4.4 Partielle Integration

Transkript

1 Mthemtik für Nturwissenschftler I Prtielle Integrtion Zwei Integrtionsregeln kennen wir bereits: Stz 4.. und Stz Stz 4.. sgt, dss mit zwei Funktionen uch deren Summe oder Differenz integrierbr sind. Ds gleiche gilt uch für ds Produkt zweier integrierbrer Funktionen, eine Formel für ds Integrl ist ber nicht so einfch nzugeben: 4.4. Stz (prtielle Integrtion) Seien f und g differenzierbr in [, b] mit stetigen Ableitungen. Es gilt: b b b f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx Beispiele () x cosxdx =? Wählen wir hier f (x) = cosx ( f(x) = sinx) und g(x) = x ( g (x) = ), erhlten wir x cosxdx = sinx x = x sinx sinx dx ( cosx) = π sin π +cos π cos }{{ } = = = = π. () e lnxdx =? Auf den ersten Blick ist dies kein Kndidt für eine prtielle Integrtion, d es sich nicht um ein Produkt hndelt. Wir verwenden ber einen simplen Trick: e lnxdx = e lnxdx = x lnx = x lnx e e e x x = e x = elne ln e+ = e e+ = (wir wählen f (x) = und g(x) = lnx) dx (6) () Auch unbestimmte Integrle, lso Stmmfunktionen, lssen sich mit prtieller Integrtion berechnen: Nch (6) gilt nämlich lnxdx = xlnx x+c. WS 7/8 5. Dezember 7 Rev:

2 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.5 (4) (cosx) dx = sinx cosx = sinx cosx = sinx cosx + + +x sinx sinx dx =(sinx) = (cosx) dx (cosx) dx (cosx) dx Anscheinend sind wir hier im Kreis gelufen und hben wieder ds Ausgngsintegrl erhlten. Wir können die Gleichung ber umformen und erhlten (cosx) dx = sinx cosx (cosx) dx = π 4. +x = π (7) Eine Stmmfunktion hben wir in (7) gefunden, nämlich (cosx) dx = (sinx cosx+x)+c (8) 4.5 Substitutionsregel Während die prtielle Integrtion der Produktregel für Ableitungen entspricht, entspricht die Substitutionsregel der Kettenregel: 4.5. Stz Sei f(x) stetig uf [,b] und die Funktion x(t) hbe uf [α,β] eine stetige Ableitung mit x(α) =, x(β) = b, x(t) [,b] für t [α,β]. (9) Dnn gilt b f(x)dx = β α f(x(t)) x (t)dt Bemerkung Die Bedingungen (9) besgen nschulich, dss die Funktion x(t) ds Intervll [α,β] uf ds Intervll [,b] bbildet Beispiele () (+t) dt =? Hier verwenden wir die Substitutionsregel von rechts nch links, um die innere Funktion +t durch x zu ersetzen und so ein eventuell einfcheres Integrl zu erhlten: WS 7/8 5. Dezember 7 Rev: 957 5

3 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.5 Wir wählen x(t) = +t und α = sowie β =. Dmit ist dnn = x(α) =, b = x(β) = und x (t) =. Wir erhlten (+t) dt = =x(t) = = (x(t)) x (t) = x = {}}{ x (t) } {{ } = (x(t)) x (t)dt x dx = =. Indem wir lso die innere Funktion durch x substituieren soll sich der Integrnd vereinfchen. Allerdings benötigen wir dfür den Fktor x (t) unterhlb des Integrls. In () hben wir des Integrnden! (+t) dt = x errechnet, x dt () ist ber keine Stmmfunktion Um nch Verwendung der Substitutionsregel eine Stmmfunktion zu erhlten, müssen wir resubstituieren, lso die Vrible x wieder durch + t ersetzen: (+t) dt = x +C = (+t) 6 +C. () x dx =? +x Hier ist es einfcher, die Substitutionsregel von links nch rechts zu benutzen: Wir können x durch x(t) = t ersetzen, der Nenner des Integrnden vereinfcht sich ddurch (denn es gilt +x = +( t ) = +t = t) und wir können ds Integrl berechnen. Bei der Substitution verändert sich ds Integrtionsintervll: = α α = = β β = WS 7/8 5. Dezember 7 Rev: 957 5

4 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.5 Dmit erhlten wir lso, d x (t) = t, x dx = x(t) +x +(x(t)) x (t)dt = = = = ( t ) + ( t ) t t dt ( t / t /) dt ( t / ) t/ = / / + = / ( / )+ = () Wir wollen die Fläche eines Kreises mit Rdius bestimmen. t dt Wie wir wissen, ist der Grph der Funktion f(x) = x ein Hlbkreis mit Rdius (vgl. Abb. 6 uf Seite 5). Wir müssen lso x dx berechnen. Hier müssen wir bei der Whl der Substitution etws kretiver sein. Nch Stz.. ist (sint) + (cost) =, lso (sint) = (cost). Um den Integrnden zu vereinfchen, verwenden wir dher die Substitution x(t) = sin t. Es ist dnn x (t) = cost sowie x ( π ) = und x ( π ) =, lso unter Verwendung von Gleichung (8) uf Seite 5 x dx = = (sint) = (cost) costdt (cost) dt = (sint cost+t) = ( π + π = ) π. Die Fläche eines Kreises mit Rdius ist ds Doppelte dieses Hlbkreises, lso π. WS 7/8 5. Dezember 7 Rev: 957 5

5 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.6 (4) dx =? x Hier substituieren wir wieder x(t) = sint. D wir nur eine Stmmfunktion berechnen wollen, müssen wir uns um die Grenzen des Integrtionsintervlls nicht kümmern. Wir erhlten mit x (t) = cost und der Resubstitution t = rcsinx Dmit hben wir uch (rcsinx) = Stz.. herusfinden konnten. dx = x = = dt cost (sint) dt cost (cost) dt = t+c = rcsinx+c. x berechnet, ws wir ber uch schon über Wir können uch eine ndere Substitution versuchen, z.b. x(t) = cos t. Die nloge Rechnung ergibt nun dx = x = = sint (cost) dt sint (sint) dt dt = t+c = rccosx+c. Hier erhlten wir nun zum einen (rccosx) =, zum nderen hben wir eine x ndere Stmmfunktion des betrchteten Integrnden gefunden. Die verschiedenen Stmmfunktionen einer Funktion unterscheiden sich beknntlich nur durch eine Konstnte. Ttsächlich gilt rcsinx = rccosx+ π. 4.6 Uneigentliche Integrle Integrle b f(x)dx können wir bislng nur berechnen, wenn der Integrnd f(x) beschränkt und ds Integrtionsintervll [, b] endlich ist. Andernflls würde unsere Definition des Integrls zu keinem Ergebnis führen, d die Riemnnschen Summen unter Umständen unendlich groß würden. Durch Grenzwerte können wir die bisherige Definition ber verllgemeinern. Betrchten wir zuerst den Fll, dss der Integrnd n einem Ende des Integrtionsintervlls nicht definiert ist: 4.6. Definition Sei f integrierbr in jedem Intervll [, b] mit b < B. Existiert der Grenzwert b lim f(x)dx = b B dnn heißt f in [, B] uneigentlich integrierbr. B f(x)dx, WS 7/8 5. Dezember 7 Rev: 957 5

6 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.6 b 4.6. Bemerkung Gnz nlog wird [,b] mit > A integrierbr sind, definiert. A f(x)dx = lim b A f(x)dxfürfunktionenf,dieinjedem 4.6. Bemerkung f(b) bzw. f(a) muss hier gr nicht definiert sein. Über [,B] bzw. [A,b] sind die Funktionen dnn nicht (eigentlich) integrierbr, sondern nur uneigentlich integrierbr Beispiele () lnxdx Der Integrnd ist in nicht definiert. lnx ist ber stetig und dmit integrierbr in [,] für >. Die Stmmfunktion von lnx hben wir uf Seite 49 bereits berechnet, wir hben lso für > lnxdx = (xlnx x) = ln+, lso unter Verwendung der Regel von de l Hospitl lnxdx = lim ( ln+) = lim = lim ln = lim ( = lim ( ) = + ) () x dx Auch hier ist der Integrnd in nicht definiert ber für > integrierbr. Für > gilt x dx = ln x = ln. D ber lim( ln ) =, existiert x dx nicht. x ist lso in [,] uch nicht uneigentlich integrierbr. WS 7/8 5. Dezember 7 Rev:

7 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.6 Abbildung : lnxdx: Die mrkierte Fläche ht den Inhlt. Abbildung 4: x dx: Die mrkierte Fläche ist unendlich groß. So, wie wir den Integrlbegriff uf Funktionen erweitert hben, die nicht beschränkt oder uf den Integrlgerenzen nicht definiert sind, können wir ihn uch uf unbeschränkte Integrtionsintervlle usdehnen: Definition Sei f uneigentlich integrierbr in jedem Intervll [, b] mit < b <. Existiert der Grenzwert lim b b f(x)dx = dnn heißt f uneigentlich integrierbr in [, [ Bemerkung Anlog wird b f(x)dx = lim f(x)dx, b f(x)dx definiert. WS 7/8 5. Dezember 7 Rev: