Abitur 2016 Mathematik Geometrie V

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1 Seite Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D( ), E( ), F ( ) und H( ). In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A( ), B( ) und C( ) das gleichseitige Dreieck A B C fest. Teilaufgabe Teil B a (4 BE) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck A B C liegt, in Normalenform. [mögliches Ergebnis: E : x + x + x = ] Spiegelt man die Punkte A, B und C am Symmetriezentrum Z( ), so erhält man die Punkte A, B bzw. C. Teilaufgabe Teil B b ( BE) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke [ C C ] senkrecht auf dieser Ebene steht. Teilaufgabe Teil B c (4 BE) Teilaufgabe Teil A a ( BE) Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts A an. Teilaufgabe Teil A b ( BE) Begründen Sie, dass das Viereck A B A B ein Quadrat mit der Seitenlänge ist. Der Körper A B A B C C ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat A B A B als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen C bzw. C. Der Punkt P liegt auf der Kante [F B] des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts P. Gegeben sind die Punkte A( 4) und B( 4 ). Teilaufgabe Teil A a ( BE) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: C A = A B. Teilaufgabe Teil A b ( BE) Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten: I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal. II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt. Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden. Abitur Bayern Geometrie V

2 Seite Seite 4 Teilaufgabe Teil B d ( BE) Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen besitzt. Teilaufgabe Teil B e (4 BE) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen A B C und A C B. Teilaufgabe Teil B f ( BE) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. Lösung Teilaufgabe Teil A a ( BE) Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D( ), E( ), F ( ) und H( ). Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts A an. Lösung zu Teilaufgabe Teil A a Skizze Koordinaten von Punkten ermitteln Abitur Bayern Geometrie V

3 Seite 5 Seite A( ) Teilaufgabe Teil A b ( BE) Der Punkt P liegt auf der Kante [F B] des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts P. Lösung zu Teilaufgabe Teil A b Länge eines Vektors Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a = a a a P = + + λ = 8 + λ = a + a + a 8 + λ = 8 + λ = 9 λ = λ = (λ = ) P ( ) Teilaufgabe Teil A a ( BE) Gegeben sind die Punkte A( 4) und B( 4 ). Erläuterung: Punktkoordinaten Der Punkt P hat die gleiche x - und x -Koordinate wie der Punkt F. Seine x - Koordinate muss negativ sein, da er auf der Kante [F B] liegt. Koordinaten des Punktes P : P ( λ) mit λ < Es gilt: P = Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: C A = A B. Lösung zu Teilaufgabe Teil A a Koordinaten von Punkten ermitteln Es soll gelten: C A = A B A C = [ B A ] C = A [ B A ] nach C umstellen Abitur Bayern Geometrie V

4 Seite 7 C = 4 C = 4 C = + 4 C( ) = 4 Seite 8 Erläuterung: Senkrechte Vektoren Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null. Möglicher Richtungsvektor der Geraden: Begründung: v u = u = = + + = Teilaufgabe Teil A b ( BE) Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten: I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal. II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt. Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden. Lösung zu Teilaufgabe Teil A b Geradengleichung aufstellen Geradengleichung einer der Geraden: Erläuterung: Geradengleichung Eine Gerade l ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: l : X = P + µ v, µ R Wenn B als Aufpunkt genommen wird, dann ist Aufpunkts) der Geraden l. h : X = 4 } {{ } B + λ B der Ortsvektor (des g schneidet die Gerade h im Punkt B, und da A B = = 9 =, ist der Abstand der Geraden vom Punkt A gleich. Richtungsvektor der Geraden g: v = A B = Teilaufgabe Teil B a (4 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A( ), B( ) und C( ) das gleichseitige Dreieck A B C fest. Abitur Bayern Geometrie V Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck A B C liegt, in Normalenc Abiturloesung.de

5 Seite 9 Seite form. [mögliches Ergebnis: E : x + x + x = ] Lösung zu Teilaufgabe Teil B a Ebene aus drei Punkte Erläuterung: Vektorprodukt Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b zweier Vektoren a und b ist ein Vektor n, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: a a b = a = a In diesem Fall ist: = b b b ( ) = ( ) a b a b a b a b a b a b A B A C = = Richtungsvektoren der Ebene E: A B = B A = A C = C A = = = A( ) sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene E. Ebenengleichung in Normalenform Normalenvektor n E der Ebene E bestimmen: Erläuterung: Vereinfachen Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt. Hier wird der Normalenvektor durch 9 geteilt. Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich. n E = = 9 Ebenengleichung in Normalenform bestimmen: Abitur Bayern Geometrie V

6 Seite Seite Erläuterung: Normalenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt P aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. E : n E X = n E P Hier ( A ist Aufpunkt): E : X = }{{} n E }{{} A E : x + x + x = + + E : x + x + x = C = C + C Z C = [ Z ] C + C C = + = + = Lagebeziehung von Vektoren Teilaufgabe Teil B b ( BE) Spiegelt man die Punkte A, B und C am Symmetriezentrum Z( ), so erhält man die Punkte A, B bzw. C. C C = C C = = = Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke [ C C ] senkrecht auf dieser Ebene steht. Lösung zu Teilaufgabe Teil B b Lagebeziehung von Ebenen Erläuterung: Parallele Vektoren Zwei Vektoren u und v sind genau dann parallel, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist. Also genau dann, wenn es ein k R gibt, so dass gilt: u = k v A( ), B( ), C( ), Z( ) Die x -Koordinaten der Punkte A, B und Z sind alle gleich (Wert = ). Die Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, ist parallel zur x x -Ebene C C ist parallel zum Normalenvektor n = der x x -Ebene Spiegelpunkt Abitur Bayern Geometrie V

