7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen

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1 7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen In diesem Kapitel sei stets D R, und I R ein Intervall. 7. Das unbestimmte Integral (Stammfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbare Funktion F : I R heißt eine Stammfunktion von f, falls gilt: F = f. Die Funktion f heißt dann integrierbar. Achtung: Nicht jede Funktion besitzt eine Stammfunktion.

2 Beispiel 7. (i) Sei f : R R gegeben durch f(x) = x n, n N 0. Dann ist F : R R mit F (x) = n + xn+ eine Stammfunktion von f. (ii) Sei f : R R gegeben durch f(x) = x 2 3x + 5. Dann ist F : R R gegeben durch F (x) = 3 x3 3 2 x2 + 5x eine Stammfunktion von f. Aber auch G : R R mit G(x) = 3 x3 3 2 x2 + 5x + 2 ist eine Stammfunktion von f. 2

3 Ist F (x) eine Stammfunktion von f(x), so ist auch F (x) + c eine Stammfunktion von f(x) (c ist hier eine Konstante). Weitere Stammfunktionen gibt es nicht, wie der folgende Satz zeigt: Satz 7. Sei f : I R eine reelle Funktion. Sind F, G Stammfunktionen von f, dann gibt es eine Konstante c R mit G(x) = F (x) + c für alle x I. Mit F (x) ist auch jede Funktion F (x) + c eine Stammfunktion von f(x). Es gilt also: Hat die Funktion f eine Stammfunktion F, dann ist die Menge {F + c c R} die Menge aller Stammfunktionen von f. 3

4 Der Begriff unbestimmtes Integral bedeutet nichts anderes als Stammfunktion : (Unbestimmtes Integral) Sei f : I R eine reelle Funktion, die eine Stammfunktion F besitzt. Dann bezeichnet das Symbol f(x) dx eine beliebige Stammfunktion von f, und es wird unbestimmtes Integral der Funktion f genannt. Sprechweise: Integral von f(x) dx. Manchmal wird auch f(x) dx = F (x) + c, geschrieben, wobei c R eine beliebige Konstante ist. Das unbestimmte Integral ist also nicht eindeutig bestimmt, sondern nur bis auf eine (additive) Konstante. 4

5 Es gilt also nach Definition für jede differenzierbare Funktion F : F (x) dx = F (x) + c. Beispiel 7.2 Es soll eine Funktion s(x) zur Berechnung der Einkommensteuer mit den folgenden Eigenschaften gefunden werden: (i) s : R 0 R 0 ist stetig. (ii) Das Existenzminimum ist steuerfrei: s(x) = 0 für x [0, 0000]. (iii) Der Grenzsteuersatz steigt linear bis zu einer gegebenen Einkommensgrenze: s (x) = x für x [0000, 20000]. (iv) Der Grenzsteuersatz ist für große Einkommen konstant: s (x) = 0.65 für x

6 Den Steuersatz für x [0000, 20000] erhalten wir als unbestimmtes Integral über den Grenzsteuersatz: ( x s(x) = ) dx = x x 20 + c. Aus der Stetigkeit von s(x) an der Stelle x = 0000 folgt, dass die Konstante als c = 750 zu wählen ist. Insbesondere ist dann s(20000) = Den Steuersatz für x erhalten wir ebenso als unbestimmtes Integral über den Grenzsteuersatz: s(x) = 0.65 dx = 0.65 x + c 2. Aus der Stetigkeit von s(x) an der Stelle x = folgt, dass die Konstante als c 2 = zu wählen ist. Die gesuchte Steuerfunk- 6

7 tion s(x) hat also die Form 0 für x [0, 0000] x s(x) = x 750 für x [0000, 20000] x für x

8 Wir haben erwähnt (siehe Seite ), dass nicht jede Funktion eine Stammfunktion haben muss. Es gilt aber: Satz 7.2 Ist f : I R stetig, dann besitzt f eine Stammfunktion. Da viele der von uns untersuchten Funktionen stetig sind, haben sie Stammfunktionen. Wir listen im folgenden einige auf, wobei wir stets auf die Angabe der Konstante c verzichten. D bezeichnet den maximalen Definitionsbereich. 8

9 f(x) D f(x) dx x n R n + xn+ n N 0 x α R + α + xα+ α R, α R \ {0} ln( x ) x e αx R α eαx α R, α 0 a x R ln(a) ax a > 0, a 9

10 f(x) D f(x) dx sin x R cos x cos x R sin x tan x R \ {(2k + ) π 2, k Z} ln( cos x ) cot x R \ {kπ, k Z} ln( sin x ) cos 2 x R \ {(2k + )π 2, k Z} tan x sin 2 R \ {kπ, k Z} x cot x 0

11 f(x) D f(x) dx x 2 x 2 (, ) arcsin x (, ) arccos x + x 2 R arctan x + x 2 R arccot x

12 Aus der Umkehrung von Differenziationsregeln ergeben sich nun Integrationsregeln, zum Beispiel Haben f, g : I R Stammfunktionen, dann gilt: λ f(x) dx = λ f(x) dx, für alle λ R (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx. Grundsätzlich kann man sagen, dass die Integration schwieriger ist als die Differenziation, die man doch sehr nach Kochrezept durchführen kann. 2

13 Wir geben hier die wichtigen Regeln der partiellen Integration, der Integration durch Substitution sowie (knapp) die Integration rationaler Funktionen an (jeweils mit Beispielen). Es sei aber fairerweise zugegeben, dass man heutzutage zum Integrieren fast immer Computeralgebrasysteme (CAS) benutzt. Wichtiger, als perfekte Integrierer zu werden, ist es zu verstehen, was das unbestimmte Integral ist (nämlich eine Stammfunktion), und dass es viele Stammfunktionen gibt, die sich aber alle nur durch eine additive Konstante unterscheiden. Wenn Ihnen das klar ist, dürfen Sie beim Integrieren ruhig dem Computer vertrauen. Partielle Integration. Seien f, g : I R differenzierbare Funktionen. Dann gilt f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx. 3

14 Beispiel 7.3 Gesucht ist ln x dx. Setze f(x) = ln x und g(x) = x. Dann ist g (x) =, und mit partieller Integration folgt: ln x dx = f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx = ln x x x x dx = ln x x dx = ln x x x + c = x (ln x ) + c, wobei c R, wie immer, eine beliebige Konstante ist. 4

15 Dieses Beispiel lässt sich verallgemeinern, um eine Stammfunktion zu ln x x n für n N 0 zu berechnen. Wir geben hier nur das Ergebnis an: ln x x n dx = xn+ n + Integration durch Substitution ( ln x ) n + + c. Es handelt sich hier um die Umkehrung der Kettenregel: Sei f : I R eine stetige Funktion mit Stammfunktion F : I R. Sei g : D I eine differenzierbare Funktion auf dem Intervall D. Dann gilt f (g(x)) g (x) dx = F (g(x)) + c, wobei c R eine beliebige Konstante ist. 5

16 Beispiel 7.4 Sei f : I R eine stetige Funktion mit Stammfunktion F, D ein Intervall und g : D I differenzierbar. Dann kann man mit der obigen Substitutionsregel die folgenden unbestimmten Integrale bestimmen (die Konstante c ist wieder weggelassen): (i) f(ax + b) dx = F (ax + b), a, b R, a 0. a (ii) (g(x)) n g (x) dx = n + (g(x))n+, n N 0. g (x) (iii) dx = ln ( g(x) ). g(x) g (x) (iv) (g(x)) n dx = (n ) (g(x)) n, n N, n 2. (v) g (x) e g(x) dx = e g(x). 6

17 2 Beispiel 7.5 (i) Gesucht ist 3x dx. Sei g(x) = 3x, dann ist g (x) = 3 und daher 2 3x dx = 2 g (x) 3 g(x) dx g (x) g(x) dx = 2 3 = 2 3 ln ( g(x) ) + c = 2 3 ln ( 3x ) + c = ln 3 (3x ) 2 + c. 7

18 (ii) Gesucht ist xe x2 dx. Sei f(x) = e x und g(x) = x 2, also g (x) = 2x und F (x) = e x. Dann ist xe x2 dx = f(g(x)) 2 g (x) dx = 2 F (g(x)) = 2 ex2 + c 8

19 Integration rationaler Funktionen Rationale Funktionen lassen sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung immer so umformen, dass sich eine Stammfunktion mit den bis jetzt bereitgestellten Verfahren ermitteln lässt. Wir betrachten also eine rationale Funktion f von der Form f(x) = P (x) Q(x) mit Polynomen P (x), Q(x), wobei grad(p ) < grad(q) gelte. Es sei hier der Fall betrachtet, dass das Nennerpolynom grad(q) reelle Nullstellen hat, also Q(x) = (x x ) m (x x k ) m k mit verschiedenen x,..., x k R. Dann hat die Partialbruchzerlegung die Form: m P (x) k i Q(x) = c ij (x x i ) j i= j= mit c ij R. Also treten als Summanden rechts nur Ausdrücke der b Form mit j N auf. (x a) j 9

20 Für j = ist Für j 2 ist b x a dx = b ln( x a ) + c. b (x a) dx = b j (j )(x a) + c j Wir illustrieren dies an einem Beispiel: Beispiel 7.6 Sei f(x) = x4 3x 2 + 5x + 4. Wir wollen f(x) dx x 3 3x + 2 bestimmen. Da das Nennerpolynom einen kleineren Grad als das Zählerpolynom hat, führen wir zunächst eine Division mit Rest durch; dies liefert: f(x) = x4 3x 2 + 5x + 4 x 3 3x = x + 3x + 4 x 3 3x + 2.

21 Das Nennerpolynom hat x = als Nullstelle mit Vielfachheit m = 2 und x 2 = 2 als Nullstelle mit Vielfachheit m 2 =. Also ist der Ansatz für die Partialbruchzerlegung 3x + 4 x 3 3x + 2 = 3x + 4 (x ) 2 (x + 2) = c x + c 2 (x ) 2 + c 2 x + 2 Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom Q(x) und Koeffizientenvergleich erhalten wir die Gleichungen 0 = c + c 2, 3 = c + c 2 2c 2, 4 = 2c + 2c 2 + c 2. Als Lösungen ergeben sich daraus: c = 2 9, c 2 = 7 3, c 2 =

22 Damit erhalten wir für das gesuchte Integral f(x) dx = = = x x + 4 x dx + x 3 3x + 2 dx ( ) x + 3 (x ) 9 2 x + 2 = x ln( x ) 7 3(x ) 2 ln( x + 2 ) + c 9 (x ) 2 = x (x ) + ln 9 + c x + 2 dx 22

23 7.2 Das bestimmte Integral Sei f : [a, b] R eine auf [a, b] definierte Funktion. Wenn F : [a, b] R eine Stammfunktion ist, d.h. F (x) = f(x) für alle x (a, b), dann heißt b a f(x)dx = F (b) F (a) das bestimmte Integral von f über dem Intervall [a, b]. Weiter heißt x die Integrationsvariable, f(x) der Integrand, und a, b heißen (untere und obere) Integrationsgrenzen. Wir sagen, die Funktion f ist auf dem Intervall [a, b] integrierbar. Wir benutzen im folgenden für F (b) F (a) auch die Bezeichnung F (x) b a 23

24 Ist f auf [a, b] und auf [b, c] integrierbar, so nennen wir f auch auf [a, c] integrierbar mit c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx In diesem Fall muss die Funktion f auf [a, c] keine Stammfunktion haben! Warnung: Diese Definition stimmt nicht mit der in vielen Mathematikbüchern gegebenen Definition der Riemann-Integrierbarkeit überein. Für alle in der Ökonomie auftretenden Funktionen, insbesondere für alle stetigen Funktionen, stimmt unsere Definition aber mit der Definition der Riemann-Integrierbarkeit überein. 24

25 Die anschauliche Bedeutung des Integrals ist die einer Fläche. Wir nehmen f(x) 0 für alle x [a, b] an. Gesucht ist der Inhalt der Fläche, die durch den Graphen der Funktion und die x-achse begrenzt wird. Man kann zeigen, dass dieser Flächeninhalt für stetige Abbildungen f mit f(x) 0 für alle x [a, b] genau b a f(x)dx = F (b) F (a) ist. 25

26 Gilt f(x) 0 für alle x [a, b], dann ist das Integral b a f(x)dx 0 und der negative Wert des Integrals ist der Flächeninhalt. Ist f in einigen Bereichen negativ, so werden die entsprechenden Bereiche im Integral negativ gewichtet. Das Integral ist also die Summe der Flächeninhalte oberhalb der x-achse minus den Flächeninhalten unterhalb der x-achse. 26

