineutigkeit von K hatten wir schon in Satz 97 gezeigt m Sei K: xir g( x) r Wegen er Konvexitität von g ist K konvex nach Lemma 9 Ferner ist g nach Satz 9 stetig un aher K abgeschlossen l Sei c: min g( x) x q Dieses Minimum existiert wegen er Stetigkeit von g un er Kompaktheit von x x q; c wegen gx ( ) für x l Wegen er positiven Homogenität von g ist gx ( ) für x c, also K B ( ) beschränkt un amit kompakt c Sei M: max lg( x) x q Dann gilt B ( ) K, also int K M Wir zeigen K mxir g( K, x) r Für x K gilt x K, also gkx (, ) Falls gkx (, ) gilt x g( K, x) K K, a wegen K kompakt as Infimum { } angenommen wir inf, (, ) x K g K x

7 U BREHM: Konvexgeometrie 9-7 Also xir g K x xir g x m r m r Da nun gk (,_) un g positiv homogen sin folgt gkx (, ) gx ( ) für alle x IR, enn für alle a gilt ba g b a g un gx gx ( ) a g x gk, x gkx (, ) a ( ) für alle x b) folgt nun aus a) wegen Satz 93 un 97, sowie wegen K K mit int K K K mit intk un K K für K K mit int K Bemerkung: K mxir g( K, x) r liefert folgene anschauliche Interpretation von g: Der Epigraph von g ist ie positive Hülle (er aufgespannte Kegel mit Spitze ) von ( x, ) xk l q IR Bemerkung: Seien K, KK un int K int K Dann sin äquivalent: a) K K b) gk (, u) gk (, u) für alle uir c) hk (, u) hk (, u) für alle uir a) c) ist klar nach Definition von h c) b) wegen Satz 93 un K K K K b) a) klar, a K xir g( K, x) i m i r für i, Bemerkung (ohne Beweis): Satz 93b kann moifiziert weren zu: Sei h:ir IR eine positiv homogene konvexe Funktion Dann gibt es genau eine Menge K K mit hkx (, ) hx ( ) für alle x IR (Dh ie Voraussetzung hx ( ) für x un ie Behauptung K wuren gestrichen) Wir wollen nun ie Stetigkeit es Volumens (bezüglich er HAUSDORFF-Metrik) zeigen Unter Volumen wollen wir abei as LEBESGUE-Maß im IR verstehen Bei beschränkten konvexen Mengen existiert as Volumen sogar im Sinne von PEANO- JORDAN, a er Ran einer beschränkten konvexen Menge eine Nullmenge ist

8 9-8 U BREHM: Konvexgeometrie Die wichtigsten Eigenschaften es (-imensionalen) Volumens V: Sei K K, IR ) V( K) un V( K) genau ann, wenn im K ) V( K) V( K) 3) V( f K t) V( K) et( f ), wobei f :IR (Translationsvektor) 4) K K V( K ) V( K ) IR linear sei un t IR Für en Stetigkeitsnachweis von V zeigen wir zunächst Lemma 93: Seien K, K K un K int K Dann gibt es mit K K für alle K K mit ( K, K) Wegen K int K un K kompakt gibt es mit K B( ) K (wähle ( K, IR \ K )) Sei nun K K mit ( K, K), also K B( ) K K B( ), woraus K K folgt ( hk (, u) u hku (, ) u, also hk (, u) hku (, ) für alle uir, also K K nach Bemerkung) Satz 94: Das Volumen V : K IR ist eine stetige Funktion Sei K K un Zu zeigen ist ie Existenz eines mit V( K) V( K ~ ) für alle K ~ K mit ( KK, ~ ) Fall: V( K) Dann liegt K in einer Hyperebene H Ist ( KK, ~ ), so gilt ~ K K B ( ) K BH SH, abei sei B H er Durchschnitt von B ( ) mit er zu H parallelen Hyperebene urch un S H ie zu H senkrechte Strecke er Länge mit em Mittelpunkt in Es folgt (FUBINI) V( K ~ ) V( K B S ) V ( K B ), H H H K wobei V as ( ) -imensionale Volumen von Teilmengen einer Hyperebene bezeichne, un amit ie Behauptung Fall: V( K) OBA sei ann int K Wähle mit ( ) V( K) Wegen int K gibt es eine Kugel Br( ) intk

9 U BREHM: Konvexgeometrie 9-9 Nach Lemma 93 gibt es mit ( ) r un mit Br K ~ für alle K ~ K mit ( KK, ~ ) Sei nun ( KK, ~ ) Dann gilt ~ ~ ~ ~ ~ K K B( ) K B( ) r( ) K ( ) K K, ~ K K analog, also ~ ~ V( K) V( K ) V ( K ), also V( K) V( K ~ ) ( ) V( K ~ ) ( ) V( K) V( K ~ ) V( K) ( ) V( K ~ ), also V( K) V( K ~ ) Bezeichne V as ( ) -imensionale Volumen einer Teilmenge einer Hyperebene es IR Für eine Pyramie P über er Basis B mit Höhe h gilt V( P) hv ( P ) B e w e i s : Bezeichne B t en Schnitt von P mit er Hyperebene parallel zur Basis im Abstan t von er Spitze Dann ist V ( ) t Bt V( P), also gilt h h z h z e j V( P) V B t t tv B h ( t) V B h ( ) ( ) h hv ( B ) Lemma 94: Sei P IR ein -imensionales Polytop mit en Facetten Fi { xir x, ui h( P, ui)} P, wobei u i er ins äußere von P weisene Normalenvektor an F i sei mit u i, i,, k Dann gilt V( P) h( P, ui) V ( Fi) k i Falls P, ann lässt sich P als bis auf nieerimensionale Mengen (: essentiell isjunkte ) isjunkte Vereinigung von k Pyramien schreiben mit Basis F i un Spitze, also Höhe hpu (, i ), woraus sich ie Behauptung sofort ergibt

10 9- U BREHM: Konvexgeometrie Falls P, ann lässt sich P schreiben als essentiell isjunkte Vereinigung erjenigen Prismen mit Basis F i un Spitze (also Höhe hpu (, i )) für ie hpu (, i ) minus er essentiell isjunkten Vereinigung er übrigen solchen Pyramien (mit hpu (, i ) ) Dabei liegen ie Pyramien er Sorte ganz in er Vereinigung von enen er Sorte Daraus ergibt sich ie Behauptung Beispiel: