3 Uneigentliche Integrale

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1 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 $Id: uneigentlich.te,v.9 27/5/7 :9:4 hk Ep $ $Id: norm.te,v.39 27/5/7 :22:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle In der letzten Sitzung hben wir begonnen uns mit uneigentlichen Riemn-Integrlen zu beschäftigen, bei diesen bilden wir zunächst gewöhnliche Riemn-Integrle bei denen die obere beziehungsweise die untere Grenze des Integrtionsbereichs ls Vrible behndelt wird. Wir erhlten eine Funktion dieser Vriblen und bilden deren Funktionsgrenzwert, eistiert dieser so nennen wir ihn ds uneigentliche Riemn-Integrl der betrchteten Funktion. Die Rechenregeln für Integrle gelten entsprechend interpretiert uch für uneigentliche Riemn-Integrle weiter. Wir formulieren im Folgenden die meisten Sätz für uneigentliche Integrle uf Intervllen mit rechts offener Grenze, der links offene Fll ist völlig nlog und ist implizit immer mit gemeint uch wenn er nicht eplizit erwähnt wird. Insbesondere werden wir die Sätze ohne weiteren Kommentr uch einfch uf den linksseitig offenen Fll nwenden. Lemm 3.2 (Rechenregeln für uneigentliche Riemn-Integrle) Seien R und b R mit < b gegeben. Dnn gelten: () Ist b R und ist f : [, b] R Riemn-integrierbr, so ist f uch über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr und ds uneigentliche Riemn-Integrl von f über [, b) stimmt mit dem Riemn-Integrl f() d überein. (b) Seien f, g : [, b) R zwei Funktionen die über jedes Intervll [, ] für (, b) Riemn-integrierbr sind. Eistieren dnn die uneigentlichen Riemn-Integrle von f und g über [, b) in R und ist { } f(t), g(t) {, + }, so gilt uch (f(t) + g(t)) = f(t) + g(t) in R. Sind f und g beide über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr, so uch f + g. (c) Seien c R und f : [, b) R eine Funktion die über jedes Intervll [, ] für (, b) Riemn-integrierbr ist. Eistiert dnn ds uneigentliche Riemn- Integrle von f über [, b) in R, so eistiert uch ds uneigentliche Riemn- Integrl von cf über [, b) und ist c oder f(t) / {, + }, so ist -

2 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 uch (cf(t)) = c f(t). (d) Sind f, g : [, b) R über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr und gilt f() g() für lle [, b), so ist uch f() d g() d. Beweis: () Dies gilt nch Aufgbe (2). (b) Klr nch I..Stz 5.(). (c) Klr nch I..Stz 5.(b). (d) Klr nch 2.Lemm 4.(c) und I..Lemm 2.(). Mn knn die Vorussetzungen in den Teilen (b) und (c) des Lemms uch so zusmmenfssen, dss die rechte Seite der jeweiligen Gleichung überhupt definiert sein muss, lso nicht die Form oder ht. Auch die prtielle Integrtion läßt sich leicht uf uneigentliche Riemn-Integrle übertrgen. Stz 3.3 (Prtielle Integrtion für uneigentliche Integrle) Seien R, b R mit < b und f, g : [, b) R zwei stetig differenzierbre Funktionen. Weiter nehme n, dss ds uneigentliche Riemn-Integrl f()g () d und der Funktionsgrenzwert lim b f()g() in R eistieren. Ist dnn ( ) f()g () d, lim f()g() b so eistiert uch ds uneigentliche Riemn-Integrl in R. f ()g() d = lim b f()g() f()g() Beweis: Für jedes (, b) gilt nch 2.Stz 3 f (t)g(t) = f()g() f()g() lso folgt die Behuptung mit I..Stz 5.(,b). / {(+, + ), (, )}, f()g () d f(t)g (t), -2

