Klassische und relativistische Mechanik

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1 Klassische und relativistische Mechanik Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und relativistische Mechanik Anmeldezahlen Modulprüfung Online-Anmeldung Physik: 29 Wirtschaftsphysik: 19 Im Studiensekretariat (oder auch nicht) Alle Lehramtsstudierenden, die die Klausur als Orientierungsprüfung benötigen (also alle)

3 Seite 3 Physik Klassische und relativistische Mechanik Lösen von Aufgaben, Fragen nächster Termin: Freitag, den

4 Seite 4 Physik Klassische und relativistische Mechanik Harmonische Schwingung Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems F = kx = ma = m d 2 x dt 2

5 Seite 5 Physik Klassische und relativistische Mechanik Harmonische Schwingung Frequenzen werden in Hertz Hz = 1/s gemessen. Die Kreisfrequenz ω hängt über ω = 2πν mit der Frequenz ν zusammen. Die Kreisfrequenz hat die gleiche Einheit, darf aber nicht mit der Frequenz verwechselt werden. x = A cos (ωt + δ) A ist die Amplitude der Schwingung ω die Kreisfrequenz δ die Phase

6 Seite 6 Physik Klassische und relativistische Mechanik Harmonische Schwingung Ist die Beschleunigung eines Gegenstandes proportional zu seiner Auslenkung und dieser entgegengesetzt, so führt der Gegenstand eine einfache harmonische Schwingung durch. v = dx = Aω sin (ωt + δ) dt Die Geschwindigkeit bei t = 0 ist v(0) = Aω sin δ. Da von den drei die Schwingung bestimmenden Grössen zwei, A und ω unbekannt sind, reicht die Kenntnis der Position zur Zeit t = 0 und der Geschwindigkeit zu dieser gleichen Zeit aus, um die Schwingungsform zu bestimmen.

7 Seite 7 Physik Klassische und relativistische Mechanik Harmonische Schwingung Die Beschleunigung ist a = d 2 x dt 2 = Aω2 cos (ωt + δ) ( ) ( ) k k a = x = A cos (ωt + δ) Aω 2 cos (ωt + δ) m m ω 2 = k m

8 Seite 8 Physik Klassische und relativistische Mechanik Harmonische Schwingung Damit sind die Frequenz ν und die Schwingungsdauer T 0 ν = 1 k 2π m m T 0 = 2π k Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Amplitude ab (lineares System).

9 Seite 9 Physik Klassische und relativistische Mechanik Kreisbewegung und harmonische Schwingungen Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einer Schwingung

10 Seite 10 Physik Klassische und relativistische Mechanik Energiebilanz E pot (t) = 1 2 kx 2 (t) E kin (t) = 1 2 mv 2 (t) E ges (t) = const = E kin (t) + E pot (t) = 1 2 mv 2 (t) kx 2 (t) E pot (t) = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + δ) E kin (t) = 1 2 ma2 ω 2 sin 2 (ωt + δ) = 1 2 ka2 sin 2 (ωt + δ) mit ω 2 = k/m

11 Seite 11 Physik Klassische und relativistische Mechanik Energiebilanz E ges (t) = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + δ) ka2 sin 2 (ωt + δ) = 1 [ ] 2 ka2 sin 2 (ωt + δ) + cos 2 (ωt + δ) = 1 2 ka2 unabhängig von t. Der Energieinhalt eines harmonischen Oszillators pendelt zwischen zwei Energiereservoirs, hier der kinetischen und der potentiellen Energie, hin und her. Immer dann, wenn in einem System zwei Energiereservoirs gekoppelt sind und Energie zwischen ihnen ausgetauscht wird, ist das System ein Oszillator.

12 Seite 12 Physik Klassische und relativistische Mechanik Energiebilanz Die kinetische und die potentielle Energie können mit dem Winkel der momentanen Phase Θ = ωt + δ wie folgt geschrieben werden: E pot (t) = E ges cos 2 Θ = 1 E ges (1 + cos 2Θ) 2 E kin (t) = E ges sin 2 Θ = 1 E ges (1 cos 2Θ) 2 Damit ist auch sofort klar, dass die Mittelwerte sind. E pot = E kin = 1 2 E ges

13 Seite 13 Physik Klassische und relativistische Mechanik Phasenbild v(t)/(aω) Phasenbild x(t) = A cos(ω t) v(t) = ωa sin(ω t) p(t) = m v(t) gegen x(t) Fläche x(t)/a Phasenbild eines harmonischen Oszillators h = p x = m v x Die Einheit dieses h ist kg m s m = m2 kg s 1 = J s.

