Beispiel-Klausuraufgaben Digitale Signalverarbeitung. Herbst 2008

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1 Beispiel-Klausuraufgaben Digitale Signalverarbeitung Herbst 8 Zeitdauer: Hilfsmittel: Stunden Formelsammlung Taschenrechner (nicht programmiert) eine DIN A4-Seite mit beliebigem Text oder Formeln (beidseitig)

2 Aufgabe : (5 Punkte) Gegeben sind das Eingangssignal x(n): ( ) n x(n) = u(n) 4 n u( n ) und die Z-Transformation Y (z) des Ausgangssignals y(n) eines kausalen und linearen zeitinvarianten Systems: z Y (z) = ( z )( z ) a) Bestimmen Sie die zweiseitige Z-Transformation X(z) des Eingangssignals x(n). (5) b) Bestimmen Sie die Konvergenzbereiche für X(z) und Y (z). (4) c) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion H(z) und die Impulsantwort h(n) des Systems. (6) d) Zeichnen Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm und bestimmen Sie den Konvergenzbereich von H(z). (4) e) Geben Sie eine Realisierung mit minimalem Speicher für das System an. () f) Prüfen Sie die Stabilität und Minimalphasigkeit des Systems. Zerlegen Sie das System in einen Allpass und ein minimalphasiges System. Geben Sie diese beiden Systeme an. (4)

3 Aufgabe : (8 Punkte) Am Eingang eines linearen zeitinvarianten Systems mit der Impulsantwort h(n) = {, } liegt das Signal x(n) der Länge 6: x(n) = {,,,,, } a) Berechnen Sie die 6-Punkte-DFT X(k) für x(n) und H(k) für h(n). Geben Sie X(k) und H(k) für k =,,,, 4, 5 an. (8) b) Berechnen Sie die lineare Faltung y lf (n) = x(n) h(n). (4) c) Ist die zyklische Faltung y z (n) = x(n) 6 h(n) identisch mit der linearen Faltung y lf (n) = x(n) h(n)? (Begründen Sie die Antwort). Wo tritt Aliasing auf, wenn y z (n) nicht identisch mit y lf (n) ist? Geben Sie y z (n) = x (n) 6 h(n) an. (4) d) Berechnen Sie die 6-Punkte-DFT Y z (k) für y z (n). Geben Sie Y z (k) für k =,,,, 4, 5 an. () e) Nun liegt am Eingang des Systems das Signal x (n): x (n) n Das Ausgangssignal y (n) = x (n) h(n) soll berechnet werden. Welche Methode für die schnelle Faltung würden Sie wählen, wenn Sie die vorherigen Ergebnisse verwenden möchten? In wieviele Blöcke muss dafür das Eingangssignal aufgeteilt werden? Geben Sie die Signalblöcke an. Welche Länge soll die DFT bei der gewählten Methode haben? Wieviele DFT- und IDFT- Operationen sind für die Berechnung x (n) h(n) insgesamt erforderlich? Für welchen Block müssen Sie die Faltung zusätzlich berechen? Berechnen Sie für diesen Block die lineare Faltung und damit die zyklische Faltung mit der Kenntnis der Aliasingstellen. Geben Sie nun das Ergebnis der Faltung x (n) h(n) unter Verwendung des Ergebnisses aus (b) an. ()

4 Aufgabe : ( Punkte) I. Gegeben ist das Signal x(n): x(n) = + cos ( n ) a) Berechnen Sie die Fouriertransformierte X(e jω ) von x(n). Skizzieren Sie deren Betrags- und Phasenverlauf. (7) b) Das Signal x(n) wird mit einem Rechteck-Fenster w(n) abgeschnitten, um ein kürzeres Signal x (n) = w(n)x(n) zu gewinnen. { n =,..., w(n) = sonst Geben Sie die Fouriertransfomierte X (e jω ) an. Benutzen Sie dabei das Ergebnis von (a). (4) II. Am Eingang eines diskreten, linearen und zeitinvarianten Systems wird die Einheitsfolge u(n) angelegt. Am Ausgang ergibt sich die Folge: y(n) = {,, 8, 8 +, 8 + 4, , ,...} a) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Systems und zeichnen Sie das realisierende Signalflussdiagramm. (7) b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) des Systems. (4) 4

5 Aufgabe 4: (5 Punkte) Gegeben ist ein zeitkontinuierliches Signal mit folgendem Betragsspektrum X(jΩ) : X(jΩ), f/khz Durch Abtastung dieses Signals mit einer Abtastfrequenz von khz ergibt sich das Signal x (n). a) Skizzieren Sie das Betragsspektrum X (e jω ) im Bereich... und berechnen Sie die Signalenergie E = x (n). (5) n Nun soll, ausgehend vom bereits abgetasteten Signal, die Abtastfrequenz auf 6 khz reduziert werden. b) Skizzieren Sie das resultierende Betragsspektrum X 6 (e jω ), getrennt nach Signal- und Aliasingkomponente. Berechnen Sie die Energie der Aliasingkomponente. (5) Zur Reduktion der Aliasingkomponente wird nun ein Tiefpassfilter vor der Reduktion der Abtastfrequenz eingesetzt. c) Skizzieren Sie ein Toleranzschema, das in einem Durchlassbereich bis 4 khz eine maximale Abweichung von ±% aufweist und dessen Sperrbereich bei 8 khz beginnt. Wie groß ist die Breite des Toleranzbereichs im Sperrbereich, wenn die Energie der Aliasingkomponente mindestens um einen Faktor 4 reduziert werden soll? (5) Im folgenden wird ein (nicht-kausales) FIR-Filter h(n) eingesetzt, das aus einem idealen Tiefpass h (n) mit einer Grenzfrequenz von 8 khz durch Fensterung mit der Fensterfunktion w(n) entsteht: n = w(n) =, n = ± sonst d) Geben Sie h (n) im Bereich n 4 an (*). Bestimmen Sie nun die Impulsantwort h(n) und die Übertragungsfunktion H(e jω ). Erfüllt dieses Filter die Vorgaben des oben angegebenen Toleranzschemas? Überprüfen Sie dies bei den Frequenzen khz, 4 khz, 8 khz und 6 khz, () (*) Hinweis: Für den Term sin ω n n ist bei n = der Wert ω 5 zu verwenden!

6 Aufgabe : Lösung Herbst 8 a) X(z) = = = = ( ) n u(n)z n 4 n u( n )z n ( ) n u(n)z n 4 n u(n )z n ( ) n u(n)z n ( ) n u(n )z n z z z = z(7z 8) (z )(z ) b) Y (z) = z ( z )( z ) = (z )z (z )(z ) Konvergenzbereich von X(z): > z > Konvergenzbereich von Y (z): z > c) H(z) = Y (z) X(z) (z )(z ) = (7z 8)(z ) = [ + 74z + 8 ] 7 (z 8)(z ) = 7 h(n) = 7 δ(n).6 ( ) n u(n ) z 5.z + z 8 7 z ( ) n 8 u(n ) 7 d) Konvergenzbereich von H(z): z > 8 7 j Im{z} x(n) y(n) x / 8/7 x Re{z} z z 5 8 j e) Signalflussgraph in Direkte Form II: f) H(z) ist nicht stabil, da ein Pol außerhalb des Einheitkreises liegt. H(z) ist nicht stabil. Daraus folgt, dass H(z) nicht minimalphasig ist. Daher kann das System nicht in einen Allpass und ein minimalphasiges System zerlegt werden.

7 Aufgabe : Lösung Herbst 8 a) X(k) = 5 n= x(n)w kn 6 = e j k + e j k + e jk + e j 5 k W 6 = e j 6 X(k) = { 5, + j, 5 + j,, 5 j, j } H(k) = 5 n= h(n)w kn 6 = e j k H(k) = {, j, + j,, j, j } b) y lf (n) = {,,,,,, } c) Nein, da die lineare Faltung die Länge 7 und die zyklische Faltung die Länge 6 hat. Aliasing tritt an der ersten Stelle auf. y z (n) = {,,,,, } d) Y (k) = H(k)X(k) = {, 4 + j 5 4, 4 + j 7,, 4 4 j 7, 4 4 j 5 4 } e) Overlap-Save (Select-Saving) Methode Das Signal teilt sich in Blöcke der DFT-Länge 6 auf. Eine Null wird in den ersten Block eingefügt. x, (n) = {,,,,, } x, (n) = {,,,,, } x, (n) = {,,,,, } DFT Länge 6 wird verwendet. DFT für Blöcke, DFT für h(n), IDFT für Blöcke Für den ersten Block muss die zyklische Faltung noch berechnet werden. x, (n) h(n) = {,,,,,, } x, (n) 6 h(n) = {,,,,, } x, (n) h(n) = {,,,,,,,,,,,,,, }

8 Aufgabe : Lösung Herbst 8 I. a) x(n) = ( ) + cos n = ( + e j n + e j n) ( X(e jω ) = δ(ω + k) + δ(ω + k) + k= k= k= δ(ω + + k) ) X(e jω ) 5 ω φ(jω) ω b) X (e jω ) = X(e jω ) W (e jω ) = (δ(ω + k) + δ(ω + k) + δ(ω + ) + k) k= sin ω sin ω e j5ω ( sin (ω + k) = sin e j5(ω+k) (ω + k) k= + sin (ω + k) sin (ω e j5(ω + k) + sin (ω + + k) sin (ω + e j5(ω+ + k) +k) +k) )

9 II. a) y(n) = n h(n) h(n) = y(n) y(n ) i= h(n) =,, 5,, 4, 8, 6,... x(n) z z z 5 y(n) b) H(z) = n= h(n)z n = + z + 5z + = + z + 5z + 4 = + 4z z + 4 z n= n= ( ) n z n ( ) n z n 4( + z + 4 z ) 4

10 Aufgabe 4: Lösung Sommer 8 a) Skizze: X (e jω ),5 ω E = / X (e jω ) dω = /4 + /6 /6 = 75/56 b) Skizze: X 6(e jω ) Signal E alias = / X alias (e jω ) dω = /6 7/8 = 7/8,5 Aliasing ω c) Skizze: H ( e jω ),,9 δ S /4 / ω Im Sperrbereich ω ω s gilt: Y (e jω ) δ S X(e jω ) Y (e jω ) δs X(ejω ) Für eine Reduktion der Energie um einen Faktor 4 muss gelten: δ S =, 5 d) Grenzfrequenz des Tiefpassfilters: ω = 8kHz/kHz = / Idealer Tiefp.: h (n) = sin((/)n) n h(n) = w(n)h (n) = {, ;, 5 ;, } H(e jω ) =, e jω +, 5 +, e jω =, 5 +, 6 cos(ω) f = ω = : H(e j ) =, 9 f = 4kHz ω = /4 : H(e j/4 ) =, 5 +, =, 9 f = 8kHz ω = / :: H(e j/ ) =, 5 f = 6kHz ω = :: H(e j ) =, h (n) = { ; ; ; ; ; ; ; ; } 5