KandidatIn (Name, Vorname): Klassen BMS W 2A / W 2B / A 6

Transkript

1 Berufsmaturitätsprüfung 2005 Mathematik Gewerbliche Abteilung gibb KandidatIn (Name, Vorname): Klassen BMS W 2A / W 2B / A 6 Prüfungsdauer: 20 Minuten Die gesamte Prüfung umfasst 8 Aufgaben. Jede vollständig gelöste Aufgabe zählt drei Punkte. Der Lösungsweg ist nachvollziehbar darzustellen. Der Einsatz von Hilfsmitteln ist anzugeben (TR). Wichtig: Die Aufgaben sind direkt auf die Aufgabenblätter zu lösen. Falls nötig kann die Rückseite benutzt werden. Name auf jedes Blatt oben rechts. Hilfsmittel: Formelsammlung, Graphikrechner inkl. Handbuch. Punkteübersicht: Aufgabe Punkte Bemerkungen Total Notenübersicht: Teilnote Noten Bemerkungen. Sem. 2. Sem. Vorschlag Prüfung Matur Ort / Datum: Der Examinator: Der Experte:

2 . Logarithmen.5 P.. Verwandeln Sie in die Potenzschreibweise und bestimmen Sie x ohne Taschenrechner: a) = log x b) 0 = log 6 (x 2 8) 25.5 P.2. Zerlegen Sie den Logarithmusterm so weit wie möglich: ln x2 6 = x 2.. a) x = 25 x = 5 b) 6 0 = x 2 8 = x = x 2 x = ±.2. ln x2 6 x 2 (x + 4)(x 4) = ln = [ln(x + 4) + ln(x 4) 2ln x] = x 2 ln(x + 4) + ln(x 4) 6ln x Matur 05 Lösungen gew

3 2. Vereinfachen Sie so weit wie möglich:.5 P x y 2 y x (2x ) 4 : (x ).5 P 2.2. a a a 2 a 4 = x y 2 y x 4 (2x ) 27 : = (x ) 6 x 2 y x (x ) 2 y (2x ) = 4 2 x 5 (2x )4 4 5 y (x ) = 2 x 5 4 y 24 x 4 5 x = x 6 y = x 6 y a a a 2 a 4 = a 2 a 2 2 a 2 a 4 8 = a 2 a 6 a a 2 = a 6 = a 2 = a Matur 05 Lösungen 2 gew

4 . Ein Landwirt hat ein rechteckiges Stück Land mit Länge c = 800 m und Breite d = 00 m. Wegen einer Umfahrungsstrasse muss das Grundstück gemäss Zeichnung neu in dreieckiger Form vermessen werden. Der Flächeninhalt von Rechteck und Dreieck ist gleich. Der Winkel α beträgt 0. γ b a d α P.. Wie lang ist die Seite b des neuen, dreieckförmigen Grundstücks? c P.2. Wie lang ist die Seite a des neuen, dreieckförmigen Grundstücks? (Falls Sie die Aufgaben.. nicht lösen konnten: rechnen Sie mit b = 000 m weiter.) P.. Wie gross ist der Winkel γ des neuen, dreieckförmigen Grundstücks? (Falls Sie die Aufgaben.2. nicht lösen konnten: rechnen Sie mit a = 550 m weiter.).. A = c d = = m 2 A = 2 b c sin α b = 2A c sinα = sin0 = 200 m.2. a = b 2 +c 2 2 b c cos α = cos(0 ) = m (504.4 m).. c sin γ = a sin α c sinα = a sin γ sin γ = c sinα a γ = arcsin c sinα a = 800 sin = 8. (46.7 ) Matur 05 Lösungen gew

5 4. Das Bundesamt für Statistik rechnet beim Szenario negative Dynamik mit folgender, exponentieller Bevölkerungsentwicklung in der Schweiz: Jahrzahl Geburten pro Jahr Todesfälle pro Jahr Bevölkerung ? P 4.. Geburten: wie hoch wird voraussichtlich die durchschnittliche, jährliche Abnahme zwischen 200 und 20 in Prozent sein? P 4.2. Todesfälle: die Zunahme beträgt durchschnittlich pro Jahr. %. Wie gross wird voraussichtlich die Zahl der Todesfälle im Jahr 20 sein? P 4.. In welchem Jahr wird die Zahl der Geburten die Zahl der Todesfälle unterschritten haben? 4.. A t = A 0 q n q = A n t = A = p = ( q ) 00% =.55% q = + p 00 =.0 A t = A 0 q n A 0 = A 0 q 0 = = t = t t = t ln = ln t = ln 75 6 ln.0 = Im 7. Jahr: 2008 Matur 05 Lösungen 4 gew

6 5. In der Tabelle finden Sie Angaben zur relativen Sonnenscheindauer in der Stadt Bern in Prozent. Wir betrachten die Funktion f: Monat relative Sonnenscheindauer. Die Werte der Tabelle sind Durchschnittswerte der Jahre 96 bis % bedeutet, dass in einem bestimmten Monat die Sonne durchschnittlich während einem Viertel des Tages geschienen hat. Bern J F M A M J J A S O N D % P 5.. Zeichnen Sie die den Graphen von f in ein geeignetes, rechtwinkliges Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch das Jahresmittel ein..5 P 5.2. Haben die Definitions- und die Wertemenge gleich viele Elemente? Ist die Umkehrzuordnung relative Sonnenscheindauer Monat auch eine Funktion? Begründen Sie ihre Antworten. 5.. Durchschnittswert 9 %, entspricht blauer Linie im Graphen. Bern Sonnenscheindauer Sonnenscheindauer % Monat 5.2. Wertemenge hat zwei Elemente weniger(0), da je zwei Werte doppelt vorkommen. Keine Funktion, wenn D nicht eingeschränkt wird, keine eindeutige Zuordnung. Dem Wert 40 % werden z.b. die beiden Monate April und Mai zugeordnet. Matur 05 Lösungen 5 gew

7 6. Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: x =2 (2x + y + 2m) y =m (x + 2y +) 2 P 6.. Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems ohne Fallunterscheidung. P 6.2. Für welche Werte des Parameters m hat das System nicht mehr genau eine Lösung? Geben Sie für diesen Fall die Lösungsmenge an. 6.. () (2) x =4x + 2y + 4m y =mx + 2my + m x = 2y +4m x = 2 y 4 m 2y 4m () in (2) einsetzen: y = m +2my +m 2y 4m y = m +2my +m y = 2my 4m 2 +6my +m 4m 2 m = 4my y ( ) = y ( 4m ) m 4m y = m x = 2m 6.2. m = 4 L = (x ;y ) y R x = 2 y Matur 05 Lösungen 6 gew

8 7. Gegeben sind die Funktionsgleichungen von zwei Parabeln: p : y = 2x 2 +5x + p 2 : y = x 2 +n P 7.. Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel p an. P 7.2. Für welches n berührt die Parabel p 2 die Kurve p in einem Punkt? P 7.. Der rechte Ast der Parabel p 2 mit n = wird an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten des Koordinatensystems gespiegelt. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und geben Sie die Funktionsgleichung des gespiegelten Astes an. 7.. m = b 2a = 5 4 n = c b 2 4a 25 = 8 = 7 8 S 5 4 ; x 2 +5x += x 2 +n x 2 +5x + n = 0 D = b 2 4ac = 25 4 ( n) = n = +2n D = 0: +2n = 0 +2n = 0 2n = n = Gleichung der Umkehrfunktion bestimmen:. Nach x auflösen: y = x 2 + x 2 = y x = y 2. Variablentausch: y = x Definitionsmenge: x 0 x D = { x x } Matur 05 Lösungen 7 gew

9 8. Eine kleine Fahrradfabrik stellt die Typen City und Speed her. Produktionsbedingungen: Die Produktionskosten betragen für City CHF 600. und für Speed CHF Pro Tag können nicht mehr als total CHF für die Produktion ausgegeben werden. Die Fertigungszeit von City dauert 60 Stunden, die von Speed dauert, da viele Teile zugekauft werden, nur 0 Stunden. Pro Tag stehen maximal 50 Arbeitsstunden zur Verfügung. Absatzbedingungen: Marktanalysen zeigen, dass vom Typ City im Moment höchstens dreimal so viele Stück verkauft werden können wie vom Typ Speed. 2 P 8.. Stellen Sie die Ungleichungen auf und zeichnen Sie das Planungspolygon. P 8.2. Der Gewinn pro Stück ist bei City CHF 400. und bei Speed CHF 00.. Wie viele Stück muss von den beiden Modellen pro Tag produziert werden, damit der Gewinn möglichst gross wird? 8.. x : Anzahl produzierte Modelle City pro Tag y : Anzahl produzierte Modelle Speed pro Tag () x 0 (2) y 0 () 600x +000y 0000 y 5 x +0 (4) 60x +0y 50 y 2x +7 (5) x y y x x +00y = Z y = 4x + Z 00 Maximum: (4) = (5) 2x +7 = x x = , y = , Ganzzahlige Lösung: Z = 57 7 Sück City und Stück Speed. Maximaler Gewinn: CHF 00.. Matur 05 Lösungen 8 gew

10 Quelle: Matur 05 Lösungen 9 gew