Abtastung. Normalisierte Kreisfrequenz = DSP_9-Abtasttheorem 2

Transkript

1 Abtasttheorem

2 Abtastung xn [ ] = xnt ( ) = Acos( ωnt+ ϕ) = Acos( ωˆ n+ ϕ) s s Normalisierte Kreisfrequenz ωˆ = ωt s DSP_9-Abtasttheorem 2

3 Normalisierte Kreisfrequenz ω hat die Einheit rad/sec, ω ˆ = ωt hat die Einheit rad, d.h. ω ˆ ist eine dimensionslose Größe! Nachdem x(t) abgetastet wurde, geht die Zeitachse verloren. Das zeitdiskrete Signal ist lediglich eine Folge von Zahlen, diese Folge hat keine Information über die Abtastperiode. Zur Rekonstruktion in den Zeitbereich muß die Abtastfrequenz bekannt sein! In anderen Worten: Eine unendliche Anzahl von kontinuierlichen Sinussignalen kann in die identische diskrete Sinusdarstellung transformiert werden. DSP_9-Abtasttheorem 3

4 Amplitude Amplitude Amplitude Anzahl der Abtastpunkte Zeit t Index Index DSP_9-Abtasttheorem 4

5 Darstellung der Abtastung Signals f(t) wird einer Folge von Einheitsimpulsen δ T (t) im Abstand von T Sekunden (dem Abtastabstand) multipliziert. fs() t = f() t δt() t = f( kt)( δ t kt) Die Impulsfolge ist eine periodische Funktion und kann daher in eine Fourierreihe zerlegt werden. k 1 δt() t = [1+ 2cosωst + 2cos2ωst + 2cos3 ωst +... T DSP_9-Abtasttheorem cos kω t] ( k ) s

6 1 Ts /2 jkωst Dk = δ () Ts /2 T t e dt = T s 1 T 1 jkω 2 st π δt( t) = e ωs = T T s k = 1 δt( t) = [1 + 2cosωst+ 2cos 2ωst+ 2cos3 ωst kcos kωst] T s (reelle Darstellung!) ( k ) s s 1 x 1/T s.5 komplexe Darstellung! DSP_9-Abtasttheorem 6

7 Abgetastetes Signal f = δ = 1 S() t ft () T() t [ ft () + 2 ft ()cosωst+ 2 ft ()cos2 ωst+...] T cos( ωt)cos( ω = 1 st) cos( ωs + ω) t + cos( ωs ω) t 2 [ ] ( ω ± ω ) Aus jeder Spektralkomponente entsteht! s DSP_9-Abtasttheorem 7

8 1 fs() t = f() t δt() t = [ f()cos t t+ 2 f()cos t ωst+ 2 f()cos2 t ωst+...] T z.b. : f () t = cos ω t 1 cos( ωt) cos( ωst) = cos( s ω) + cos( ωs + ω) 2 [ ω t t] ω ω DSP_9-Abtasttheorem 8

9 Spektrum des abgetasteten Signals f() t F( ω) 1 f()cos t ωst [ F( ω ωs) + F( ω+ ωs)] 2 F( ω); F( ω 2 ω ), F( ω+ 2 ω ); F( ω 3 ω ), F( ω+ 3 ω );... 1 Fs( ω) = F( ω nωs) T s n= s s s s Das Spektrum des abgetasteten Signals setzt sich periodisch im Abstand DSP_9-Abtasttheorem ω 9 s fort.

10 Das Spektrum des Orginalsignals f(t) ist im Spektrum des abgetasteten Signals f s (t) enthalten und kann aus F s (ω) durch "Herausschneiden" mit einem idealen Tiefpassfilter fehlerfrei wieder hergestellt werden. DSP_9-Abtasttheorem 1

11 Abstand der Spektren hängt von der Abtastfrequenz ab. DSP_9-Abtasttheorem 11

12 Shannon Sampling Theorem Ein kontinuierliches Zeitsignal x(t) mit Frequenzen f max kann exakt von den Abtastwerten x[n] = x(nts) rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate f s = 1/T s größer als 2 f max ist. DSP_9-Abtasttheorem 12

13 Spektrum der abgetasteten Sinusfunktion Abtastfrequenz = 9 Hz -1 Hz periodisch fortgesetzt 1 Hz periodisch fortgesetzt f = 1 Hz! Aliasing DSP_9-Abtasttheorem 13