3 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 Mn knn die Vorussetzungen des Stzes uch so interpretieren ds die prtielle Integrtion weiter möglich ist, solnge nur die rechte Seite der Formel überhupt definiert ist. Weiter können wir für die prtielle Integrtion uch wieder die Nottion u ()v() d = u()v() b u()v () d verwenden wenn nur der erste Summnd ls b u()v() := lim u()v() u()v() b interpretiert wird. Beispielsweise ergibt sich e d = e + e d = d nch I..Stz 9.(c) j lim e = gilt. Auch die Substitutionsregel knn mn uf unbestimmte Integrle verllgemeinern, die ekte Formulierung ist ber etws mühsm d es verschiedene Fälle gibt je nchdem wie die Substitution ds betrchtete Intervll bbildet. Auf die Angbe des entsprechenden Stzes wollen wir hier dher verzichten. In den bisher behndelten Beispielen konnten wir die Konvergenz uneigentlicher Riemn-Integrle feststellen d wir über eine Stmmfunktion des Integrnden verfügten und dnn nur ds Grenzverhlten dieser Stmmfunktion untersuchen mussten. Wir wir sehen werden, knn mn die Konvergenz uneigentlicher Riemn-Integrle mnchml uch dnn feststellen wenn mn keine eplizite Stmmfunktion kennt. Ein solches Beispiel hben wir m Ende des letzten Prgrphen behndelt, wir htten den Integrlsinus Si() = untersucht und gesehen ds der Grenzwert lim Si() eistiert. Dmit ist sin(t)/t über [, ) uneigentlich Riemn-integrierbr. Zur Berechnung des Grenzwerts fehlen uns hier leider die Hilfsmittel, es stellt sich herus ds sin sin t t d = lim Si() = π 2 ist. Anlog zur Sitution bei den Reihen tritt uch bei den uneigentlichen Riemn- Integrlen die Kompliktion uf ds Konvergenz oder Divergenz nicht nur vom Betrg der Funktion sondern uch von ihren Vorzeichen bhängt. Als ein Beispiel für dieses Phänomen behupten wir ds sin d = + -3

4 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 ist. Um dies einzusehen, bechte ds für [π/3, 2π/3] stets sin 3/2 und für [4π/3, 5π/3] stets sin = sin 3/2 gilt. Ist lso n N und [2πn + π/3, 2πn + 2π/3] [2πn + 4π/3, 2πn + 5π/3], so ist und dmit uch 2π(n+) 2πn sin d sin 2πn+ 2π 3 2πn+ π 3 = sin sin d πn+ 5π 3 2πn+ 4π 3 Für jedes n N mit n folgt hierus uch 2πn n sin d = k= 2π(n + ) = 2π(k+) 2πk sin 3 4π n + 3 d 2 π 3 4π sin d 2 3 Die Divergenz der hrmonischen Reihe nch I. 5.2 liefert schließlich uch sin d = +, n + = 2 3 n +. wie behuptet. Die meisten der bisher behndelten Beispiele beruhten uf der Kenntnis epliziter Formeln für die jeweiligen Stmmfunktionen. Ds einzige Beispiel eines uneigentlichen Riemn-Integrls dessen Konvergenz wir ohne eplizit durchgeführte Integrtion begründen konnten wr ds Integrl sin()/ d. Unsere Argumenttion in diesem Beispiel wr llerdings recht spezifisch uf den Integrnd zugeschnitten. Wir wollen jetzt ein etws llgemeiner verwendbres Vorgehen besprechen mit dem sich beispielsweise die Konvergenz des uneigentlichen Riemn-Integrls cos + 2 d nchweisen läßt. Für jedes gilt nämlich cos und wir wissen bereits ds d/ 2 < ist. Wir wollen uns überlegen ds diese beiden Ttschen die Konvergenz von cos()/( + 2 ) d implizieren. Dies ist keinesflls klr d die Konvergenz eines uneigentlichen Riemnintegrls nicht nur von der Größenordnung des Integrnden bhängt sondern uch von seinem Vorzeichen, beispielsweise htten wir m Ende der letzten Sitzung sin d = + -4 n k= k.

