Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel

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1 Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Elemente, Buch I Stefan Witzel

2 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden.

3 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS.

4 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat.

5 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat. Ein Drachenviereck PQRS hat PQ = PS und QR = RS.

6 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat. Ein Drachenviereck PQRS hat PQ = PS und QR = RS. Das Viereck PQRS ist ein Trapez wenn PQ RS.

7 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat. Ein Drachenviereck PQRS hat PQ = PS und QR = RS. Das Viereck PQRS ist ein Trapez wenn PQ RS. Das Viereck PQRS ist eine Raute wenn alle Seiten gleich lang sind.

8 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat. Ein Drachenviereck PQRS hat PQ = PS und QR = RS. Das Viereck PQRS ist ein Trapez wenn PQ RS. Das Viereck PQRS ist eine Raute wenn alle Seiten gleich lang sind. Das Viereck ist ein Quadrat wenn es ein Rechteck und eine Raute ist.

9 Polygone Punkte P 1,..., P n bilden ein n-eck P 1... P n, mit Ecken P i und Kanten P i P i+1 wenn sich nur benachbarte Kanten schneiden und das nur in den Ecken.

10 Polygone Punkte P 1,..., P n bilden ein n-eck P 1... P n, mit Ecken P i und Kanten P i P i+1 wenn sich nur benachbarte Kanten schneiden und das nur in den Ecken. Ein n-eck P 1... P n ist regelmäßig wenn alle Seiten P i P i+1 zueinander kongruent sind (also gleich lang) und alle Winkel P i 1 P i P i+1 zueinander kongruent sind (also gleiches Winkelmaß haben).

11 Dreieck mit gegebenen Kantenlängen Problem. Seien a = A 1 A 2, b = B 1 B 2 und c = C 1 C 2 Segmente, deren Längen die drei Dreiecksungleichungen erfüllen, also A 1 A 2 B 1 B 2 + C 1 C 2, B 1 B 2 A 1 A 2 + C 1 C 2, C 1 C 2 A 1 A 2 + C 1 C 2. Konstruiere ein Dreieck PQR mit PQ = A 1 A 2, QR = B 1 B 2 und PR = C 1 C 2.

12 Dreieck mit gegebenen Kantenlängen Problem. Seien a = A 1 A 2, b = B 1 B 2 und c = C 1 C 2 Segmente, deren Längen die drei Dreiecksungleichungen erfüllen, also A 1 A 2 B 1 B 2 + C 1 C 2, B 1 B 2 A 1 A 2 + C 1 C 2, C 1 C 2 A 1 A 2 + C 1 C 2. Konstruiere ein Dreieck PQR mit PQ = A 1 A 2, QR = B 1 B 2 und PR = C 1 C 2. Konstruktion. Wähle P = A 1, Q = A 2 und R als den Schnittpunkt von P C1 C 2 und Q B1 B 2. Folgerung. Drei Längen A 1 A 2, B 1 B 2 und C 1 C 2 sind genau dann die Kantenlängen eines Dreiecks, wenn sie die drei Dreiecksungleichungen erfüllen.

13 Gerade und Parallelen, 1 Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei Geraden g und h geschnitten wird und 1. die wechselseitigen Winkel α und β gleich sind oder 2. die Stufenwinkel δ und β gleich sind oder 3. die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen 180 messen, dann ist g parallel zu h. g α P δ h Q β γ f

14 Gerade und Parallelen, 1 Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei Geraden g und h geschnitten wird und 1. die wechselseitigen Winkel α und β gleich sind oder 2. die Stufenwinkel δ und β gleich sind oder 3. die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen 180 messen, dann ist g parallel zu h. Beweis. Nebenwinkelsatz, Gegenwinkelsatz: die drei Bedingungen sind äquivalent. Angenommen es gäbe einen Schnittpunkt R, dann wäre PQR ein Dreieck mit Winkelsumme 180.

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