Determinante. Die Determinante. einer quadratischen Matrix A mit Spalten a j kann durch folgende Eigenschaften definiert werden.
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- Kora Berger
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1 Determinante Die Determinante det A = det(a 1,..., a n ) einer quadratischen Matrix A mit Spalten a j kann durch folgende Eigenschaften definiert werden. Multilineariät: det(..., αa j + βb j,...) = α det(..., a j,...) + β det(..., b j,...) Antisymmetrie: det(..., a j,..., a k,...) = det(..., a k,..., a j,...) Normierung: det(e 1,..., e n ) = 1, (e k ) l = δ kl. Determinante als antisymmetrische Multilinearform 1-1
2 Mit den definierenden Regeln lässt sich eine Determinante als Summe n-facher Produkte entwickeln: det A = i S n σ(i) a i1,1 a in,n, wobei über alle Permutationen (i 1,..., i n ) von (1,..., n) summiert wird und σ das Vorzeichen der Permutation bezeichnet. Man benutzt ebenfalls die Schreibweisen a 1,1 a 1,n det A = A =... a n,1 a n,n Wegen der hohen Anzahl der Summanden (es exisitieren n! Permutationen) ist die explizite Darstellung der Determinante für die praktische Berechnung schlecht geeignet. Sie ist jedoch unmittelbar mit den definierenden Eigenschaften verknüpft und wird zum Beweis sowie zur Herleitung einiger anderer Eigenschaften benötigt. Determinante als antisymmetrische Multilinearform 1-2
3 Beweis: (i) Eigenschaften Entwicklung der Determinante via Permutationen: Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e i dar: n a j = a i,j e i i=1 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-1
4 Beweis: (i) Eigenschaften Entwicklung der Determinante via Permutationen: Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e i dar: n a j = a i,j e i Multilinearität det A = n i 1 =1 n i n=1 a i 1,1 a in,n det(e i1,..., e in ) }{{} =d i i=1 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-2
5 Beweis: (i) Eigenschaften Entwicklung der Determinante via Permutationen: Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e i dar: n a j = a i,j e i Multilinearität det A = n i 1 =1 n i n=1 a i 1,1 a in,n det(e i1,..., e in ) }{{} =d i Antisymmetrie det(..., e k,..., e k,...) = det(..., e k,..., e k,...), i=1 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-3
6 Beweis: (i) Eigenschaften Entwicklung der Determinante via Permutationen: Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e i dar: n a j = a i,j e i Multilinearität det A = n i 1 =1 n i a n=1 i 1,1 a in,n det(e i1,..., e in ) }{{} =d i Antisymmetrie det(..., e k,..., e k,...) = det(..., e k,..., e k,...), d.h. det(e i1,..., e in ) = 0, falls nicht alle e iν verschieden sind i=1 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-4
7 Beweis: (i) Eigenschaften Entwicklung der Determinante via Permutationen: Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e i dar: n a j = a i,j e i Multilinearität det A = n i 1 =1 n i a n=1 i 1,1 a in,n det(e i1,..., e in ) }{{} =d i Antisymmetrie det(..., e k,..., e k,...) = det(..., e k,..., e k,...), d.h. det(e i1,..., e in ) = 0, falls nicht alle e iν verschieden sind nur Permutationen (i 1,..., i n ) von (1,..., n) zu berücksichtigen i=1 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-5
8 Beweis: (i) Eigenschaften Entwicklung der Determinante via Permutationen: Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e i dar: n a j = a i,j e i Multilinearität det A = n i 1 =1 n i a n=1 i 1,1 a in,n det(e i1,..., e in ) }{{} =d i Antisymmetrie det(..., e k,..., e k,...) = det(..., e k,..., e k,...), d.h. det(e i1,..., e in ) = 0, falls nicht alle e iν verschieden sind nur Permutationen (i 1,..., i n ) von (1,..., n) zu berücksichtigen d i = ( 1) τ(i) det(e 1,..., e n ), wobei τ(i) die modulo 2 eindeutig bestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um die Einheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen i=1 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-6
9 Beweis: (i) Eigenschaften Entwicklung der Determinante via Permutationen: Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e i dar: n a j = a i,j e i Multilinearität det A = n i 1 =1 n i a n=1 i 1,1 a in,n det(e i1,..., e in ) }{{} =d i Antisymmetrie det(..., e k,..., e k,...) = det(..., e k,..., e k,...), d.h. det(e i1,..., e in ) = 0, falls nicht alle e iν verschieden sind nur Permutationen (i 1,..., i n ) von (1,..., n) zu berücksichtigen d i = ( 1) τ(i) det(e 1,..., e n ), wobei τ(i) die modulo 2 eindeutig bestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um die Einheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung = i=1 det(e i1,..., e in ) = σ(i) det(e 1,..., e n ) = σ(i) Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-7
10 (ii) Entwicklung Eigenschaften: Multilinearität: Produkte a i1,1 a in,n enthalten aus jeder Spalte jeweils genau ein Element. Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-8
11 (ii) Entwicklung Eigenschaften: Multilinearität: Produkte a i1,1 a in,n enthalten aus jeder Spalte jeweils genau ein Element. Antisymmetrie: Vertauschung von Spalten ändert Vorzeichen der Permutation. Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-9
12 (ii) Entwicklung Eigenschaften: Multilinearität: Produkte a i1,1 a in,n enthalten aus jeder Spalte jeweils genau ein Element. Antisymmetrie: Vertauschung von Spalten ändert Vorzeichen der Permutation. Normierung: Für die Einheitsmatrix existiert nur ein nichttrivialer Summand: a 1,1 a n,n = 1 1 = 1. Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-10
13 Beispiel: Determinante einer (2 2)-Matrix: a b c d = ad bc nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-1
14 Beispiel: Determinante einer (2 2)-Matrix: a b c d = ad bc nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften: det(ae 1 + ce 2, be 1 + de 2 ) = a det(e 1, be 1 + de 2 ) + c det(e 2, be 1 + de 2 ) Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-2
15 Beispiel: Determinante einer (2 2)-Matrix: a b c d = ad bc nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften: det(ae 1 + ce 2, be 1 + de 2 ) = a det(e 1, be 1 + de 2 ) + c det(e 2, be 1 + de 2 ) = ab det(e 1, e 1 ) + ad det(e 1, e 2 ) + cb det(e 2, e 1 ) + cd det(e 2, e 2 ) Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-3
16 Beispiel: Determinante einer (2 2)-Matrix: a b c d = ad bc nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften: det(ae 1 + ce 2, be 1 + de 2 ) = a det(e 1, be 1 + de 2 ) + c det(e 2, be 1 + de 2 ) = ab det(e 1, e 1 ) + ad det(e 1, e 2 ) + cb det(e 2, e 1 ) + cd det(e 2, e 2 ) = ab 0 + ad 1 + cb ( 1) + cd 0 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-4
17 Beispiel: Determinante einer (2 2)-Matrix: a b c d = ad bc nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften: det(ae 1 + ce 2, be 1 + de 2 ) = a det(e 1, be 1 + de 2 ) + c det(e 2, be 1 + de 2 ) = ab det(e 1, e 1 ) + ad det(e 1, e 2 ) + cb det(e 2, e 1 ) + cd det(e 2, e 2 ) = ab 0 + ad 1 + cb ( 1) + cd 0 = ad bc Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-5
18 Beispiel: Die Determinante einer 3 3-Matrix ist eine Summe von Produkten, die den verschiedenen Diagonalen entsprechen. Dieses sogenannte Sarrus-Schema ist in der Abbildung illustriert. ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-1
19 Überprüfung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen: i Vertauschungen σ(i) Produkt (1, 2, 3) + a 1,1 a 2,2 a 3,3 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-2
20 Überprüfung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen: i Vertauschungen σ(i) Produkt (1, 2, 3) + a 1,1 a 2,2 a 3,3 (2, 3, 1) (3, 2, 1) (1, 2, 3) + a 2,1 a 3,2 a 1,3 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-3
21 Überprüfung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen: i Vertauschungen σ(i) Produkt (1, 2, 3) + a 1,1 a 2,2 a 3,3 (2, 3, 1) (3, 2, 1) (1, 2, 3) + a 2,1 a 3,2 a 1,3 (3, 1, 2) (2, 1, 3) (1, 2, 3) + a 3,1 a 1,2 a 2,3 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-4
22 Überprüfung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen: i Vertauschungen σ(i) Produkt (1, 2, 3) + a 1,1 a 2,2 a 3,3 (2, 3, 1) (3, 2, 1) (1, 2, 3) + a 2,1 a 3,2 a 1,3 (3, 1, 2) (2, 1, 3) (1, 2, 3) + a 3,1 a 1,2 a 2,3 (3, 2, 1) (1, 2, 3) a 3,1 a 2,2 a 1,3 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-5
23 Überprüfung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen: i Vertauschungen σ(i) Produkt (1, 2, 3) + a 1,1 a 2,2 a 3,3 (2, 3, 1) (3, 2, 1) (1, 2, 3) + a 2,1 a 3,2 a 1,3 (3, 1, 2) (2, 1, 3) (1, 2, 3) + a 3,1 a 1,2 a 2,3 (3, 2, 1) (1, 2, 3) a 3,1 a 2,2 a 1,3 (1, 3, 2) (1, 2, 3) a 1,1 a 3,2 a 2,3 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-6
24 Überprüfung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen: i Vertauschungen σ(i) Produkt (1, 2, 3) + a 1,1 a 2,2 a 3,3 (2, 3, 1) (3, 2, 1) (1, 2, 3) + a 2,1 a 3,2 a 1,3 (3, 1, 2) (2, 1, 3) (1, 2, 3) + a 3,1 a 1,2 a 2,3 (3, 2, 1) (1, 2, 3) a 3,1 a 2,2 a 1,3 (1, 3, 2) (1, 2, 3) a 1,1 a 3,2 a 2,3 (2, 1, 3) (1, 2, 3) a 2,1 a 1,2 a 3,3 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-7
25 Überprüfung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen: i Vertauschungen σ(i) Produkt (1, 2, 3) + a 1,1 a 2,2 a 3,3 (2, 3, 1) (3, 2, 1) (1, 2, 3) + a 2,1 a 3,2 a 1,3 (3, 1, 2) (2, 1, 3) (1, 2, 3) + a 3,1 a 1,2 a 2,3 (3, 2, 1) (1, 2, 3) a 3,1 a 2,2 a 1,3 (1, 3, 2) (1, 2, 3) a 1,1 a 3,2 a 2,3 (2, 1, 3) (1, 2, 3) a 2,1 a 1,2 a 3,3 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-8
26 Eigenschaften von Determinanten Die Determinante einer Matrix ist genau dann nicht Null, wenn die Spalten (Zeilen) eine Basis bilden. Insbesondere ist die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Spalten oder Zeilen Null. Daraus folgt, dass sich die Determinante nicht ändert, wenn man ein Vielfaches einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) addiert. Durch Skalierung, Addition und Vertauschung von Zeilen und Spalten lässt sich eine Determinante sukzessive auf Dreiecksform transformieren und damit als Produkt der modifizierten Diagonalelemente berechnen. Es gelten die folgenden Regeln: det(ab) = (det A)(det B) det A = det A t det(a 1 ) = (det A) 1 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 5-1
27 Beweis: (i) Basistest: Die Vektoren a 1,..., a n R n sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in einer Hyperebene liegen. = Basiseigenschaft aufgrund der Interpretation von det(a 1,..., a n ) als Volumen des von a k aufgespannten Parallelepipeds. (ii) Transposition: Entwicklung nach Permutationen det A = π σ(π) a π(1),1 a π(n),1 Umordnung der Faktoren a π(1),1 a π(n),1 = a 1,π 1 (1) a n,π 1 (n) mit π 1 der inversen Permutation zu π σ(π) = σ(π 1 ) π σ(π 1 ) aπ t 1 (1),1 at π 1 (n),1 = det At Determinante als antisymmetrische Multilinearform 6-1
28 (iii) Produkte von Matrizen: det A = 0 a 1,..., a n linear abhängig = Ab 1,..., Ab n linear abhängig, da Ab k Linearkombinationen der a l sind = det(ab) = det(ab 1,..., Ab n ) = 0 = det A det B für det A 0 definiere d(b 1,..., b n ) = det(ab)/ det A und verifiziere die definierenden Eigenschaften der Determinante Antisymmetrie und Normierung unmittelbar ersichtlich zum Beweis der Linearität bemerke für b k = αu + βv d(..., αu + βv,...) = det(..., αau + βav,...)/ det A = αd(..., u,...) + βd(..., v,...) Determinante als antisymmetrische Multilinearform 6-2
29 (iv) Inverse: AA 1 = E = 1 = det E = det(aa 1 ) = det(a) det(a 1 ) Determinante als antisymmetrische Multilinearform 6-3
30 Beispiel: Transformation von Determinanten auf Dreiecksform durch Skalierung Addition Vertauschen Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-1
31 Beispiel: Transformation von Determinanten auf Dreiecksform durch Skalierung Addition Vertauschen Berechnung der Determinante von A = Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-2
32 Beispiel: Transformation von Determinanten auf Dreiecksform durch Skalierung Addition Vertauschen Berechnung der Determinante von Zeile 3-3 Zeile 1: A = det A = det Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-3
33 Vertauschen von Spalte 2 und Spalte 4: det A = det Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-4
34 Vertauschen von Spalte 2 und Spalte 4: det A = det Zeile 3 + Zeile 2, Zeile 4 - Zeile 2: det A = det = ( 2) = 24 Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-5
In allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle.
Nachschlag:Transposition von Matrizen Sei Explizit: Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen mit Spalten d.h., spiegle in der Diagonale) m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft:
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Zusammenfassung Matrizen Transponierte: Addition: mit Skalare Multiplikation: Matrixmultiplikation: m x p m x n n x p mit ES "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor" "Determinante"
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5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
5.4 Basis, Lineare Abhängigkeit
die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Wieder ist 2 0 L i = L h + 0 1 Wir fassen noch einmal zusammen: Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbekannten hat n Rang(A)
Determinanten. Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem =. (1) y = Sei o.b.d.a a 0 und c 0. Dann ist (1) äquivalent zu. = ac ad y.
Determinanten Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem [ [ [ a b x u = (1) c d y v Sei obda a und c Dann ist (1) äquivalent zu [ [ ca cb x = ac ad y und ferner zu [ [ ca cb x ad cb y Falls
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