5 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 bewiesen. Die Sitution ist ähnlich zur in I. 5 behndelten Reihenkonvergenz und dmls htten wir zur Behndlung dieses Problems den Begriff einer bsolut konvergenten Reihe eingeführt. In Anlogie dzu werden wir bsolut konvergente uneigentliche Riemn-Integrle definieren, und bruchen einige vorbereitende Lemmt die wir zunächst behndeln wollen. Wir beginnen mit einem Cuchy-Kriterium für Funktionsgrenzwerte. Lemm 3.4 (Cuchy-Kriterium für Funktionsgrenzwerte) Seien K {R, C}, R, b R mit < b und f : [, b) K eine Funktion. Dnn ist die Funktion f genu dnn n der Stelle b konvergent, wenn es für jedes ɛ > ein s (, b) mit f() f(y) < ɛ für lle, y (s, b) gibt. Beweis: = Andernflls eistiert ein ɛ > so, dss es für jedes s (, b) stets, y (s, b) mit f() f(y) ɛ gibt. Wähle eine Folge (s n ) n N in (, b) mit (s n ) n N b. Für jedes n N gibt es dnn 2n, 2n+ (s n, b) mit f( 2n ) f( 2n+ ) ɛ. Wegen s n < 2n, 2n+ < b für jedes n N gilt nch I. 4.Lemm 5.(b) und I. 4.Lemm.(d) uch ( n ) n N b. Also ist uch die Folge (f( n )) n N konvergent und nch I. 4.Lemm 5.() uch eine Cuchyfolge. Dies steht im Widerspruch zu f( 2n ) f( 2n+ ) ɛ für lle n N. = Es reicht zu zeigen, dss für jede gegen b konvergente Folge ( n ) n N in [, b) uch die Folge (f( n )) n N konvergiert, denn dnn müssen ll diese Folgen nch I. 4.Lemm.(d) gegen denselben Wert konvergieren. Sei lso ( n ) n N eine gegen b konvergente Folge in [, b). Nch I. 4.Stz 6 müssen wir nur zeigen ds (f( n )) n N eine Cuchyfolge ist. Sei hierzu ɛ > gegeben. Dnn eistiert ein s (, b) mit f() f(y) < ɛ für lle, y (s, b). Wegen ( n ) n N b gibt es weiter ein n N mit n > s für lle n n. Sind lso n, m N mit n, m n, so gelten n, m (s, b) und dmit uch f( n ) f( m ) < ɛ. D uneigentliche Riemn-Integrle spezielle Funktionsgrenzwerte sind, erhlten wir ls ein Korollr uch ein Cuchy-Kriterium für die Eistenz uneigentlicher Riemn- Integrle. Stz 3.5 (Cuchy-Kriterium für uneigentliche Riemn-Integrle) Seien R, b R mit < b und f : [, b) R eine Funktion die über jedes Intervll [, ], (, b) Riemn-integrierbr ist. Dnn ist ds uneigentliche Riemn-Integrl f() d genu dnn konvergent wenn es für jedes ɛ > ein s (, b) mit v f() d < ɛ für lle u, v R mit s < u < v < b gibt. u Beweis: Für lle u, v R mit < u < v < b hben wir nch 2.Lemm 5.(b) v u v f() d f() d = f() d, -5 u

6 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 und die Behuptung gilt dmit nch Lemm 4. Wie schon ngekündigt ist die Sitution jetzt sehr ähnlich zu den Reihen n= n die wir in I. 5 im letzten Semester behndelt htten. Bei Reihen htten wir verschiedene Methoden um Konvergenz festzustellen etws ds Wurzelkriterium, ds Quotientenkriterium oder ds Mjorntenkriterium. Für die Konvergenz von Integrlen gibt es nur noch ein Mjorntenkriterium, und genu wie bei den Reihen bezieht sich dieses uf die bsolute Konvergenz uneigentlicher Integrle. Definition 3.2 (Absolute Riemn-Integrierbrkeit) Seien R und b R mit < b. Eine Funktion f : [, b) R heißt über [, b) bsolut Riemn integrierbr, wenn f über [, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist. Alterntiv sgen wir dnn uch ds ds uneigentliche Riemn-Integrl f() d bsolut konvergiert. Wie bei Reihen sind bsolut Riemn-integrierbre Funktionen uch uneigentlich Riemn-integrierbr und uch die Dreiecksungleichung für Integrle überträgt sich dnn uf den Fll uneigentlicher Riemn Integrle. Lemm 3.6 (Absolute Integrierbrkeit impliziert uneigentliche Integrierbrkeit) Seien R, b R mit < b und f : [, b) R eine über [, b) bsolut Riemnintegrierbre Funktion die über jedes Intervll [, ], (, b) Riemn-integrierbr ist. Dnn ist ds uneigentliche Riemn-Integrl f() d uch konvergent mit f() d f() d. Beweis: Sei ɛ > gegeben. D f(t) konvergiert gibt es nch Stz 5 ein s (, b) mit y y f(t) = f(t) < ɛ für lle, y (s, b) mit < y. Für, y (s, b) mit < y folgt dnn mit 2.Lemm 4.(d) uch y y f(t) f(t) < ɛ, und erneut nch Stz 5 konvergiert f(t). Ebenflls nch 2.Lemm 4.(d) gilt für jedes (, b) stets f(t) f(t) und mit I..Lemm.(e), I..Lemm 2.() folgt f() d = lim b f(t) = lim b -6 f(t) lim b f(t) = f() d.

7 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 Dmit ist uch die Dreiecksungleichung für uneigentliche Riemn-Integrle bewiesen. Ds Mjorntenkriterium für uneigentliche Riemn-Integrle ist jetzt eine direkte Folgerung des vorigen Lemms. Stz 3.7 (Mjorntenkriterium für uneigentliche Riemn-Integrle) Seien R, b R mit < b, f : [, b) R eine Funktion die über jedes Intervll [, ] mit (, b) Riemn-integrierbr ist und g : [, b) R eine über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbre Funktion mit f() g() für lle [, b). Dnn ist uch die Funktion f über [, b) bsolut Riemn-integrierbr und somit uch über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr. Beweis: Nch 2.Lemm 4.(d) ist uch f über jedes Intervll [, ] für (, b) Riemn-integrierbr. Ist ɛ >, so gibt es nch dem Cuchy-Kriterium für uneigentliche Riemn-Integrierbrkeit Stz 5 ein s (, b) mit y g(t) < ɛ für lle, y (s, b) mit < y. Für, y R mit s < < y < b folgt nch 2.Lemm 4.(c) uch y f(t) y g(t) < ɛ, und nch Stz 5 ist f über [, b) uneigentlich Riemn-integrierbr, d.h. f ist über [, b) bsolut Riemn-integrierbr. Nch Lemm 6 ist f über [, b) uch uneigentlich Riemn-integrierbr. Wir wollen ds Mjorntenkriterium zur Diskussion des eingngs erwähnten Beispiels cos + 2 d. verwenden. Wir behupten ds dieses uneigentliche Integrl bsolut konvergiert. Für lle gilt cos cos + 2 = + < 2 2 und d wir schon wissen, dss ds Integrl d/ 2 konvergiert ist nch dem Mjorntenkriterium uch ds Integrl cos()/( + 2 ) d bsolut konvergent. Ds unsere Mjornte hier nur für funktioniert spielt dbei keine Rolle, denn us der Konvergenz von cos + 2 d < folgt uch die Konvergenz von cos + 2 d = cos + 2 d + cos + 2 d. -7

8 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 Zur Behndlung uneigentlicher Riemn-Integrle gibt es eine weitere Technik für die wir kein Anlogon für Reihen behndelt hben, mn knn ds Mjorntenkriterium mit prtieller Integrtion und Substitution kombinieren. Hierzu wollen wir uns zwei Beispiele nschuen und ls erstes Beispiel wollen wir eine weitere Begründung der Konvergenz des Integrls sin d ngeben. Dieses Integrl knn nicht direkt mit dem Mjorntenkriterium behndelt werden, d dieses ein Kriterium für die bsolute Riemn-Integrierbrkeit ist und wir schon wissen ds unser Integrl eben nicht bsolut Riemn-integrierbr ist. Wir gehen nun über prtielle Integrtion vor. Zunächst ist für lle R mit stets cos 2, 2 und d wir schon d/2 < wissen, konvergiert nch dem Mjorntenkriterium Stz 7 uch cos /2 d. Mit prtieller Integrtion Stz 3 ergibt sich somit die Konvergenz des uneigentlichen Riemn-Integrls sin d = cos cos 2 cos d = d. 2 Dmit ist dnn schließlich uch sin / d konvergent. Schuen wir uns noch ein zweites Beispiel für diese Technik n, wir wollen uns überlegen ds ds uneigentliche Riemn-Integrl sin( 2 ) d konvergiert. Substituieren wir zunächst s = t 2, lso = ds/(2 s), so ist für jedes > sin(t 2 ) = sin(t 2 ) = sin t t sin(t 2 ) cos( 2 ) Anlog zur obigen Überlegung ist ds uneigentliche Riemn-Intergrl cos t t3/2 bsolut konvergent, lso uch konvergent. Nch I. 2.Lemm 4 ist uch cos t. t3/2 2 lim cos t = t3/2 cos t, t3/2-8

9 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 und wegen lim cos( 2 )/ = ergibt sich insgesmt die Eistenz des sogennnten Fresnel-Integrls sin( 2 ) d = sin(t 2 ) 4 cos t. t3/2 Hier hben wir die Kombintion von Substitutionsregel und Mjorntenkriterium gesehen, mn knn dieses Beispiel ber uch mit prtieller Integrtion behndeln, bechten wir d d (cos(2 ) ) = 2 sin( 2 cos( 2 ) ) und lim = so ergibt sich sin( 2 ) d = 2 sin( 2 ) d 2 = cos( 2 ) 2 2 cos( 2 ) d = cos( 2 ) d und ds rechts stehende Integrl ist nch dem Mjorntenkriterium bsolut konvergent. Mn knn beweisen, dss sin( 2 ) d = π 2 2 ist. Diese Beispiel zeigt uch ds ein uneigentliches Riemn-Integrl f() d R eistieren knn, selbst wenn die Funktion f() für nicht gegen Null konvergiert. Ds Fresnel-Integrl ist ber nicht bsolut konvergent. Zum Abschluß wollen wir jetzt noch beidseitig uneigentliche Riemn-Integrle diskutieren. Definition 3.3: Seien, b R mit < b. Wähle irgendein c R zwischen und b, d.h. < c < b. Dnn heißt eine Funktion f : (, b) R über (, b) uneigentlich Riemn integrierbr wenn f über (, c] und über [c, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist. In diesem Fll nennen wir f() d := c f() d + c f() d ds uneigentliche Riemn Integrl von f über (, b). Dieser Wert ist dnn unbhängig vom speziell gewählten c. Anders gesgt ist f() d = lim c f(t) + lim b c f(t). Die beiden Grenzwerte müssen hier einzeln gebildet werden, zum Beispiel reicht die Eistenz von lim f(t) nicht us, um die Eistenz von f(t) zu begründen. -9

10 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 Ein erstes Beispiel dieser beidseitig uneigentlichen Integrle ist d + = lim 2 + t + lim 2 + t 2 = rctn() lim rctn() + lim rctn() rctn() Arcus Tngens Nun ist rctn() =. Die beiden Arcustngens Grenzwerte kennen wir uch, Sie müssen sich nur n den Grphen des Arcustngens erinnern wobei die gestrichelten Linien bei y = ± verlufen. Somit sind lim rctn =, lim rctn =, und wir hben insgesmt d ( + = π ) + π = π. Allgemein ist für lle, b R mit := 4b 2 > stets d b = lim t 2 + t + b ( ) ( )) = lim (rctn rctn = π 2 ( ) rctn und nlog uch d b = π + 2 ( ) rctn, lso ist insgesmt + d b = 2π. Ein drittes Beispiel ist ds uneigentliche Integrl d = lim 2 t 2 + lim t 2 = rcsin() lim rcsin() + lim rcsin rcsin() = π d rcsin() =, rcsin( ) = und rcsin() = sind. -

