Vorlesung Finanzmathematik (TM/SRM/SM/MM) Block : Ausgewählte Aufgaben Investitionsrechnung und festverzinsliche Wertpapiere

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Viktoria Heinrich
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1 Hochschule Ostfalia Fakultät Verkehr Sport Tourismus Medien apl. Professor Dr. H. Löwe Sommersemester 20 Vorlesung Finanzmathematik (TM/SRM/SM/MM) Block : Ausgewählte Aufgaben Investitionsrechnung und festverzinsliche Wertpapiere Aufgabe 7 Zur Investition von 2 Mio. e schlägt unsere Finanzabteilung eine Beteiligung an einem PR Unternehmen vor und hat bei einem Kalkulationszinssatz von 7% p.a. und einer Laufzeit von 0 Jahren den Kapitalwert von e bereits berechnet. Alternativ bietet sich die Beschaffung und Vermietung eines neuen Serverparks an: Hier erhält unsere Firma über 6 Jahre e pro Jahr. Treffen Sie eine Investitionsentscheidung nach der Kapitalwertmethode und stellen Sie die Gleichung für den internen Zinssatz der zweiten Alternative auf. Lösung: Kapitalwert der ersten Anlage ist K I = e. Kapitalwert der zweiten Anlage: K II = e +, 07, e = ,83 e. 6 0, 07 Nach der Kapitalwertmethode bevorzugen wir die zweite Anlage. Die Gleichung für den internen Zinssatz i lautet Aufgabe 8 0 e = e + ( + i) ( + i) e. 6 i Unsere Firma möchte einen Überschuss von Mio. e investieren. Hierfür könnten wir uns an der Ausstattung der neuen Delphinshow beteiligen, wobei uns über 20 Jahre eine Gewinnbeteiligung von e alle zwei Jahre, beginnend vier Jahre nach Investitionsbeginn, zugesichert wird. Als Alternative hat unsere Finanzabteilung ein weiteres Projekt mit einer Laufzeit von 25 Jahren aufgetan und dessen Kapitalwert zu e bereits bestimmt. Treffen Sie bei einem Kalkulationszinssatz von 6% p.a. eine Investitionsentscheidung nach der Kapitalwertmethode. Wie lautet die Bestimmungsgleichung für den internen Zinssatz der ersten Investition? Lösung: Der Kapitalwert der zweiten Investition ist K II = e; der der ersten berechnet sich zu K I = e +, 06, e = 69.48,62 e; 20, 06 2 nach der Kapitalwertmethode bevorzugen wir daher die zweite Alternative. Beachten Sie bei der Berechnung von K II : Die Investitonsgewinne bilden eine 9 malige zwei jährige Rente, deren letzte Rate 20 Jahre nach Investitionsbeginn liegt.

e schlägt unsere Finanzabteilung eine Beteiligung an einem PR Unternehmen vor und hat bei einem Kalkulationszinssatz von 7% p.a. und einer Laufzeit von 0 Jahren den Kapitalwert von 35.

2 Die Bestimmungsgleichung für den internen Zinssatz i lautet Aufgabe 9 0 e = e + ( + i) ( + i) e. 20 ( + i) 2 Durch frei werdende Mittel kann die Firma Wunderball insgesamt 2 Mio. e investieren. Eine der Möglichkeiten (Anteile einer Lederfabrik) hat die Finanzabteilung bereits durchgerechnet: Bei einem Kalkulationszinssatz von 5% p.a. und einer Laufzeit von 3 Jahren beträgt der Kapitalwert e. Alternativ böte sich eine Ausweitung der eigenen Produktion auf Handbälle aus, wobei hier nach einem Jahr ein Gewinn von,5 Mio. e und nach zwei Jahren ein Gewinn von Mio. e zu erwarten ist (anschließend gibt es aus dieser Investition keine Zahlungen mehr). Treffen Sie eine Investitionsentscheidung nach der Kapitalwertmethode und berechnen Sie den internen Zinssatz der zweiten Alternative. Lösung: Der Kapitalwert der ersten Investition ist K I = e; der der zweiten berechnet sich zu K II = e +, e e = ,9 e;.052 nach der Kapitalwertmethode bevorzugen wir daher die zweite Alternative. Die Bestimmungsgleichung für den internen Zinssatz i lautet (mit q = + i): 0 e = e + q e e. q2 Multiplizieren mit q 2 und Dividieren durch e führt auf q 2 + 0, 75 q + 0, 5 = 0 bzw. q 2 0, 75 q 0, 5 = 0. Die positive Lösung lautet q = 0, 75 2 (0, ) , 5 =, 754, 2 so dass der interne Zinssatz 7, 54% p.a. beträgt. Aufgabe 0 Ein Wertpapier der Firma Stadionpflege und -bau (Nennwert 00 e) ist bei einer Restlaufzeit von 6 Jahren und 7 Monaten mit einem jährlichen Kupon von 9 sowie einem Rücknahmekurs von 05 ausgestattet. a. Wie viel Geld müssen Sie zum Kauf von 50 Anteilen des Wertpapiers mitnehmen, wenn dieses mit 24 an der Börse notiert ist? Welche Rückzahlungen erhalten wir aus diesem Kauf? b. Mit welchem Kurs notiert das Papier an der Börse, wenn die Rendite 2, 5% p.a. beträgt?

000 e. Alternativ böte sich eine Ausweitung der eigenen Produktion auf Handbälle aus, wobei hier nach einem Jahr ein Gewinn von,5 Mio. e und nach zwei Jahren ein Gewinn von Mio.