27 Die Berechnung des bestimmten Integrals ist in allen uns interessierenden Fällen im Prinzip nicht schwieriger als die Berechnung unbestimmter Integrale: Es geht nur darum, Stammfunktionen zu bestimmen. Beispiel 7.7 (ii) (i) 0 x dx = 2 x2 0 = t + t dt = (ln(t ) + t2 2 ) 3 2 = ln 2 3, 2 (iii) Sei f(x) = ln x. Dann ist F (x) = x ln x x eine Stammfunktion von f. Also ist 2 ln x dx = F (x) = F (2) F () = 2 ln 2 0,

28 (iv) Sei f(x) = x. Dann ist e x dx = ln x e = ln e ln =. (v) Sei f(x) = sin(x), dann ist 2π 0 f(x) dx = cos(x) 2 π 0 = 0. (vi) Sei f(x) = cos(x), dann ist 3π/2 0 f(x) dx = sin(x) 3π/2 0 =. 28

29 Eigenschaften bestimmter Integrale: Sei f : [a, b] R eine integrierbare Funktion. a a f(x) dx = 0. Ist a > b, dann setzen wir b Für alle c R gilt: c a a f(x) dx + f(x) dx = b c a b f(x) dx = f(x) dx b a f(x) dx. Sei g : [a, b] R eine weitere integrierbare Funktion. Ist g(x) f(x) für alle x [a, b], dann gilt b a g(x) dx 29 b a f(x) dx

30 Es ist nicht ganz einfach, sich die Bedeutung des Integrals klarzumachen, wenn es nicht um eine Flächenberechnung geht. Es geht vielleicht so: Sie berechnen zu einem Zeitpunkt t = a einen Funktionswert F (a). Das kann z.b. die Anzahl Arbeiter sein, die ein Betrieb beschäftigt, aber auch die Menge des in einem Lager vorrätigen Erdöls. Wenn Sie nun zu jedem Zeitpunkt t [a, b] wissen, wie sich F ändert, wenn Sie also F (t) kennen, dann kann man sich fragen, was denn F (b) ist. Wir nennen F (t) = f(t). Anschaulich ist klar, dass man F (b) bestimmen kann, denn F (a) ist ja bekannt und die Änderungen sind auch bekannt! Mathematisch ist dies (im wesentlichen) das Integral, denn F (b) F (a) = b a f(t) dt. Das bestimmte Integral auf dem Intervall [a, b] der Grenzfunktion (Ableitung) einer Funktion F ist die Differenz F (b) F (a). 30

31 7.3 Uneigentliche Integrale Ist eine der Integrationsgrenzen unendlich oder ist die zu integrierende Funktion an den Integrationsgrenzen unbeschränkt, dann sprechen wir von uneigentlichen Integralen. Drei Fälle sind zu unterscheiden: Uneigentliche Integrale I Sei f : [a, ) R eine stetige Funktion. Falls der Grenzwert lim R existiert, so schreiben wir dafür Analog wird das Integral b R definiert. a R a f(x) dx = lim R f(x) dx R a f(x) dx. f(x) dx für eine Funktion f : (, b] 3

32 Beispiel 7.8 Gesucht ist, falls existent, Also erhalten wir R dx = x2 R x = R. x 2 dx =. dx. Es ist x2 32

33 Uneigentliche Integrale II Sei f : (a, b] R eine stetige Funktion. Falls der Grenzwert lim ɛ 0 b a+ɛ existiert, dann schreiben wir dafür b a f(x) dx = lim ɛ 0 f(x) dx b a+ɛ f(x) dx. Analog wird das Integral b a f(x) dx für eine Funktion f : [a, b) R definiert. 33

34 Beispiel 7.9 Gesucht ist, falls existent, 0 Also erhalten wir ɛ dx = 2x 2 = 2 ( ɛ ). x ɛ 0 x dx = 2. x dx. Es ist 34

35 Uneigentliche Integrale III Seien a, b R {± }, a < b, und sei f : (a, b) R eine stetige Funktion. Sei nun c (a, b). Falls die beiden Grenzwerte lim α a c existieren, dann schreiben wir α f(x) dx und lim β b β c f(x) dx b a f(x) dx = lim α a c α β f(x) dx + lim β b c f(x) dx. 35

36 Beispiel 7.0 Wir bestimmen Es ist lim α 0 α x 2 dx dx + lim β x 2 β 0 = lim α (arcsin(0) arcsin(α)) + lim β (arcsin(β) arcsin(0)) x 2 dx = lim α arcsin(α) + lim β arcsin(β) = ( π 2 ) + π 2 = π. 36