7 Seite Seite 4 Erläuterung: Normalenvektor Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf diese Ebene. Ein zum Normalenvektor paralleler Vektor steht somit auch senkrecht auf diese Ebene. [ C C ] steht senkrecht auf der Ebene Teilaufgabe Teil B c (4 BE) Begründen Sie, dass das Viereck A B A B ein Quadrat mit der Seitenlänge ist. Lösung zu Teilaufgabe Teil B c Eigenschaften eines Parallelogramms Das Viereck A B A B ist wegen seiner Konstruktion punktsymmetrisch und somit ein Parallelogramm. Spiegelpunkt A( ), B( ), Z( ) Der Punkt B lässt sich analog zum Punkt C aus Teilaufgabe Teil B b bestimmen: A B = B A = = Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = A B = A B = a a a = a a a = a + a + a = = 8 = = = = 8 = = Alle Seiten sind gleich lang Lagebeziehung von Vektoren A B A B = = = B = B + B Z B = [ Z ] B + B B = + = + = Erläuterung: Senkrechte Vektoren Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null. A B A B A B A B ist ein Quadrat Länge eines Vektors A B = Teilaufgabe Teil B d ( BE) Der Körper A B A B C C ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat A B A B als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen C Abitur Bayern Geometrie V

8 Seite 5 bzw. C. Seite A B = (s. Teil B Teilaufgabe c) V Oktaeder = V Pyramide Erläuterung: Volumen einer Pyramide Eine Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h hat ein Volumen von: Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen besitzt. Lösung zu Teilaufgabe Teil B d Volumen einer Pyramide V = G h V Oktaeder = G h Erläuterung: Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat mit Seitenfläche A B. [C C ] steht senkrecht auf die Grundfläche, deswegen entspricht die Höhe der Pyramide der Hälfte der Strecke [C C ]. V Oktaeder = A B C C C( ), C( ) Abitur Bayern Geometrie V

9 Seite 7 Seite 8 Erläuterung: Länge eines Vektors Erläuterung: Die Punkte C und C unterscheiden sich nur in der x -Koordinate. Ihr Abstand ist also gleich. Alternativ: C C = V Oktaeder = ( ) = C C = + + = Begründung: - Die Seitenfläche A B C liegt in der Ebene E (s. Teilaufgabe Teil B a). - Die Ebene, in der die Punkte A, B und Z (Symmetriezentrum) liegen, ist parallel zur x x -Ebene (s. Teilaufgabe Teil B b). - Die Ebene in der die Seitenfläche A C B liegt, bildet mit der x x -Ebene aus Symmetrie-Gründen den gleichen Winkel, wie die Ebene E und die x x - Ebene. Der gesucht Winkel ϕ entspricht zweimal den Winkel zwischen der Ebene E (aus Teilaufgabe Teil B a) und der x x -Ebene. Teilaufgabe Teil B e (4 BE) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen A B C und A C B. Lösung zu Teilaufgabe Teil B e Normalenvektor der Ebene E: Erläuterung: Normalenvektor n E = Winkel zwischen zwei Ebenen Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf diese Ebene und hat eine beliebige Länge. Im Falle der x x -Ebene (Koordinatenebene) wählt man z.b. als Normalenvektor den Einheitsvektor n =, der auch Richtungsvektor der x -Achse ist. Normalenvektor der x x -Ebene: n = Abitur Bayern Geometrie V

10 Seite 9 Seite Erläuterung: Winkel zwischen zwei Ebenen Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a = a a a = a a = a a = a + a + a a a ist gegeben durch: a Der Winkel α zwischen zwei Ebenen E und G ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren n E und n G. cos ϕ = + + = ϕ = cos ( ) 54, 7 ϕ = 9, 4 Winkel ϕ zwischen den Seitenflächen bestimmen: Erläuterung: Winkel zwischen zwei Vektoren Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren a und b a b = a b cos ( a, b ) } {{ } α folgt für den Winkel α zwischen den beiden Vektoren: a b cos α = a b (Formel zur Winkelberechnung zwischen Vektoren) Teilaufgabe Teil B f ( BE) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. Lösung zu Teilaufgabe Teil B f Kugel cos ϕ = Abitur Bayern Geometrie V

11 Seite Z( ) (Mittelpunkt der Kugel) r = h Pyramide = (Radius der Kugel) Erläuterung: Kugelgleichung Die Gleichung einer Kugel K mit Mittelpunkt M und Radius r ist gegeben durch: [ X ] K : M = r K : X = (x ) + (x ) + (x ) = 9 Volumen einer Kugel V Kugel = 4 π r = 4 π = π Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern V Oktaeder = Anteil: V Oktaeder V Kugel = π = π Abitur Bayern Geometrie V