3 c. Wie viel Geld müssen Sie für den Kauf von 20 Anteilen mitnehmen, wenn die Rendite des Papiers 7% p.a. beträgt? d. Stellen Sie bei einem Kurs von 95 e je Anteil die Bestimmungsgleichung für die Rendite auf. Lösung: Die (von der Rendite unabhängigen) Stückzinsen des Papiers berechnen sich zu S = 5 9 = 3, a. Der Preis eines Papiers beträgt 2 24 e + 3,75 e = 27,75 e. Für 50 Papiere müssen wir daher 50 27,75 e = 6.387,50 e mitnehmen. Die Rückzahlungen bestehen aus einer 7 maligen jährlichen Rente mit Rate 50 9 e = 450 e (erste Rate in 7 Monaten); zusammen mit der letzten Rate erhalten wir zusätzlich noch e = e. b. Bei der angegebenen Rendite beträgt der Preis eines Papiers P =, , = 90, 82. 0, 25 Der Börsenkurs 3 beträgt also 90, 82 3, 75 = 87, 07. c. Bei der angegebenen Rendite beträgt der Preis eines Papiers P =, , = 7, 5. 0, 07 Für 20 Anteile benötigen wir daher 20 7,5 e = e. d. Der Preis für ein Papier beträgt , 75 = 98, 75. Die Bestimmungsgleichung für die Rendite i lautet folglich 98, 75 = ( + i) 6 7 ( + i) i Aufgabe Am Markt sind folgende festverzinsliche Wertpapiere vorhanden; die Rücknahme erfolgt jeweils zum Nennwert: A: Zerobond mit Restlaufzeit von einem Jahr; Preis 90 B: Zerobond mit Restlaufzeit von zwei Jahren; Preis 80 C: Bond mit zwei Jahren Restlaufzeit, Kupon 0, Preis 00 a. Welche Arbitrage Möglichkeiten gibt es? b. Welcher Preis muss für C nach dem No Arbitrage Prinzip gewählt werden? (Die Preise von A und B sollen dabei die oben angegebenen sein.) 2 Preis = Kurs + Stückzinsen 3 Börsenkurs = Preis - Stückzinsen

Für 50 Papiere müssen wir daher 50 27,75 e = 6.387,50 e mitnehmen.

4 c. Welcher Preis muss für B nach dem No Arbitrage Prinzip gewählt werden, wenn die Preise für A und C die oben angegebenen sein sollen? Lösung: a. Bilde ein Portfolio aus a, b bzw. c Papieren vom Typ A, B bzw. C; hierbei dürfen a, b, c negativ sein (Verkauf von Papieren). Die zukünftigen Rückzahlungen aus diesem Portfolio müssen verschwinden: In zwei Jahren: 00 b + 0 c = 0 bzw. b =, c. In einem Jahr: 00 a + 0 c = 0 bzw. a = 0, c. Der Preis des Portfolios berechnet sich zu P = 90 a + 80 b + 00 c = 9 c 88 c+00 c = 3 c. Da dieser von 0 verschieden ist, gibt es Arbitrage Möglichkeiten, zum Beispiel: Verkaufe c = 0 Bonds vom Typ A; erzielter Preis ist.000 e. Kaufe a = = 0, c einjährigen Zerobond; zu bezahlen sind 90 e. Kaufe b = =, c zweijährige Zerobonds; zu bezahlen sind 880 e. Dann beträgt der risikolose Gewinn 30 e. b. Ansatzgleichung für den Preis P C von C : = 90 a + 80 b + P C c = 9 c 88 c + P C c = (P C 97) c, also P C = 97. Alternativ bestimmen wir aus den Zerobonds die Spot Raten r 0 = 00/90 =, % und r 02 = 00/80 =, 80%. Damit erhalten wir als fairen Preis für Bond C: P C =, = 97, 00., 802 c. Wie oben: 0 = 90 a + P B b + 00 c = 9 c P B c + 00 c = (9 P B ) c, also P B = 9. Aufgabe 2 Auf dem Markt sind die folgenden Wertpapiere vorhanden: A: Zerobond mit Restlaufzeit Jahr, Rücknahme zu 05, Preis 00,00. B: Bond mit Kupon 0, Rücknahme zum Nennwert, Restlaufzeit 2 Jahre, Preis 05,60. C: Bond mit Kupon 5, Rücknahme zum Nennwert, Restlaufzeit 3 Jahre, Preis 88,02. a. Bestimmen Sie die Spot Raten für, 2 und 3 Jahre. b. Berechnen Sie den Preis eines Bond mit Kupon 25, Rücknahme zu 50 und Restlaufzeit 3 Jahre mit Hilfe der Spot Raten aus a. c. Welchen Kapitalwert hat eine Investition mit den Rückflüssen e (heute), e (in einem Jahr), e (in zwei Jahren) und e (in drei Jahren)? Lohnt sich die Investition?

b =, c. In einem Jahr: 00 a + 0 c = 0 bzw. a = 0, c. Der Preis des Portfolios berechnet sich zu P = 90 a + 80 b + 00 c = 9 c 88 c+00 c = 3 c.

5 Lösung: a. Wir berechnen: r 0 = 05 = 0, ( ) /2 0 r 02 = 05, 60 0 = 0, 07,05 ( ) /3 05 r 03 = 88, 02 5 = 0, 0 5,05,07 2 b. Der Preis P berechnet sich zu P = 25, , = 0, 99. 2, 03 c. Der Kapitalwert K berechnet sich mit den Spot Raten zu K = e e, 05 Die Investition ist also vorteilhaft e, e, 0 3 =.074,72 e

02 5 = 0, 0 5,05,07 2 b. Der Preis P berechnet sich zu P = 25, 05 + 25, 07 + 75 = 0, 99.

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