Mathematik EP - Stochastik VIERFELDERTAFEL UND BAUMDIAGRAMM

Transkript

1 Mathematik EP - Stochastik VIERFELDERTAFEL UND BAUMDIAGRAMM

2 HIV - SCHNELLTEST Die Immunschwächekrankheit AIDS wird durch das HI-Virus, welches 1993 entdeckt wurde, verursacht. Die Krankheit gilt bis heute als nicht heilbar, kann jedoch verlangsamend behandelt werden. Ein HIV-Test weist die Antikörper, die nach etwa 6 Wochen nach der Ansteckung vom Körper gegen den Virus gebildet werden, nach.

3 DIE WICHTIGSTEN INFOS: Etwa 0,1% einer Bevölkerung im reproduktionsfähigen Alter sei HIV infiziert Ein AIDS-Test zeige bei 98% der Infizierten richtig an, dass eine HIV-Infektion vorliege; allerdings zeige dieser Test auch fälschlicherweise bei 1% der Nicht-Infizierten das angebliche Vorliegen dieser Infektion an. Bei einer Reihenuntersuchung unterziehen sich Personen aus der oben genannten Bevölkerungsgruppe diesem Test.

4 PROBLEMATIK DES TESTS Welche falschen Diagnosen können aus dem Ergebnis eines solchen Tests resultieren? Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft.

5 ZIEL Beurteilung der Test-Güte auf Grundlage der Bestimmung von (u.a.)... der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1. Fehlers (Infizierter wird negativ getestet) der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 2. Fehlers (Nicht-Infizierter wird fälschlicherweise als positiv getestet)

6 VORGEHEN Übersichtliche Darstellung der verfügbaren Daten/Zahlen in einer sogenannten Mehrfeldertafel Rekonstruktion von fehlenden Zahlen aus dem Zusammenhang Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeiten

7 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv Test negativ Gesamt

8 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv Test negativ Gesamt 0,1% von =

9 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 98% von 100 = 98 Test negativ Gesamt 0,1% von =

10 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 98 Test negativ 2 Gesamt

11 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 98 1% von = 999 Test negativ 2 Gesamt

12 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 98 1% von = = 1097 Test negativ = = Gesamt

13 DIE VIERFELDERTAFEL Absolute Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv Test negativ Gesamt

14 DIE VIERFELDERTAFEL Relative Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv Test negativ Gesamt

15 DIE VIERFELDERTAFEL Relative Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv Test negativ Gesamt

16 DIE VIERFELDERTAFEL Relative Zahlen für untersuchte Personen Infiziert NICHT-Infiziert Gesamt Test positiv 0, ,01097 Test negativ 0, , ,98903 Gesamt 0,001 0,999 1

17 ABKÜRZUNGEN

18 ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person infiziert? Tafel Lösung: P(J) = Anz. Infizierte / Anz. Untersuchte = 100 / = bzw. 0,1%

19 ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test dieser getesteten Person negativ? Tafel Lösung: P(T) = Anz. negativ getestet / Anz. Untersuchte = / = bzw. 98,9%

20 ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN Zurück zum Ausgangsproblem (1): Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst, d.h. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines Infizierten negativ? Wir schreiben: P J (T) Und meinen damit: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test negativ (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person infiziert (J) ist. Tafel

21 Tafel

22 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines Infizierten negativ? - mit einem Baumdiagramm: P( J T) P( J T) P( J T) P( J T) = 0,00098 = 0,00002 = 0,00999 = 0,98901 Gesucht: T T T T P J (T) J J 0,001 0,999

23 ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN Zurück zum Ausgangsproblem (2): Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft, d.h. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines NICHT-Infizierten positiv? Wir schreiben: P J (T) Und meinen damit: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test positiv (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person NICHT infiziert (J) ist. Tafel

24 Tafel

25 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines NICHT-Infizierten positiv? - mit einem Baumdiagramm: P( J T) P( J T) = 0,00098 = 0,00002 P( J T) P( J T) = 0,00999 = 0,98901 T T T T J 0,0 0,9

26 DIE BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT

27 ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN 1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ war? (3) 2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person wirklich infiziert, wenn der Test positiv war? (4) 3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor? P(T) Tafel

28 Tafel

29 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ war? - mit dem umgekehrten Baumdiagramm: P( T J) P( T J) = 0,00098 = 0,00999 J J P( T J) P( T J) = 0,00002 J = 0,98901 J T T 0, ,98903

30 LÖSUNG (4) Tafel

31 LÖSUNG (4) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test positiv war? - mit dem umgekehrten Baumdiagramm: P( T J) P( T J) = 0,00098 = 0,00999 J J P( T J) P( T J) = 0,00002 J = 0,98901 J T T 0, ,98903

32 Tafel

33 Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor? - mit einem Baumdiagramm (keine bedingte Wahrscheinlichkeit!) : P( J T) = 0,00098 T P( J T) = 0,00002 T P( J T) = 0,00999 T P( J T) = 0,98901 T P (T) = = P(J T) + P(J T) = 0, ,00999 = 0,01097 bzw. 1,097% J 0,001 0,999 J

34 AUFGABEN Hausarbeit: (vom neuen Arbeitsblatt) Aufgabe 1) Polizei warnt vor Alkohol am Steuer