14 Seite 14 Physik Klassische und relativistische Mechanik Feder-Masse-Pendel Schwingendes System im Schwerefeld

15 Seite 15 Physik Klassische und relativistische Mechanik Feder-Masse-System Wir wissen, wie wir ein Feder-Masse-System berechnen müssen, wenn wir die Koordinate x = x x 0 verwenden. Da die beiden Koordinatensysteme x und x sich nur um eine Konstante unterscheiden, sind die ersten Ableitungen dx dt = dx dt und die zweiten Ableitungen d 2 x = d 2 x gleich. dt 2 dt 2 m d 2 x dt 2 = k ( x + x 0 ) + mg = kx kx 0 + mg = kx x (t) = A cos (ωt + δ) E pot,f = 1 2 k ( x + x 0 ) kx 2 0 = 1 2 kx 2 + kx x 0 = 1 2 kx 2 + mgx E pot = E pot,f + E pot,g = 1 2 kx 2 + mgx mgx = 1 2 kx 2

16 Seite 16 Physik Klassische und relativistische Mechanik Mathematisches Pendel im Schwerefeld Mathematisches Pendel im Schwerefeld

17 Seite 17 Physik Klassische und relativistische Mechanik Mathematisches Pendel im Schwerefeld s = Lφ d 2 s dt 2 = g sin φ = g sin s L d 2 s dt 2 = g s L = g L s d 2 s dt 2 = ω2 s deren Lösung s(t) = s 0 cos (ωt + δ) bekannt ist T = 2π ω = 2π L g

18 Seite 18 Physik Klassische und relativistische Mechanik Physikalisches Pendel Physikalisches Pendel. A ist der Aufhängungspunkt, S der Massenmittelpunkt.

19 Seite 19 Physik Klassische und relativistische Mechanik Physikalisches Pendel M = Iα = I d 2 φ dt 2 d 2 φ dt 2 + mgd sin φ = 0 I d 2 φ dt 2 + ω2 φ = 0 T = 2π ω = 2π I mgd

20 Seite 20 Physik Klassische und relativistische Mechanik Torsionspendel M = Dφ = I d 2 Iφ dt 2 I T = 2π D Torsionspendel (analog zur Gravitationswaage)

21 Seite 21 Physik Klassische und relativistische Mechanik Bewegung um Gleichgewichtspunkte E pot (x) = E pot (x 0 )+ de pot(x) dx (x x 0 )+ 1 x0 2 ( ) Gleichgewichtspunkt = 0. x0 de pot (x) dx d 2 E pot (x) dx 2 (x x 0 ) 2 + x0 Die Steigung der Kraft-Distanz-Kurve im Gleichgewichtspunkt x 0, die Federkonstante k, ist durch die zweite Ableitung gegeben. 0 = m d 2 x dt 2 + d 2 E pot (x) dx 2 (x x 0 ) x0 0 = de pot(x) dx x0

22 Seite 22 Physik Klassische und relativistische Mechanik Bewegung um Gleichgewichtspunkte ν = 1 1 2π m d 2 E pot (x) dx 2 Daraus folgt für die Periodendauer T = 2π m d 2 E pot (x) dx 2 x0 x0

23 Seite 23 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung F D = bv kx bv = m dv dt Für kleine Dämpfungen ist die neue Resonanzfrequenz ω in der Nähe von ω 0. Mit jeder Schwingung nimmt die Energie E tot = E pot (x max ) = E kin (v max ) = 2 E kin = mv 2 = m v 2 in einer definierten Zeiteinheit um einen bestimmten Betrag ab. Diese Leistung ist P = de tot dt = F D v = bv 2

24 Seite 24 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung Wenn wir v 2 durch v 2 = E tot m ersetzt, bekommt man de tot = b dt m E tot Der Energieinhalt eines gedämpften Oszillators nimmt also exponentiell ab. Die relative Abnahme der Energie ist für alle Zeiten gleich. de tot = b E tot m dt ln E tot (t) = b m t + C E tot (t) = e (b/m)t+c = e C e (b/m)t = E 0 e (b/m)t Wir haben E 0 = e C gesetzt.

25 Seite 25 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung Mit der Zeitkonstante τ = m/b bekommen wir E = E 0 e (b/m)t = E 0 e t/τ Der Energieverlust pro Periode T 0 ist E tot E tot = b m T 0 Man charakterisiert die Dämpfung eines schwingungsfähigen Systems oft durch die Güte Q. Wenn der Energieverlust pro Periode E tot ist, gilt Q = 2π E tot E tot

26 Seite 26 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung Der Q-Faktor ist umgekehrt zum relativen Energieverlust pro Periode Es gilt auch E tot E tot = 2π Q Q = 2π E tot = 2π m = 2π τ E tot bt 0 T 0 Da die Energie des Oszillators proportional zum Quadrat der Amplitude ist (E tot = 1 2 kx max 2 = 1 2 ka2 gilt für die Abnahme der Amplitude E tot E 0 = A2 A 2 0 = e t/τ

27 Seite 27 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung A = A 0 e t/(2τ) Zur Lösung der Schwingungsgleichung machen wir den komplexen Ansatz x(t) = A 0 e iωt und setzen ein. Mit k/m = ω0 2 bekommen wir 0 = mẍ + bẋ + kx = ẍ + b m ẋ + ω2 0 x = ω 2 A 0 e iωt iωa 0 e iωt + ω 2 0 A 0e iωt = ω 2 0 ω2 iω b m

28 Seite 28 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung Dies ist eine quadratische Gleichung in ω. Die Lösungen sind ω 1, 2 = i b m ± b 2 = i 2m b2 m 2 +4ω2 0 ω 2 0 b2 4m 2 Es gibt drei Lösungen b i 2m ω0 2 b2 b ω 1, 2 = i ( ) b i 2m ± b 2 ω 2 4m 2 0 4m 2, für ω 0 > b 2m, für ω 0 = b (unterkritische Dämpfung); 2m (kritische Dämpfung); 2m, für ω 0 < 2m b (überkritische Dämpfung).

29 Seite 29 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung Bei ω = ω 0 haben wir bis jetzt nur eine Lösung. In den anderen Fällen haben wir jeweils das ±. Die entsprechenden Lösungsfunktionen sind e b 2m t ( A 0, 1 e it ω 2 0 b2 4m 2 + A it ω0 2 b2 4m 2 0, 2 x(t) = (A 0, 1 + A 0, 2 t) e b ( e b 2m t A 0, 1 e t b 2 4m 2 ω2 0 + A 0, 2 e t ), für ω 0 > b 2m ; 2m t, für ω 0 = 2m b ; b 2 4m 2 ω2 0 ), für ω 0 < b 2m.

30 Seite 30 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung Wir testen noch, dass für ω 0 = b/(2m) die Lösung stimmt. Für diesen Spezialfall lautet die Differentialgleichung 0 = ẍ + 2ω 0 ẋ + ω 2 0x = 2ω 0 A 0, 2 e ω 0t + ω 2 0 (A 0, 1 + A 0, 2 t) e ω 0t +2ω 0 A 0, 2 e ω 0t 2ω 2 0 (A 0, 1 + A 0, 2 t) e ω 0t +ω 2 0 (A 0, 1 + A 0, 2 t) e ω 0t = 2ω 0 A 0, 2 + ω 2 0 (A 0, 1 + A 0, 2 t) +2ω 0 A 0, 2 2ω 2 0 (A 0, 1 + A 0, 2 t) + ω 2 0 (A 0, 1 + A 0, 2 t) = ω 2 0 [A 0, 1 + A 0, 2 t 2 (A 0, 1 + A 0, 2 t) + A 0, 1 + A 0, 2 t] = 0 +ω 0 [ 2A 0, 2 + 2A 0, 2 ]

31 Seite 31 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gedämpfte Schwingung Die Lösung der Schwingungsgleichung für den gedämpften Oszillator im Falle der unterkritischen Dämpfung ist x(t) = A 0 e (b/(2m))t cos(ω t + δ) ( ) 2 b ω = ω 0 1 = ω mω 0 4Q 2 Wenn die Dämpfung den kritischen Wert b k = 2mω 0 übertrifft, schwingt das System nicht mehr. Für b = b k nennt man das System kritisch gedämpft. Für b > b k ist es überkritisch gedämpft und für b < b k unterkritisch gedämpft. Zum Beispiel verwendet man in Autos geschwindigkeitsproportionale Stossdämpfer um eine kritische Dämpfung zu erreichen. Sind die Stossdämpfer alt, wird die Dämpfung der Fahrzeugschwingungen, z.b. durch Bodenwellen angeregt, unterkritisch und man fliegt von der Strasse.

32 Seite 32 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Zwei mathematische Pendel im Abstand d mit jeweils der Länge L sind mit einer masselosen Feder der Ruhelänge d und der Federkonstante k gekoppelt.

33 Seite 33 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Wenn das linke Pendel um φ 1 und das rechte Pendel um φ 2 ausgelenkt wird (in beiden Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge der Feder um d = l (sin φ 1 sin φ 2 ) l(φ 1 φ 2 ) für kleine Auslenkungen. Deshalb ist die Kraft, die auf das linke Pendel ausgeübt wird F F,1 = k d kl(φ 1 φ 2 ) Entsprechend ist die Kraft auf das rechte Pendel F F,2 = k( d) kl(φ 1 φ 2 )

