Newton-Verfahren und komplexe Dynamik. Jonathan Clausing

Transkript

1 Newton-Verfahren und komplexe Dynamik Jonathan Clausing

2 Newton-Verfahren und komplexe Dynamik Von nutzloser und nützlicher Mathematik Iteration komplexer Polynome Die gefüllte Julia-Menge Die Mandelbrotmenge Die Dynamik des Newton-Verfahrens Newton-Verfahren komplexer Polynome Schlussbemerkung Anhang

3 Iteration komplexer Polynome

4 Iteration komplexer Polynome Sei q : ein Polynom mit einem Grad größer 2. Wie verhält sich q unter Iteration? Bestimme dafür ein z und betrachte die Folge: bzw. z, q(z), q(q(z)), q(q(q(z))), =, = q o ( ) dann ist die n-te Iterierte von q und ( (z)) ist der Orbit von z.

5 Iteration komplexer Polynome Der Orbit ist beschränkt, - wenn z ein Fixpunkt ist, also q(z) = z - wenn z ein periodischer Punkt ist, also q (z) = z, für n > 1 - wenn q (z) einen Grenzwert besitzt

6 Iteration komplexer Polynome Der Orbit ist beschränkt, - wenn z ein Fixpunkt ist, also q(z) = z - wenn z ein periodischer Punkt ist, also q (z) = z, für n > 1 - wenn q (z) einen Grenzwert besitzt Der Orbit ist unbeschränkt, - wenn q (z), für n.

7 Die gefüllte Julia-Menge

8 Die gefüllte Julia-Menge Sei K(q) := {z C: der Orbit von z unter Iteration von q ist beschränkt}. Diese Menge nennt man die gefüllte Julia-Menge, die eigentliche Julia- Menge ist der Rand dieser Menge. Das Komplement dieser Menge ist die Menge der entkommenden Punkte von q, also I(q) := {z : der Orbit von z unter Iteration von q gegen unendlich}

9 Die gefüllte Julia-Menge Betrachten wir nun den Fall, dass der Grad von q gleich 2 ist. Dann hat die gefüllte Julia-Menge K(q) folgende Eigenschaften:

10 Die gefüllte Julia-Menge Betrachten wir nun den Fall, dass der Grad von q gleich 2 ist. Dann hat die gefüllte Julia-Menge K(q) folgende Eigenschaften: (1) K(q) kann offene Mengen enthalten. Diese Mengen der inneren Punkte heißen Fatou-Komponente und wird durch q surjektiv auf eine andere Fatou-Komponente abgebildet.

11 Die gefüllte Julia-Menge Betrachten wir nun den Fall, dass der Grad von q gleich 2 ist. Dann hat die gefüllte Julia-Menge K(q) folgende Eigenschaften: (1) K(q) kann offene Mengen enthalten. Diese Mengen der inneren Punkte heißen Fatou-Komponente und wird durch q surjektiv auf eine andere Fatou-Komponente abgebildet. (2) Sei K(q) unzusammenhängend, dann ist sie eine Cantor-Menge, d.h. sie ist kompakt, total unzusammenhängend und es existieren keine isolierten Punkte.

12 Die gefüllte Julia-Menge Betrachten wir nun den Fall, dass der Grad von q gleich 2 ist. Dann hat die gefüllte Julia-Menge K(q) folgende Eigenschaften: (1) K(q) kann offene Mengen enthalten. Diese Mengen der inneren Punkte heißen Fatou-Komponente und wird durch q surjektiv auf eine andere Fatou-Komponente abgebildet. (2) Sei K(q) unzusammenhängend, dann ist sie eine Cantor-Menge, d.h. sie ist kompakt, total unzusammenhängend und es existieren keine isolierten Punkte. (3) Ist K(q) zusammenhängend, kann der Rand von K(q), also die Julia- Menge, positives Maß besitzen.

13 Die gefüllte Julia-Menge Weiterhin gibt es einen Satz, der besagt, wann eine gefüllte Julia-Menge zusammenhängend, bzw. total unzusammenhängend ist. Die Menge K(q) ist genau dann zusammenhängend, wenn die Orbits aller kritischen Punkte von q beschränkt sind (und sie ist eine Cantor-Menge, falls alle kritischen Orbits unter Iteration gegen konvergieren).

14 Die gefüllte Julia-Menge Wir betrachten uns den Satz für Polynome vom Grad 2, welche sich alle durch einen geeigneten Koordinatenwechsel in folgende Form bringen lassen: (z) = + c, wobei c Der einzige kritische Punkt für alle c ist 0, da q (0) = 0. Betrachten wir nun hierzu die Mandelbrotmenge.

15 Die Mandelbrotmenge

16 Die Mandelbrotmenge Sei (z) = + c, wobei c und z=0 der Startwert ist. Dann ist die Mandelbrotmenge die Menge aller Parameter c, bei denen der Orbit := K(q) zusammenhängend ist.

17 Die Mandelbrotmenge Über diese Menge gibt es noch weitgehend ungelöste Probleme z.b.

18 Die Mandelbrotmenge Über diese Menge gibt es noch weitgehend ungelöste Probleme z.b. - Lässt sich die Topologie der Mandelbrotmenge einfach beschreiben?

19 Die Mandelbrotmenge Über diese Menge gibt es noch weitgehend ungelöste Probleme z.b. - Lässt sich die Topologie der Mandelbrotmenge einfach beschreiben? - Sei c ein innerer Punkt von M. Enthält die gefüllte Julia-Menge von q notwendigerweise auch innere Punkte?

20 Die Mandelbrotmenge Über diese Menge gibt es noch weitgehend ungelöste Probleme z.b. - Lässt sich die Topologie der Mandelbrotmenge einfach beschreiben? - Sei c ein innerer Punkt von M. Enthält die gefüllte Julia-Menge von q notwendigerweise auch innere Punkte? - Ist der Rand von M eine Kurve? Wie groß ist der Flächeninhalt?

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24 Die Dynamik des Newton-Verfahrens

25 Die Dynamik des Newton-Verfahrens Allgemein ist das Newton-Verfahren ein Algorithmus zur Approximation von Nullstellen. Wir betrachten eine glatte Funktion f: R R, dann ist das Newton-Verfahren N (x) = x f(x)/f (x) wobei N (x) eine bessere Approximation der Nullstelle ist als x. Durch Iteration kann die Nullstelle dann überraschend genau bestimmt werden.

26 Die Dynamik des Newton-Verfahrens Satz: Ist x* eine einfache Nullstelle von f (d.h. f(x*)=0 und f (x*) 0), dann konvergiert der Newton-Orbit aller hinreichend nahe an x* liegenden Punkte gegen x*: Es gibt > 0 derart, dass alle mit x* < die Eigenschaft x* haben.

27 Die Dynamik des Newton-Verfahrens Anmerkung: In den meisten Fällen gilt dieser Satz auch bei mehrfachen Nullstellen, aber es gibt ein paar Ausnahmen. Außerdem ist das Verfahren sehr effizient. So erwartet man etwa nach 10 Iterationen 2 = 1024 richtige Dezimalstellen (die Anzahl der Dezimalstellen verdoppelt sich etwa auf lange Sicht), wenn der Startwert gut genug gewählt worden ist.

28 Newton-Verfahren komplexer Polynome

29 Newton-Verfahren komplexer Polynome Sei nun f = p ein Polynom, und wir betrachten die Iteration N (x) = x p(x)/p (x)

30 Newton-Verfahren komplexer Polynome Sei nun f = p ein Polynom, und wir betrachten die Iteration N (x) = x p(x)/p (x) Daraus ergeben sich folgende Fragen:

31 Newton-Verfahren komplexer Polynome Sei nun f = p ein Polynom, und wir betrachten die Iteration N (x) = x p(x)/p (x) Daraus ergeben sich folgende Fragen: 1. Konvergieren fast alle Punkte in unter Iteration von N gegen eine Nullstelle von p?

32 Newton-Verfahren komplexer Polynome Sei nun f = p ein Polynom, und wir betrachten die Iteration N (x) = x p(x)/p (x) Daraus ergeben sich folgende Fragen: 1. Konvergieren fast alle Punkte in unter Iteration von N gegen eine Nullstelle von p? 2. Kann es offene Mengen von Punkten in geben, die unter Iteration von N nicht gegen eine Nullstelle von p konvergieren?

33 Newton-Verfahren komplexer Polynome Lösungsansätze zu 1. und 2. Für eine Nullstelle sei das Bassin von. Alle Bassins sind offen und die Vereinigung ist die Menge aller guten Startwerte.

34 Newton-Verfahren komplexer Polynome Lösungsansätze zu 1. und 2. Für eine Nullstelle sei das Bassin von. Alle Bassins sind offen und die Vereinigung ist die Menge aller guten Startwerte. - Für ein quadratisches Polynom p mit zwei Nullstellen ist die Menge der schlechten Startwerte die Mittelhalbierende der beiden Punkte.

