Kapitel 8: Bipartite Graphen Gliederung der Vorlesung

Transkript

1 Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken und Anwendungen 8. Bipartite Graphen 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

2 Gliederung des Kapitels a) Begriffe / Grundlagen b) Kantenmaximale Matchings c) Kantenmaximale Matchings in Bipartiten Graphen d) Anwendungen 8/3, Folie 015 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

3 Gliederung des Kapitels u Begriff: Bipartiter Graph sei G = (V,E) ein Graph G ist ein bipartiter Graph, falls es zwei Mengen X, Y V mit folgenden Eigenschaften gibt: X Y = X Y = V E X Y X... auch wenn wir uns in diesem Kapitel nur mit zusammenhängenden Graphen, soll darauf hingewiesen werden, dass bipartite Graphen nicht per Definition zusammenhängend sein müssen 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

4 Gliederung des Kapitels u Anmerkungen wir werden bipartite Graphen verwenden, um bestimmte Probleme zu modellieren in diesen Fällen ergibt sich die Zerlegung der Knotenmenge V in die beiden disjunkten Teilmengen X und Y direkt bei der Modellierung in anderen Fällen wird man für einen gegebenen Graphen G erst einmal überprüfen müssen, ob er ein bipartiter Graph ist... dann kann man spezielle Algorithmen (/* etwa zum Bestimmen von kantenmaximalen Matchings */) anwenden, die Besonderheiten von bipartiten Graphen ausnutzen 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

5 Gliederung des Kapitels u Gegenbeispiel u Beispiel /3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

6 u Ein grundlegender Zusammenhang sei G = (V,E) ein Graph Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1) G ist ein bipartiter Graph. ) G enthält keine Kreise ungerader Länge, d.h. keine Pfade der Form P = (v 0,...,v k-1 ) mit v 0 = v k-1. 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

7 u Beweisidee (/* 1) impliziert ) */) sei G = (V,E) ein bipartiter Graph und X,Y V die zugehörige Zerlegung der Knotenmenge von G Annahme: (v 0,v 1,...,v k-1 ) ist ein Kreis ungerader Länge in G, d.h. v k-1 = v 0 o.b.d.a. sei v o X da G bipartit ist, muss v 1 Y gelten da G bipartit ist, muss v X gelten... also muss v k-1 Y gelten da X Y = und v o X gilt, kann damit nicht v k-1 = v 0 gelten 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

8 u Beweisidee (/* ) impliziert 1) */) sei G = (V,E) ein Graph, der keine Kreise ungerader Länge enthält, und x ein Knoten in G wir wollen zeigen, dass die wie folgt definierten Mengen X und Y eine geeignete Zerlegung der Knotenmenge von G bilden X = { x } { u V {u,u} E für ein u Y } Y = { u V {u,u} E für ein u X } man kann sich leicht davon überzeugen, dass gilt: wenn ein Knoten u zur Knotenmenge X gehört, so gibt es einen Pfad gerader Länge vom Knoten x zum Knoten u wenn ein Knoten u zur Knotenmenge Y gehört, so gibt es einen Pfad ungerade Länge vom Knoten x zum Knoten u (/* und damit auch einen Pfad ungerader Länge vom Knoten u zum Knoten x */) 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

9 u Beweisidee (/* ) impliziert 1) */) da G ein zusammenhängender Graph ist, folgt sofort, dass V = X Y gilt Annahme: X Y sei u ein Knoten in X Y wegen u X gibt es einen Pfad P 1 = (v 0,...,v k ) gerader Länge mit v 0 = x und v k = u wegen u Y gibt es einen Pfad P = (v 0,v 1,..,v k-1 ) ungerader Länge mit v 0 = u und v k-1 = x also ist P = (v 0,...,v k,v 1,...,v k-1 ) ein Pfad ungerader Länge vom Knoten x zum Knoten x 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