34 Seite 34 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Diese Kräfte entsprechen den Drehmomenten T F,1 = lf F,1 = kl 2 (φ 1 φ 2 ) T F,2 = lf F,2 = kl 2 (φ 1 φ 2 ) Die durch die Gravitation hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind T G,1 = Lmg sin φ 1 Lmgφ 1 T G,2 = Lmg sin φ 2 Lmgφ 2 Wir beachten, dass für eine Punktmasse m an einem masselosen Faden der Länge L das Trägheitsmoment I = ml 2 ist und erhalten die linearisierte Momentengleichung I φ 1 = ml 2 φ 1 = Lmgφ 1 kl 2 (φ 1 φ 2 ) I φ 2 = ml 2 φ 2 = Lmgφ 2 + kl 2 (φ 1 φ 2 )

35 Seite 35 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Wir teilen durch ml 2 und schreiben in Matrizenform ( ) ( φ 1 g = L kl + kl ) ( ml φ 2 ml 2 φ1 2 + kl ml 2 g L kl ml 2 Wir nehmen an, dass beide Pendel mit der gleichen Frequenz ω schwingen. Wir setzen also an Eingesetzt bekommen wir φ 1 (t) = φ 1,0 e iωt φ 2 (t) = φ 2,0 e i(ωt+δ) ω 2 φ 1,0 e iωt = g m φ 1,0e iωt kl2 ml 2 (φ 1,0e iωt φ 2,0 e iωt e iδ ) ω 2 φ 2,0 e iωt e iδ = g L φ 2,0e iωt e iδ + kl2 ml 2 (φ 1,0e iωt φ 2,0 e iωt e iδ ) φ 2 )

36 Seite 36 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Wir teilen durch e iωt ω 2 φ 1,0 = g L φ 1,0 kl2 ml 2 (φ 1,0 φ 2,0 e iδ ) ω 2 φ 2,0 e iδ = g L φ 2,0e iδ + kl2 ml 2 (φ 1,0 φ 2,0 e iδ ) Wir stellen die Gleichung um und sortieren nach den beiden unbekannten φ 1,0 und φ 2,0 e iδ. ] φ 1,0 kl2 ml 2 φ 2,0e iδ 0 = [ ω 2 gl kl2 + + ml 2 0 = kl2 ml 2 φ 1,0 + [ ω 2 gl kl2 + + ml 2 ] φ 2,0 e iδ

37 Seite 37 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Wir verwenden die folgenden Abkürzungen A = ω 2 + g L + kl2 ml 2 B = kl2 ml 2 y = φ 1,0 z = φ 2,0 e iδ und müssen damit die Gleichung lösen. 0 = Ay Bz 0 = By + Az

38 Seite 38 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Wir multiplizieren die erste Gleichung mit B und die zweite mit A und bekommen 0 = ABy B 2 z 0 = ABy + A 2 z und addieren die Gleichungen. Damit wird 0 = z(a 2 B 2 ) Damit diese Gleichung für alle y eine Lösung ist, muss A 2 = B 2 sein. Diese Bestimmungsgleichung für ω hat zwei Lösungen A 1 = B A 2 = B

39 Seite 39 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen ω g L + kl2 ml 2 = kl2 ml 2 ω g L + kl2 ml 2 = kl2 ml 2 Wir vereinfachen diese beiden Gleichungen und lösen nach ω i auf ω 2 1 = g L ω 2 2 = g L + 2 kl2 ml 2 = ω kl2 ml 2

40 Seite 40 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Wenn wir y = φ 1 als Vorgabe nehmen und die Gleichung z = A i B y lösen, bekommen wir die Amplitude des zweiten Pendels. φ 2,0,1 e iδ 1 = ω2 1 + g L + kl2 ml 2 kl 2 ml 2 φ 1,0 = g L + g L + kl2 ml 2 kl 2 ml 2 φ 1,0 = φ 1,0 φ 2,0,2 e iδ 2 = ω2 2 + g L + kl2 ml 2 kl 2 ml 2 φ 1,0 = g L 2 kl2 ml 2 + g L + kl2 ml 2 kl 2 ml 2 φ 1,0

41 Seite 41 Physik Klassische und relativistische Mechanik Gekoppelte Schwingungen Die beiden Lösungen haben die folgenden Charakteristika Lösung 1 Es ist φ 2,0,1 = φ 1,0 und δ 1 = 0. Die beiden Pendel schwingen in Phase mit der gleichen Resonanzfrequenz wie ein einzelnes Pendel. Die Feder wird nicht gedehnt. Ob sie vorhanden ist oder nicht, ist nicht relevant. Lösung 2 Es ist φ 2,0,2 = φ 1,0 und δ 2 = π. Die beiden Pendel schwingen gegenphasig mit einer höheren Resonanzfrequenz als die, die ein einzelnes Pendel hätte. Die Feder wird periodisch gedehnt und gestaucht.

42 Seite 42 Physik Klassische und relativistische Mechanik Wellen Reflexion einer Seilwelle wenn das Ende an der Wand eingespannt ist

43 Seite 43 Physik Klassische und relativistische Mechanik Wellen Reflexion einer Seilwelle wenn das Ende lose befestigt ist.

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