35 Newton-Verfahren komplexer Polynome Lösungsansätze zu 1. und 2. Für eine Nullstelle sei das Bassin von. Alle Bassins sind offen und die Vereinigung ist die Menge aller guten Startwerte. - Für ein quadratisches Polynom p mit zwei Nullstellen ist die Menge der schlechten Startwerte die Mittelhalbierende der beiden Punkte. - Für jedes Polynom p mit d 3 gibt es für jedes n 2 periodische Punkte mit Periode n, allerdings für jedes n nur endlich viele.

36 Newton-Verfahren komplexer Polynome Lösungsansätze zu 1. und 2. Für eine Nullstelle sei das Bassin von. Alle Bassins sind offen und die Vereinigung ist die Menge aller guten Startwerte. - Für ein quadratisches Polynom p mit zwei Nullstellen ist die Menge der schlechten Startwerte die Mittelhalbierende der beiden Punkte. - Für jedes Polynom p mit d 3 gibt es für jedes n 2 periodische Punkte mit Periode n, allerdings für jedes n nur endlich viele. - Der Rand jedes Bassins ist abgeschlossen und nicht leer und schneidet kein Bassin einer anderen Nullstelle.

37 Newton-Verfahren komplexer Polynome Lösungsansätze zu 1. und 2. Für eine Nullstelle sei das Bassin von. Alle Bassins sind offen und die Vereinigung ist die Menge aller guten Startwerte. - Für ein quadratisches Polynom p mit zwei Nullstellen ist die Menge der schlechten Startwerte die Mittelhalbierende der beiden Punkte. - Für jedes Polynom p mit d 3 gibt es für jedes n 2 periodische Punkte mit Periode n, allerdings für jedes n nur endlich viele. - Der Rand jedes Bassins ist abgeschlossen und nicht leer und schneidet kein Bassin einer anderen Nullstelle. - Der Rand aller Bassins ist gleich und ist die Julia-Menge von N.

38 Newton-Verfahren komplexer Polynome Newton-Verfahren auf kubische Polynome angewandt.

39 Newton-Verfahren komplexer Polynome Theorie: Für jedes quadratische Polynom q gibt es ein kubisches Polynom, so dass die Menge der schlechten Startwerte für die Newton-Dynamik von eine Kopie der gefüllten Julia-Menge von q enthält.

40 Newton-Verfahren komplexer Polynome Daraus ergeben sich folgende Antworten: 1. Es gibt Polynome, bei welchen die Menge der schlechten Startwerte der Julia- Menge eines quadratischen Polynoms entsprechen, welche positives Maß hat. Also konvergieren nicht fast alle Punkte gegen eine Nullstelle.

41 Newton-Verfahren komplexer Polynome Daraus ergeben sich folgende Antworten: 1. Es gibt Polynome, bei welchen die Menge der schlechten Startwerte der Julia- Menge eines quadratischen Polynoms entsprechen, welche positives Maß hat. Also konvergieren nicht fast alle Punkte gegen eine Nullstelle. 2. Da gefüllte Julia-Mengen quadratischer Polynome innere Punkte haben können, gibt es sogar offene Mengen, welche nicht gegen eine Nullstelle konvergieren.

42 Newton-Verfahren komplexer Polynome Betrachten wir nun allgemein die Newton-Iteration von kubischen Polynomen. Sei p(z) = In geeigneten Koordinaten können wir dann jedes kubische Polynom folgenderweise schreiben (mit Ausnahme von p(z) = ): = ( 1)( )

43 Newton-Verfahren komplexer Polynome Wann haben die kubischen Polynome offene Mengen schlechter Startwerte? Satz: Enthält die Menge der schlechten Startwerte eines kubischen Polynoms p eine offene Menge, so enthält sie auch den Schwerpunkt der drei Wurzeln von p.

44 Newton-Verfahren komplexer Polynome Wann haben die kubischen Polynome offene Mengen schlechter Startwerte? Also: Man muss schauen, ob der einzige Punkt z \ {,, } mit (z) = 0 unter Iteration konvergieren. Konvergieren sie nicht, so gibt es für dieses offene Mengen schlechter Startwerte.

45 Newton-Verfahren komplexer Polynome Diese Grafik zeigt das Konvergenzverhalten. Die schwarzen Mengen sind die Mengen der, für welche der kritische Punkt nicht konvergiert.

46 Schlussbemerkung Wir haben nun für einen eher nutzlosen Teil der Mathematik, nämlich den Iterieren von Polynomen, sinnvolle Verwendung in einem sehr nützlichen Bereich der Mathematik, nämlich dem Newton-Verfahren, gefunden. Da alle Gleichungen f(x) = g(x) nach f(x) g(x) = 0 umgestellt werden können, ist das Finden von Nullstellen eine Grundfrage der Mathematik.

47 Schlussbemerkung Allerdings kann man bei der Iteration von Polynomen viele Theorien noch nicht einmal für den Fall von quadratischen Polynomen beweisen, also gibt es auf diesem eher jungen Zweig der Mathematik noch viel zu tun.

48 Anhang D. Schleicher, M. Lackmann (Hrsg.), Eine Einladung in die Mathematik (Berlin, Heidelberg 2013).

49 Anhang/Bilder - Folie 7: Folie 8: D. Schleicher, M. Lackmann (Hrsg.), Eine Einladung in die Mathematik (Berlin, Heidelberg 2013), S.215, Abb.1 - Folie 15: Folie 21: Folie 22: Folie 23: Folie 38: D. Schleicher, M. Lackmann (Hrsg.), Eine Einladung in die Mathematik (Berlin, Heidelberg 2013), S.222, Abb.4 - Folie 45: : D. Schleicher, M. Lackmann (Hrsg.), Eine Einladung in die Mathematik (Berlin, Heidelberg 2013), S.224, Abb.5

50 Newton Verfahren und komplexe Dynamik Jonathan Clausing Zu Folie 4 ff: Sei q(z) = z 2 Beschränkte Orbits: Fixpunkt: z = 1, q(1) = 1, also O 1,q = {1} Periodischer Punkt: z = + q(q( + )) = + q( + ) = also O z,q = { + } Fixpunkt ist Grenzwert: z = i, q(i) = 1, q( 1) = 1, q(1) = 1, also O i,q = {i, 1,1} Unbeschränkte Orbits: z = 2, also O 2,q = {2, 4, 16, } = ( ) n IN mit 2, für n Zu Folie 9 ff: Julia Menge (benannt nach Gaston Julia ( )) Sei q(z) = z 2 ( ) { : 1} ( ) { : >1} Julia Menge { : =1} Fatou-Komponente = ( )\ (benannt nach Pierre Fatou ( )) Zu Folie 11: Satz: Jeder kompakte Raum, der total unzusammenhängend und in sich dicht ist, ist zur Cantor- Menge homöomorph. Weiter gilt: Zwei Cantor-Mengen sind in einem Raum immer homöomorph zueinander und die Dynamik ist topologisch konjugiert (dh. ähnlich). Das Maß der Cantor-Menge ist 0. Beweis: Wir konstruieren die Menge C so, dass wir zuerst eine Strecke der Länge 1 haben, welche wir C 0 nennen. Diese teilen wir in drei gleichgroße Strecken und entfernen den mittleren Teil und nennen die nun entstandene Menge C 1. Diesen Schritt wiederholen wir immer wieder. ( ) = lim ( )= lim ( ) =0

51 Zu Folie 16 ff: Mandelbrotmenge (benannt nach Benôit Mandelbrot (1980)) Wann divergiert ein Orbit? wenn c > 2 wenn z n > 2 wobei z n die n-te Iterierte von 0 ist. Behauptung: für c > 2, q = c - 1 > 1 Beweis: vollständige Induktion über n: IA: IV: IS: = = = + = ( 1) 1=( +1) 1= + 1 für n Behauptung: für n, z n > 2, c 2 Beweis: wähle d = z n - 2 > 0 = + 2 2= + = + für k, Zu Folie 25 ff: Behauptung: Für f(x*) = 0, f (x) 0, >0, sodass alle x mit x x* < gegen x* konvergieren. Beweis: 0= ( )= ( )+ ( )( ) + ( )( ) für zwischen x, x* ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) 2 ( ) ( ) maximiere ( ), minimiere ( ) ( ) Wähle < = p < 1

52 ( ) < ( ( ) < Sei nun die k-te Iterierte < also lim = 0 Beispiel: Approximation von 2 = 1, ( ) = 2, ( ) =2, ( ) =2, = [1,4; 1,5] = max, ( ) = = = =1,4,, ( ) und 1,4 2 < = = 1, = = 1, = 1, Zu Folie 42 ff: =1 ( )= ( 1), ( ) =2( 1) + ( 1) ( )= ( ) = ( ) ( ) = ( ( ) ) ( ) ( ) =0 =0, = = = = (1) =1 Für =1 hat p(z) keine offene Menge schlechter Startwerte

53 Quellen: D. Schleicher, M. Lackmann (Hrsg.), Eine Einladung in die Mathematik (Berlin, Heidelberg 2013).