10 u Anmerkungen die beim Beweis der Aussage ) impliziert 1) verwendete Idee kann man benutzen, um zu entscheiden, ob ein gegebener (zusammenhängender) Graph G = (V,E) ein bipartiter Graph ist man versucht V wie beschrieben, in zwei Teilmengen zu zerlegen falls das gelingt, so ist G ein bipartiter Graph falls ein Knoten u beiden Teilmengen zugeordnet wird, so ist G kein bipartiter Graph um die Entscheidung zu treffen, genügen O(n+m) viele Rechenschritte, wobei wie üblich V = n und E = m gilt... wenn G nicht zusammenhängend ist, bestimmt man erst die Zusammenhangskomponenten und untersucht im Anschluss alle durch diese induzierten Teilgraphen separat (/* das benötigt auch nicht mehr als O(n+m) viele Rechenschritte */) 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

11 u Vereinbarung um uns das Leben einfacher zu machen, gehen wir im Weiteren davon aus, dass ein gegebener bipartiter Graph G = (V,E) durch ein Triple (X,Y,E) beschrieben wird, d.h. es gilt: X Y = X Y = V E X Y 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

12 u Vergrößernde Wege in bipartiten Graphen sei G = (X,Y,E) ein bipartiter Graph sei M E ein Matching für G sei (v 0,...,v k-1 ) ein vergrößernder Weg für M Dann gilt: Entweder gilt v 0 X und v k-1 Y oder v 0 Y und v k-1 X.... da im zweiten Fall der Weg (v k-1,...,v 0 ) auch ein vergrößernder Weg für M ist, genügt es, nach vergrößernden Wegen für M zu suchen, die in der Knotenmenge X beginnen 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

13 u Algorithmische Fragestellung gegeben: ein bipartiter Graph G = (X,V,E) ein Matching M gesucht: Antwort auf die Frage, ob M ein kantenmaximales Matching für den Graphen G ist... wie üblich habe der Graph G genau n Knoten und genau m Kanten 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

14 u Ungarischer Algorithmus (Vorvariante) (1) Bestimme A = { x X x ist M-frei } uns setze B =. Falls A =, so gib M ist kantenmaximales Matching aus. Sonst setze A = A. () Bestimme B = { y Y \ B es gibt eine Kante {y,x} E \ M mit x A }. Falls B =, so gib M ist ein kantenmaximales Matching aus. Falls B = und B enthält einen M-freien Knoten, so gib M ist kein kantenmaximales Matching aus. Sonst setze B = B B und gehe zu (3). (3) Bestimme A = { x X \ A es gibt eine Kante {x,y} M mit y B }. Falls A =, gib M ist ein kantenmaximales Matching aus. Sonst setze A = A A und gehe zu (). 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

15 u Beispiel A = { }; B = ; A = { } B = {,6 } A = { } { 3,5 } B = {,6 } { 3,4,5 } A = {,3,5 } { 1,4,6 } B = {,3,4,5,6 } { 1 }... da der Knoten 1 ein M-freier Knoten ist, ist das gegebene Matching kein kantenmaximales Matching 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

16 u Anmerkungen zur Laufzeit offenbar genügen O(n) viele Rechenschritte um (1) auszuführen in () genügt es, für jeden im letzten Schritt zu A hinzugenommenen Knoten jede Kante von diesem Knoten zu einem Knoten in Y, die nicht zu M gehört, einmal anzufassen in (3) genügt es, für jeden im letzten Schritt zu B hinzugenommen Knoten maximal eine Kante von diesem Knoten zu einem Knoten in X (/* diese Kante gehört zum Matching M */) einmal anzufassen... offenbar genügen O(n+m) viele Rechenschritte, um zu entscheiden, ob das gegebene Matching ein kantenmaximales Matching ist 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

17 u Anmerkungen zur Korrektheit (/* Ausgabe M ist nicht kantenmaximal */) es seien A 0,...,A k- und B 1,...,B k-1 die sukzessive erzeugten Mengen mit Knoten aus X bzw. Y dann gibt es einen ein M-freien Knoten y k-1 in der Menge B k-1 dann gibt es eine Kante aus E \ M vom Knoten y k-1 zu einem Knoten x k- in der Menge A k- dann gibt es eine Kante aus M vom Knoten x k- zu einem Knoten y k-3 in der Menge B k-3 dann gibt es eine Kante aus E \ M vom Knoten y k-3 zu einem Knoten x k-4... in der Menge A k-4... diese Rückwärtsanalyse zeigt, dass es einen vergrößernden Weg W = (x 0,y 1,...,x k-,y k-1 ) für M gibt 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