11 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 Wissen wir bereits, dss eine Funktion f über (, b) uneigentlich Riemn integrierbr ist, so können wir den Grenzwert uch simultn bilden, lso oben zum Beispiel d + 2 = lim + t 2 = lim 2 rctn = π rechnen. Dies funktioniert nicht wenn f überhupt nicht integrierbr ist, zum Beispiel konvergiert d nicht obwohl t 2 lim t = lim 2 = gilt. Die in diesem Kpitel für einseitig uneigentliche Integrle hergeleiteten Sätze gelten entsprechend uch für beidseitig uneigentliche Riemn-Integrle, und wir werden sie uch entsprechend verwenden. 4 Funktionenfolgen und normierte Räume In diesem Abschnitt wollen wir nicht mehr einzelne Funktionen sondern gnze Funktionenfolgen betrchten. In I. 4 htten wir bereits Folgen in einer beliebigen Menge definiert, und eine Funktionenfolge ist einfch eine Folge in einer Menge von Funktionen. Definition 4. (Funktionenfolgen) Seien M, N zwei Mengen. Dnn schreiben wir M N := {f f ist eine Abbildung von N nch M} für die Menge ller Funktionen von N nch M. Eine Folge von Funktionen von N nch M ist eine Folge (f n ) n N in der Menge M N. In diesem Kpitel werden wir huptsächlich n den beiden Fällen M = R oder M = C interessiert sein, wir betrchten lso Folgen von reell oder komplewertigen Funktionen. Ein einfches Beispiel ist die Funktionenfolge (f n ) n N wobei für jedes n N f n : R R; ne n ist. Zumeist werden wir solche durch Formeln gegebenen Funktionenfolgen in der verkürzten Form f n () := ne n, R hinschreiben, lso ls eine Formel in der n ls Prmeter vorkommt. Die Definitionsmenge M und die Zielmenge N müssen dbei ber immer klr sein, oder notflls eplizit ngegeben werden. Weitere Beispiele in dieser Nottion sind dnn f n () := jeweils ls Abbildungen f n : R R. + 2n, f n() := sin(n), f n () := - ( + ) n n

12 Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch Punktweise Konvergenz Wir wollen uch so etws wie eine Konvergenz von Funktionenfolgen hben, und der einfchste derrtige Konvergenzbegriff ist die sogennnte punktweise Konvergenz. Definition 4.2: Seien M eine Menge, K {R, C} und (f n ) n N eine Folge von Funktionen von M nch K. Wir sgen, dss die Folge (f n ) n N punktweise gegen eine Funktion f : M K konvergiert, wenn für jedes M gilt. f() = lim n f n () Wir nennen die Funktion f dnn uch den punktweisen Grenzwert oder die punktweise Grenzfunktion der Funktionenfolge (f n ) n N. Gelegentlich spricht mn uch verkürzend einfch von der Grenzfunktion der Funktionenfolge (f n ) n N. Gehen wir die obigen Beispiele einml durch. Ws ist lim n ne n? Im Fll > ist dies klr, wir hben dnn lim n ne n = lim n ne n = nch I..Stz 9.(c). Ist dgegen, lso e n und ne n n für lle n N, so ist lim n ne n = nicht konvergent. Als Abbildungen von R nch R ist diese Funktionenfolge lso nicht punktweise konvergent. Auf (, ) konvergiert sie dgegen punktweise gegen die Nullfunktion. Als ein zweites Beispiel betrchten wir die durch f n () = n + n für n gegebene Folge von Funktion von R > nch R. Hier tritt bei der Ermittlung des Grenzwertes wieder eine Fllunterscheidung uf. Ist <, so hben wir f n () n 2 für jedes n, lso ist wegen ( n 2) n N uch lim n f n () =. Ist dgegen >, so ist = n n < n + n < n 2 n = n 2 für jedes n, und es folgt lim n f n () =. Insgesmt ist lso { lim f,, n() = n, >. Hier hben wir lso eine Folge von differenzierbren Funktionen, die gegen eine nicht mehr überll differenzierbre Grenzfunktion konvergiert. -2