Brüche. Brüche beschreiben Bruchteile. M 6.1. Die Schokoladentafel hat 14 Stückchen, d.h. ein Stückchen entspricht dem Anteil

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1 M 6. Brüche Brüche beschreiben Bruchteile. 3 4 von 00kg = ( von 00kg) 3 = (00kg 4) 3 = kg 3 = 7kg 4 Die Schokoladentafel hat 4 Stückchen, d.h. ein Stückchen entspricht dem Anteil 4

2 M 6. Prozentschreibweise Anteile werden häufig in Prozent angegeben. Prozent heißt Hundertstel. Häufig vorkommende Prozentsätze 3 00 = 3% = 00% Nenner Nenner 4 Nenner Nenner 0 = 0% 4 = % 3 4 = 7% = 0% = 40% 3 = 60% 4 = 80% 0 = 0% 3 0 = 30% 7 0 = 70% 9 0 = 90%

3 M 6.3 Erweitern und Kürzen Durch Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht. Kürzen 3 = = ; 6 4 = 6 4 = 3 = = 4 Erweitern 4 = 4 = 0 ; = 3 3 = 6

4 M 6.4 Rationale Zahlen Zahlen, die man durch Brüche angeben kann, heißen Bruchzahlen. Eine Bruchzahl kann durch verschiedene wertgleiche Brüche angegeben werden. = = 4 = = ; = 4 = 3 = ; 3 = 9 = ; = = 4 = Jede Bruchzahl hat einen Platz auf der Zahlengeraden Die positiven und die negativen Bruchzahlen bilden zusammen mit der 0 die Menge der rationalen Zahlen Q.

5 M 6. Vergleichen rationaler Zahlen Brüche können verglichen werden, indem man sie durch Erweitern oder Kürzen auf denselben Nenner oder auf denselben Zähler bringt: Gleiche Nenner: Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer 7 > 3 7 Gleiche Zähler: Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist größer 3 > = 36 ; 7 8 = 4 36 > 7 8 Von zwei rationalen Zahlen ist diejenige größer, die weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt.

6 M 6.6 Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche Bei Dezimalbrüchen bedeutet die erste Stelle nach dem Komma Zehntel, die zweite Hundertstel, die dritte Tausendstel, 0, 03 = H Z T, z h t zt 0, 0 3 Methoden zum Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche Erweitern oder Kürzen zu einem Bruch mit Stufenzahl im Nenner 0 = 4 00 = 0, = 9 0 = 0,9 Schriftliches Dividieren 8 = 8 = 0, Endlicher Dezimalbruch = 6 = 0,6666 = 0,6 6 Unendlicher periodischer Dezimalbruch Enthält der Nenner eines vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren und, ergibt sich ein endlicher Dezimalbruch, andernfalls ein unendlicher.

7 M 6.7 Relative Häufigkeit Absolute Häufigkeit: Sie gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt. Relative Häufigkeit: Sie gibt an, bei welchem Anteil aller Versuche das bestimmte Ergebnis auftritt. Relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit Gesamtzahl der Versuche Zufallsexperiment: -mal würfeln Ergebnisse: Absolute Häufigkeit für das Ergebnis : Relative Häufigkeit für das Ergebnis : = 40% Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit für jedes Ergebnis um einen bestimmten Wert ein (empirisches Gesetz der großen Zahlen).

8 M 6.8 a b + c a + c = b b a b + c ad + cb = d bd Addition und Subtraktion von Brüchen Gleichnamige Brüche Zähler plus (minus) Zähler, Nenner beibehalten = = 7 Ungleichnamige Brüche. Brüche gleichnamig machen. Gleichnamige Brüche addieren (subtrahieren) = + 9 = = = 6 4 = 3 Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) aller Nenner. Er heißt Hauptnenner. Gemischte Zahlen. Gemischte Zahlen als Summen schreiben/denken. Ganze Zahlen zusammenrechnen, Brüche zusammenrechnen 3 + = = = = = = = 3

9 M 6.9 Multiplikation von Brüchen a a c c = b b a b c a c = d b d Bruch mal natürliche Zahl Zähler mal Zahl, Nenner beibehalten 7 3 = 3 7 = 6 7 Bruch mal Bruch Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner 3 3 = 3 3 = Gemischte Zahlen. in unechte Brüche umwandeln. multiplizieren 3 3 = 8 = 8 = 9 Von bedeutet in der Bruchteil-Regel mal 3 4 von 36 = = = 3 9 = 7 4 4

10 M 6.0 Division von Brüchen a b c = a b c a b : c a d = d b c Bruch durch natürliche Zahl Nenner mal Zahl, Zähler beibehalten Bruch durch Bruch mit dem Kehrbruch multiplizieren 7 : 3 = 7 3 = Doppelbrüche In Division umschreiben 3 : 3 = 3 3 = 3 3 = 0 9 = = 3 7 = 7 3 = 4

11 M 6. Rechnen mit Dezimalbrüchen Addieren und Subtrahieren Zahlen untereinander schreiben, so dass Komma unter Komma steht und stellenweise rechnen. 3,07 +0,0 3,090 Multiplizieren. Zahlen ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren. Im Ergebnis das Komma so setzen, dass es so viele Nachkommastellen hat wie beide Faktoren zusammen 0,3 0, = 0,07 Dividieren. In Dividend und Divisor das Komma so weit nach rechts verschieben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Überschreitet man beim Dividieren im Dividenden das Komma, wird im Ergebnis ein Komma gesetzt 0,0 0,7 =, 7 = 0,0

12 Brüche Dezimalbrüche M 6. Einteilung von Brüchen und Dezimalbrüchen Echte Brüche Zähler ist kleiner als Nenner 3 Endliche Dezimalbrüche 3 40 = 0,3 Unechte Brüche Zähler ist größer als Nenner Umwandlung in gemischte Zahlen (=Summe aus ganzer Zahl und echtem Bruch) möglich 4 = 4 Unendliche periodische Dezimalbrüche 4 33 = 0, reinperiodisch = 0,46 gemischtperiodisch = 0, = 0% 3 = 0, 3 = 33, 3 % = 0, = 0% 3 = 0, = % 4 3 = 0, 6 = 66, 6 % 3 = 0, 4 = 40% Wichtige Umrechnungen = 0, 7 = 7% 4 6 = 0, 6 = 6, 6 % 4 = 0, 6 = 60% = 0, =, % 8 9 = 0, =, % = 0, 8 = 80%

13 M 6.3 Flächenformeln Parallelogramm Dreieck Trapez Parallelogrammfläche = Grundlinie zugehöriger Höhe Dreiecksfläche Trapezfläche = Grundlinie zugehöriger Höhe = (Summe der parallelen Seiten) Höhe A P = g h A D = g h A T = (a + c) h A =,cm cm = cm A = 3cm,cm = 3,7cm A = (4cm +,cm) cm = 6,cm

14 M 6.4 Schrägbilder Die räumliche Darstellung eines Körpers nennt man Schrägbild. l = cm, b = cm, h =,cm a = cm, b = cm, c =,cm Beachte: Parallele Kanten sind auch im Schrägbild parallel. Rechte Winkel erscheinen im Schrägbild nicht immer als rechte Winkel.

15 M 6. Oberflächeninhalt Der Oberflächeninhalt O eines Körpers ist gleich dem Flächeninhalt seines Netzes. Beispiel: O = A + A + A 3 = (l b + b h + l h) l = cm, b = cm, h = cm O = (A + A + A 3 ) = (cm + cm + cm ) = 0cm

16 M 6.6 Umrechnung von Länge, Fläche und Volumen Länge Umrechnungszahl 0 km = 000m m = 0dm dm = 0cm cm = 0mm Fläche Umrechnungszahl 00 km = 00ha ha = 00a a = 00m m = 00dm dm = 00cm cm = 00mm Volumen Umrechnungszahl 000 m 3 = 000dm 3 dm 3 = 000cm 3 cm 3 = 000mm 3 Speziell: l = dm 3 ml = cm 3 hl = 00l l = 000ml

17 M 6.7 Volumen des Quaders Quadervolumen = Länge Breite Höhe Würfelvolumen = Seite Seite Seite V = l b h V = s s s = s 3 l = cm, b = 3cm, h =,cm: V = l b h = cm 3cm,cm = 9cm 3 s = 3cm: V = s 3 = (3cm) 3 = 7cm 3

18 M 6.8 Prozentrechnung = 3 Aufgabentypen Prozentsatz gesucht Grundwert gesucht Prozentwert gesucht Wie viel Prozent sind 8 von 40? 8 40 = = 0 00 = 0% % vom Grundwert sind 9 % vom Grundwert sind 3 00% vom Grundwert sind: 3 0 = 60 Wie viel sind 0% von kg? 0% von kg = = 0% kg = kg = = kg

19 M 6.9 Schlussrechnung (Dreisatz) 3kg Äpfel kosten, 40. Wie viel kosten kg? 3 Dachdecker brauchen für ein Dach Stunden. Wie lange brauchen fünf Dachdecker?

20 M 6.0 Diagramme Säulendiagramm Balkendiagramm Kreisdiagramm Prozentstreifen 00% 360 % 3, 6