18 u Anmerkungen zur Korrektheit (/* Ausgabe M ist kantenmaximal */) Annahme: es gibt ein vergrößernden Weg W = (v 0,...,v k-1 ) für M es sei W ein vergrößernder Weg für M zum Knoten v k-1 mit einer minimalen Anzahl von Kanten und es es seien A 0,...,A k- und B 1,...,B k-1 die sukzessive erzeugten Mengen mit Knoten aus X bzw. Y dann gehört offenbar der Knoten v 0 zur Menge A 0 dann gehört offenbar der Knoten v 1 zur Menge B 1 dann gehört offenbar der Knoten v zur Menge A dann gehört der Knoten v 3 zur Menge B 3 (/* andernfalls müsste v 3 zur... Menge B 1 gehören und es würde einen kürzeren vergrößernden Weg von einem Knoten in A 0 zum Knoten v k-1 geben */)... diese Vorwärtsanalyse zeigt, dass der Knoten v k-1 zur Menge gehört, und die Ausgabe M ist nicht kantenmaximal erzeugt wird 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

19 u Anmerkungen den ungarischen Algorithmus kann man ganz einfach so modifizieren, dass zusammen mit der Ausgabe M ist kein kantenmaximales Matching alle Informationen zur Verfügung stehen, um im Anschluss einen vergrößernder Weg für M zu bestimmen... dabei wird die Zeitschranke O(n+m) nicht überschritten 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

20 u Ungarischer Algorithmus (1) Bestimme A = { x X x ist M-frei } uns setze B =. Falls A =, so gib M ist ein kantenmaximales Matching aus. Sonst setze A = A. () Bestimme B = { y Y \ B es gibt eine Kante {y,x} E \ M mit x A } und speichere für jedes y B den zuerst gefundenen Knoten x A mit {y,x} V \ M. Falls B =, so gib M ist kein kantenmaximales Matching aus. Falls B = und B enthält einen M-freien Knoten, so gib M ist kein kantenmaximales Matching aus. Sonst setze B = B B und gehe zu (3). (3) Bestimme A = { x X \ A es gibt eine Kante {x,y} M mit y B } und speichere für jedes x A den eindeutig festgelegten Knoten y B mit {x,y} M. Falls A =, so gib M ist ein kantenmaximales Matching aus. Sonst setze A = A A und gehe zu (). 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

21 u Beispiel 1 1 A = { }; B = ; A = { } B = {,6 } /3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

22 u Beispiel A = { }; B = ; A = { } B = {,6 } A = { } { 3,5 } /3, Folie 015 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

23 u Beispiel A = { }; B = ; A = { } B = {,6 } A = { } { 3,5 } B = {,6 } { 3,4,5 } /3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

24 u Beispiel A = { }; B = ; A = { } B = {,6 } A = { } { 3,5 } B = {,6 } { 3,4,5 } A = {,3,5 } { 1,4,6 } /3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

25 u Beispiel A = { }; B = ; A = { } B = {,6 } A = { } { 3,5 } B = {,6 } { 3,4,5 } A = {,3,5 } { 4,1,6 } B = {,3,4,5,6 } { 1 }... da der Knoten 1 ein M-freier Knoten ist, ist das gegebene Matching kein kantenmaximales Matching und der Weg W = (1,1,4,5,6,) ein vergrößernder Weg für M 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

26 u Algorithmische Fragestellung gegeben: ein bipartiter Graph G = (X,V,E) gesucht: ein kantenmaximales Matching M für G... wie üblich habe der Graph G genau n Knoten und genau m Kanten 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

27 u Ungarische Methode a) Setze M =. b) Überprüfe mit Hilfe des ungarischen Algorithmus, ob M ein kantenmaximales Matching ist. Falls ja, gib M aus und stoppe. Falls nein, gehe zu Schritt c). c) Bestimme einen vergrößernden Weg W für M, bestimme die Menge E W aller im vergrößernden Weg W benutzten Kanten, setze M = (M \ E W ) (E W \ M) und gehe zu Schritt b).... offenbar leistet diese Methode das Gewünschte... da das Matching maximal O(n) mal vergrößert wird, benötigt diese Methode maximal O(n*(n+m)) viele Rechenschritte 8/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung