Multilinear heißt: linear in jedem Argument: Beispiel (1,1) Tensor

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Multilinear heißt: linear in jedem Argument: Beispiel (1,1) Tensor"

Bernd Steinmann
vor 5 Jahren
Abrufe

1 1.6 Tensoren Tensor vom Typ (k,l) = multilineare Abb. nach R x bedeutet kartesisches Produkt (geordnetes Paar) Multilinear heißt: linear in jedem Argument: Beispiel (1,1) Tensor Skalar: Type (0,0) Vektor: Type (1,0) Dualvektor: Type (0,1) Tensoren vom Type (k,l) bilden Vektoraum (Tensoren können addiert werden und mit reellen Zahlen multipliziert werden) Um Basis zu konstruieren brauchen wir neue Operation: Tensorprodukt

2 Tensorprodukt : Sei T ein (k,l) Tensor und S ein (m,n) Tensor definiere (k+m,l+n) Tensor durch Beachte, dass das Tensorprodukt nicht kommutiert: Konstruiere Basis durch alle Tensorprodukte der Basisvektoren und Basisdualvektoren In der vier-dimensionalen Raumzeit sind dies 4 k+l Basistensoren! bel. Tensor Alternative: betrachte Wirkung der Basisvektoren und dualen Basisvektoren:

3 Wirkung eines Tensor auf Satz von Vektoren und dualen Vektoren: Lorentz Trafo folgt aus dem Trafoverhalten der Vektoren und dualen Vektoren wichtiges Beispiel eines (0,2) Tensors: Metrik (inneres Produkt, Skalarprodukt) Norm: (anders als für Euklidischen Raum) Anderes Beispiel: Kronecker delta vom Type (1,1): bildet Vektoren in Vektoren und duale Vektoren in duale Vektoren ab. inverse Metrik :

4 Levi-Civita Symbol: (0,4) Tensor und sind nicht typisch: Komponenten gleich in allen Koordinatensystemen Typischer Tensor: elektromagnetischer Feldstärketensor E-dynamik Vorlesung: ist das korrekte Lorentz-invariante Objekt 1.7 Tensormanipulationen Kontraktion: Achtung:

5 Metrik: heben von Indizes inverse Metrik: senken von Indizes und damit Vorsicht: Euklidisch: Komponenten von Vektoren und Dualvektoren identisch (daher kann Gradient auch als Vektor gesehen werden) Lorentz: hier nicht!!! Symmetrien: symmetrisch in den ersten beiden Argumenten: symmetrisch in allen drei Argumenten:

6 Antisymmetrisch im ersten und dritten Argument: Vollständig (anti)symmetrisch: (anti)symmetrisch in allen Indizes (Anti)symmetrisierung: Beispiel: Symmetrisierung von nicht direkten Nachbarindizes: Übungsaufgabe:

7 Für 2 Indizes: allgemein: Normierung 1/n! so gewählt, dass Spur: und für (0,2) Tensor Spur der Metrik ist nicht = 2, sondern im Minkowski-Raum: partielle Ableitung (k,l) Tensor! (k,l+1) Tensor ist anständiger Tensor (transformiert korrekt unter Lorentztrafos), aber dies gilt nicht mehr für allgemeinere Raumzeit (mit Krümmung)! kovariante Ableitung Ausnahme: Gradient ist auf beliebigen Mannigfaltigkeit ok!

8 1.8 Maxwellsche Gleichungen bekannte Notation (19. Jahrhundert): elektrisches Feld E magnetisches Feld B Stromdichte j Ladungsdichte im flachen dreidimensionalen Raum ist die Metrik (also, ob Indizes oben oder unten stehen ist egal) Komponentenschreibweise Definiere 4-Stromvektor plus Definition von

9 Übungsaufgaben: aus wird bzw. ganz analog: aus wird bzw. Tensorgleichung: transformiert korrekt unter Lorentztrafos (kovariante Formulierung)

10 1.9 Energie und Impuls Weltlinie eines Teilchens gegeben durch Abb. R " M, M Mannigfaltigkeit (Raumzeit) parametrisierte Kurve: Eigenzeit:!!! Tangentialvektor = Vierergeschwindigkeit Vierergeschwindigkeit automatisch normiert, da verwandte Größe: Viererimpulsvektor m = Ruhemasse (unabhängig vom Inertialsystem)

11 Energie: im Ruhesystem des Teilchens (c = 1)! im bewegten System: Lorentztrafo für Teilchen mit dreier-geschwindigkeit mit kleine Geschwindigkeiten: und allg. gilt: #! mit Newton: SRT: Beispiel Lorentzkraft!"mm$t&i$n)sc,&-n.$n)/012ic,.$it$n)st3&.)$in)444

12 Das war ein einzelnes Teilchen. Nun viele Teilchen: Fluidbeschreibung!Energie-Impuls Tensor: T!" (symmetrischer (0,2) Tensor) T!" p! x " # const allg. Definition von : Fluss von Viererimpuls durch Fläche mit (später genauer: Ableitung nach der Metrik) Suchen also rel. Verallgemeinerung von Erhaltungsgrößen % t$ &'(! $ v " # 0 % t$ v &'(! $ vv &" p" # 0 (ideale Flüssigkeit) Ruhesystem: 00 T = Energiedichte $ Staub, Materie: Ansammlung von Teilchen, die relativ zueinander in Ruhe sind Geschwindigkeit dieser 526ssi1.$it7 ist U!! x" $ # mn n m = Geschwindigkeit jedes Teilchens Energiedichte im Ruhesystem, und sind 0-Komponenten eines Vektors!!! N # nu #! n$0$0$0"$ p #! m$0$0$0" Tensor p ) N : T # p N # mnu U # $ U U!"! "! "! " dust

13 ideale Flüssigkeit: Ruheenergie und isotroper Druck! im Ruhesystem rel. Verallgemeinerung: Erhaltungsgröße:

14 1.10 Klassische Feldtheorie Klassische Mechanik: kritische Punkte der Wirkung S: Lagrange-Funktion, typisch L)9):); < Euler-Lagrange Gln. L! q$ q! " Beispiel:! Feldtheorie: ersetze Wirkung nun Funktional dieser Felder: durch Raumzeit-abhängige Felder natürliche Einheiten:

15 Euler-Lagrange: Wirkung konstant unter kleinen Variationen Lagrangian Wirkung partielle Integration Randbedingungen

16 Also mit Definition der Funktionalableitung!Euler-Lagrange Beispiel: skalares Feld (Spin 0, z.b. neutrales "-Meson) und nicht Lorentzinvariant, aber Kombination

17 und damit harmonischer Oszillator (Klein-Gordon Gln.) Noch ein Beispiel: Elektromagnetismus Vektorpotential A! mit 0 * + $ * A! B # ', A" A A i Eich-Trafo invariant

18 Lagrangian Euler-Lagrange erster Term zweiter Term mit rechnen:

19 also und damit Die homogene Gln. folgt aus Symmetrie: Warum Lagrangian? Ableiten der Wirkung nach der Metrik! Energie-Impuls Tensor Skalares Feld: Maxwell: allgemeinere Fälle: speziell rel. Feldtheorien! 6. Etage Süd

20 2. Mannigfaltigkeiten 2.1 Äquivalenzprinzip Newton: und Weak Equivalence Principle (WEP): andere Form des WEP: Beschleunigung = Gravitation Die Bewegung eines frei-fallenden Körpers sind identisch in einem Gravitationsfeld und in einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem lokal, kleine Körper, kleine Testmassen (Selbstwechselwirkung) Einstein Equivalence Principle (EEP): Man kann die Existenz eines Gravitationsfeldes nicht durch lokale Experimente feststellen (Experimente umfassen Gravitation nicht). EEP WEP, EEP Feinstrukturkonstante und Massenverhältnis Protonen/Elektronen ist konstant

21 Strong Equivalence Principle (SEP): Wie EEP + Experimente umfassen Gravitation Gravitationskonstante ist konstant Info: EEP: Gravitation ist unausweichlich, keine gravitativ-neutralen Körper, daher definiere: nicht-beschleunigt = frei fallend Saturday Morning gekrümmte Raumzeit Mannigfaltigkeiten 2.2 Was ist eine Mannigfaltigkeit n-dim Mannigfaltigkeit sieht lokal aus wie Beispiele:, klar n- Sphäre, fester Radius in

22 n-torus: Riemannsche Fläche vom Geschlecht g Jede kompakte orientierbare randlose 2-dim. Mannigfaltigkeit ist Riemannsche Fläche

LieGruppe: Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur Beispiel: SO(2) identisch zu S 1 direktes Produkt zweier Mannigfaltigkeiten M und M Mannigfaltigkeiten der

23 LieGruppe: Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur Beispiel: SO(2) identisch zu S 1 direktes Produkt zweier Mannigfaltigkeiten M und M Mannigfaltigkeiten der Dimensionen n und n neue Mannigfaltigkeit M x M bestehend aus geordnetem Paar (p,p ) mit p M und p M Was ist keine Mannigfaltigkeit? Ein Punkt, der nicht lokal wie 2 R aussieht.

24 nicht glatt genug Mannigfaltigkeit mit Rand Abbildungen: zwei Mengen M,N, Abbildung genau ein Element aus N zuordnet. Verknüpfung: mit :M N, die jedem Element aus M

25 injektiv: surjektiv: jedes Element aus N hat höchstens ein Urbild jedes Element aus N hat mindestens ein Urbild Menge M: Gebiet von, Gebiet: (N), Urbild: -1 (N) Wenn Abbildung injektiv und surjektiv ist, dann existiert inverser Abb. Stetigkeit bekannt für Abb. : R Komponentenfunktionen stetig Funktion heißt C p, wenn p-te Ableitung existiert und stetig ist. C Abb.: unendlich oft differenzierbar, glatt m R n ( x) x 3 Beispiel:, unendlich of diff.bar bis auf x=0, dort nur zweimal, also C 2

26 offene Kugel: Menge aller Punkte offene Menge: Vereinigung offener Kugeln, n V R y V n n x R, x y rfürfestes y R, r R also: ist offen, wenn für jedes eine offene Kugel um y existiert, die vollständig in V liegt. Eine Karte (oder Koordinatensystem) besteht aus einer Untermenge n und einer injektiven Abb. : U R, so dass ( U ) n offen in R ist. Damit ist U offen in M. U M

27 Ein C Atlas ist eine Vereinigung von Karten 1. Die Vereinigung U M, die folgende 2 Bed. erfüllen: 2. Übergangsabb. sind C 1 : Sei U U 0. Dann bildet die Abb. Punkte in n n ( U U ) R auf eine offene Menge ( U U ) R ab, und zwar C für alle,. U, Eine C n-dim. Mannigfaltigkeit ist eine Menge M mit einem maximalen Atlas, der alle kompatiblen Karten enthält. Analog wird eine C p Mannigfaltigkeit definiert.

28 Beispiele: 1. Kreis S 1 benötige zwei Karten 2. S 2 : stereographische Projektion vom Nordpol vom Südpol Übergangsabb. für -1 < x 3 < +1

Ähnliche Dokumente

. Name motiviert durch (hängt von Einbettung in höher dimensionalen Raum ab) folgendes Bild:

. Name motiviert durch (hängt von Einbettung in höher dimensionalen Raum ab) folgendes Bild: 1.4 Vektoren Jeder Vektor (Vierer-Vektor) lebt an einem bestimmten Punkt der Raumzeit. Dieser lässt sich bei Krümmung nicht einfach verschieben. Betrachte deshalb Menge alle Vektoren an einem Punkt p =