14 Abtastfrequenz = 11 Hz 1 Hz periodisch fortgesetzt -1 Hz periodisch fortgesetzt f = 1 Hz! Folding DSP_9-Abtasttheorem 14

15 Abtastfrequenz = 25 Hz 1 Hz periodisch fortgesetzt -1 Hz periodisch fortgesetzt f = 1 Hz Selektivität des Filters DSP_9-Abtasttheorem 15

16 Abtastfrequenz = 35 Hz 1 Hz periodisch fortgesetzt -1 Hz Selektivität des Filters kann geringer sein. DSP_9-Abtasttheorem 16

17 Aliasing (1) xt ( ) = Acos(2 πft+ φ) liefert das abgetastete Signal xn [ ] = xnt ( ) = Acos(2 πft+ φ) s Wir betrachten eine zweite cos-funktion mit der selben Amplitude und Phase, aber mit der Frequenz f + lf l s ist eine Ganzzahl und f = 1/ T yt () = Acos(2 π( f + lf) t+ φ) bzw. yn [ ] = ynt ( ) = Acos(2 π( f + lf) nt+ φ) s s s s = Acos(2πf T + 2 πlf T + φ) = Acos(2πf T + 2 πl+ φ) = Acos(2π f T + φ ) = xn [ ] s s s s s s DSP_9-Abtasttheorem 17 s

18 Aliasing (2) y[ n] hat dieselben Abtastwerte wie x[ n] und ist daher von xn [ ] nicht unterscheidbar! l ist eine beliebige ganze Zahl, es gibt daher eine unendliche Zahl von Kosinusfunktionen, die alle dieselbe Folge haben wie x[ n]. Die Frequenzen f + lf nennt man Aliasfrequenzen von f für die Abtastfrequenz f. s o s o DSP_9-Abtasttheorem 18

19 Folding Die zeite Ursache für Aliassignale kommt von negativen Frequenzkomponenten f + lf : wt () = Acos(2 π( f + lf) t φ) bzw. wn [ ] = wnt ( ) = Acos(2 π( f + lf) nt φ) s s s s = Acos( 2πf T + 2 πlf T + φ) s s s s = Acos( 2πf T + 2 πl φ) = Acos(2 πf T + φ) = x[ n] s s DSP_9-Abtasttheorem 19

20 Rekonstruktion/Interpolation Umsetzung diskret => kontinuierlich yt () = ynpt [ ] ( nts ) n= pt ( ) charakteristische Impulsform des Konverters. DSP_9-Abtasttheorem 2

21 Interpolation im Zeitbereich konstant linear interpoliert DSP_9-Abtasttheorem 21

22 1 x 4 x DSP_9-Abtasttheorem 22

23 Interpolation im Frequenzbereich DSP_9-Abtasttheorem 23

24 Ideale Filterung Um das Orginalsignal aus dem periodischen Spektrum zu rekonstruieren, bedarf es eines Filters mit exakt rechteckigem Frequenzgang (ideales Filter) Das Eingangssignal des idealen Filters ist die Impulsfolge des abgetasteten Signals. Das Ausgangssignal ist die Überlagerung der zeitversetzten, gewichteten Impulsantworten. DSP_9-Abtasttheorem 24

25 h(t) Impulsantwort ideales Filter 1 ω < 2πB H ( ω) = ω 2πB 1 2π B jωt h() t = e dω 2 BT sinc 2 Bt 2π = 2π B T ( π ) H(ω) -2 πb ω 2πB 1-4/2B -3/2B -2/2B -1/2B Zeit t 1/2B 2/2B 3/2B 4/2B DSP_9-Abtasttheorem 25

26 Das Ausgangssignal ist die Überlagerung der zeitversetzten, gewichteten Impulsantworten. f() t f( kt) h( t kt ) f( kt)sinc 2π Bt kπ = = k k ( ) DSP_9-Abtasttheorem 26

27 Während die Rekonstruktion des Signal durch Rechteck- und Dreiecksimpulse nur eine ungenaue Wiedergewinnung des Signal ermöglichte, stellt die Rekonstruktion durch überlagerte und gewichtete sinc-pulse das Signal fehlerfrei her. Wie wir sehen, ist die Impulsantwort eines idealen Filters nicht-kausal, d.h. das Filter antwortet bereits vor dem Anlegen des Impulses. Nichtkausale Filter sind nicht realisierbar! DSP_9-Abtasttheorem 27

28 Interpolationsfilter (1) Ideale (analoge) Tiefpass-Filter sind nicht-kausal und daher nicht realisierbar. Eine praktische Lösung dieses Problems wird dadurch gefunden, dass das Signal mit Abtast-frequenzen größer als der Nyquist-Frequenz abgetastet wird. Damit entstehen Lücken im periodisch fortgesetzten Spektrum und die Anforderungen an die Flankensteilheit des Filters werden geringer. DSP_9-Abtasttheorem 28

29 Interpolationsfilter (2) Man kann zwar steilflankige analoge Filter mit hoher Dämpfung im Sperrbereich bauen, es ist aber nicht möglich Filter zu realisieren, die die Signale im gesamten Sperrbereich vollständig unterdrücken. Man erreicht eine praktisch ausreichende Unterdrückung, aber nie die theoretische geforderte vollständige Ausblendung des Sperrbereichs. Jedes praktische Signal ist von endlicher Länge. Wie wir von der Fourier-Transformation wissen, hat ein Signal endlicher Länge eine unendlich breites Spektrum. DSP_9-Abtasttheorem 29

30 Kein Signal kann gleichzeitig zeitbegrenzt und bandbegrenzt sein! Ist das Signal zeitbegrenzt (hat es also eine endliche Dauer ), dann erstreckt sich das Spektrum von bis (ist also nicht bandbegrenzt). Ist das Signal bandbegrenzt, dann muss sich das Signal über eine unendliche Dauer im Zeitbereich erstrecken, ist also nicht zeitbegrenzt. DSP_9-Abtasttheorem 3

31 Überlappende Spektren DSP_9-Abtasttheorem 31

32 Antialiasing-Filter Um das Überlappen von Spektren zu vermeiden wird die Bandbreite von Signalen mit Antialiasing- Filtern begrenzt. DSP_9-Abtasttheorem 32

33 Digitalisierung Die Auflösung des Analog-/Digital- Wandler wird nach Qualitätskriterien ausgewählt. Für Sprachsignale reicht eine Auflösung von 8 bit aus, bei Musiksignalen auf einer Audio CD beträgt die Auflösung 16 bit. Je geringer die Auflösung des A/D- Wandlers ist, desto stärker weicht das digitale Signal vom analogen Signal ab. DSP_9-Abtasttheorem 33

34 Δ F(t) F(t) f(t) f(t) Quantisierungsfehler Zeit t Zeit t Zeit t Fehler: Δ = f(t) - F(t) Zeit t Zeit t 5 x 1-1 Fehler: Δ = f(t) - F(t) Zeit t ΔQuantisierungs- rauschen DSP_9-Abtasttheorem 34

35 Quantisierungsrauschen (1) Quantisierungsfehler Δ 1 2 LSB Bei gleichwahrscheinlichen Signalamplituden ist die mittlere Leistung des Fehlersignals (Rauschen) e e 1 Δ = s ds = Δ 12 Δ LSB = = ~.29LSB Δ /2 2 2 eff Δ/2 eff 8 bit: 1/9 12 bit: 1/ bit: 1/226. des Wertebereichs DSP_9-Abtasttheorem 35

36 Quantisierungsrauschen (2) [y,fs,nbits]=wavread('file.wav') sound(y,fs,6) % Abspielen mit 6 bit wavwrite(a,fs,nbits,'wavefile.wav') nbits = 8, 16, 32 o. 64 DSP_9-Abtasttheorem 36

37 Abtastung im Frequenzbereich Abtastung im Zeitbereich: bandbegrenzte Signale Abtastung im Frequenzbereich: zeitbegrenzte Signale DSP_9-Abtasttheorem 37

38 DSP_9-Abtasttheorem 38

39 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) Für die Berechnung der DFT gehen wir von zeitbegrenzten Signalen f(t) der Länge τ aus (a). Zeitbegrenzte Signale haben ein Spektrum F(ω) das nicht bandbegrenzt ist (b). Aus dem zeitbegrenzten Signal gewinnen wir das diskrete Signal f s (t) durch Abtastung von f(t) im Abstand T=1/F s (c). Durch die Abtastung wird das Spektrum periodisch mit der Periodendauer F s =1/T, wir erhalten das Spektrum F s (ω) (d). Die Abtastung des Spektrum im Abstand F =1/T (f) führt zur periodischen Fortsetzung des abgetasteten Zeitsignals, mit der Periode T (e). DSP_9-Abtasttheorem 39

40 Diskrete Fourier-Transformation 1 n= 1 1 f[ n] = F[ k] e N N N k = Fk [ ] = f[ ne ] jkω jkω n n DFT IDFT o T 2 N DSP_9-Abtasttheorem 4

41 Zeitbereich Frequenzbereich FR: FT: DFT: + 1 ( t) [ k] [ k] ( t) T jkωt jkωt f = F e F = f e dt k = 1 jωt jωt f ( t) = F( ω) e dω F( ω) = f( t) e dt 2π 1 f n F k e F N N 1 N 1 jk ˆ ωn jk ˆ ω [ ] = [ ] [ ] = [ ] k = n= k T f n e n ˆ ω = ωt = 2π N DSP_9-Abtasttheorem 41

42 Spektrallinien der DFT Bei der DFT können die Spektrallinien nur im Raster der Abtastung im Frequenzbereich auftreten. T f 1 = = ; z.b.: = 1 Samples:, 1, 2,..., 9 Hz 1 s N T s f Es können keine Spektrallinien außerhalb des Rasters, z.b. 15 Hz auftreten. Der DFT-Algorithmus muss die Komponente 15 Hz aus anderen Spektralkomponenten zusammensetzen! DSP_9-Abtasttheorem 42

43 j ( ˆ ω n+ ϕ) xn e n N [ ] = =,1,2,..., 1 Die N-Punkt DFT von xn [ ] ist N-1 ( ˆ ω + ϕ ) ( 2 π / ) X[k]= e e... n= j n e j N kn ( 2 π / ˆ ω ) j k N N = = jϕ 1 e = e = j( 2 πk/ N ˆ ω ) 1 e ( ˆ ) j( 2 k/ N ˆ )( N 1 )/2 sin 2 k/ N N / 2 jϕ π ω π ω = e e sin ( 2 πk/ N ˆ ω ) / 2 X[k] besteht also aus Proben der Dirichlet schen Funktion. DSP_9-Abtasttheorem 43

44 1 Time-Domain (f = 3, T = 1, f s = 8, N = 8).5 x(t) t Frequency-Domain 4 3 X(f) f Bei der Abtastung von f = 3 liefert die Dirichlet sche Funktion nur bei dieser Frequenz einen Wert. Die Kosinusfunktion DSP_9-Abtasttheoremist periodisch fortgesetzt. 44

45 1 Time-Domain (f = 2.2, T = 1, f s = 8, N = 8).5 x(t) t Frequency-Domain 4 3 X(f) f Die Frequenz f = 2.2 liegt nicht im Raster und muss daher aus anderen Frequenzen zusammengesetzt werden! Die Dirichlet sche Funktion liefert mehrere Werte. Beachten Sie die periodische Fortsetzung der Kosinusfunktion. DSP_9-Abtasttheorem 45

46 In der vorigen Darstellung haben wir das Spektrum von ( n + ) j ˆ xn [ ] = e ω ϕ berechnet. Für ein reellwertiges Signal x[n] müssen wir aber das Spektrum von ( j( ˆ ω ) ( )) n+ ϕ j ˆ ω n+ ϕ xn [ ] = e + e berechnen, d.h. X [k] für addieren. ˆω DSP_9-Abtasttheorem 46

47 1 Time-Domain (f = 2.2, T = 1, f s = 8, N = 8).5 x(t) t Frequency-Domain 4 3 X(f) f DSP_9-Abtasttheorem 47

48 Es wird immer das Spektrum der periodischen Fortsetzung ermittelt! Die periodische Fortsetzung liefert aber nur dann eine Sinus-(Kosinus-)Funktion und damit eine einzelne Spektral- Linie, wenn die Periodendauer genau in das Abtastintervall passt, d.h. nur für Spektrallinien, die auf dem Frequenzraster liegen! DSP_9-Abtasttheorem 48