Ganzrationale Funktionen. 3. bis 5. Grades. Die wichtigsten Aufgabentypen. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr Stand 1.

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1 Analysis Funktionentraining Ganzrationale Funktionen. bis. Grades Die wichtigsten Aufgabentypen Alle Methoden ganz ausführlich Datei Nr. 60 Stand. Oktober 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 60 Funktionentraining Ganzrational. bis. Grades Vorwort Dieser Tet enthält Trainingsmaterial zum Thema Parabelfunktionen. Man kann die Grundlagen (nochmals) üben und die Methoden absichern. Grundlage des Ganzen ist das Lösen quadratischer Gleichungen, die man für die Nullstellen benötigt. Da es hierzu einige Spezialmethoden gibt, sollte man vor allem die Aufgabe komplett durchrechnen. Im. Teil gibt es 8 größere Aufgaben, in denen es auch um Tangenten, Schnitt einer Parabel mit einer Geraden oder einer zweiten Parabel geht, Dreiecksinhalte und auch Flächen zwischen einer Parabel und einer Geraden bzw. Parabel sind gefragt. Bei der Berechnung von Längen oder Flächeninhalten sollte man hinter jeden Zahlenausdruck die Maßeinheit LE bzw. FE schreiben. Tut man das nur im Ergebnis, dann muss man diese in Klammern setzen: (LE) bzw. (FE), sonst liegt ein Gleichheitsfehler vor. Bei der Berechnung von Streckenlängen wende ich stets einen Rechentrick an, den ich meistens rot eingefärbt habe. Durch geschicktes Ausklammern im Radikanden entstehen oft einfache Terme. Diese Methode kann man ausführlich nachlesen im Tet 00 auf Seite!!! Inhalt Aufgaben Wichtige Lösungsmethoden Lösungen Teil : 0 Kurvendiskussionen zu Funktionen. Grades 6 bis Teil : Kurvendiskussionen zu Funktionen. Grades 6 bis Teil 7 Kurvendiskussionen zu Funktionen. Grades 6 bis Alle Kurvendiskussionen sind ohne Verwendung von CAS- oder Grafik-Rechner durchgeführt. Man kann also sämtliche Rechnungen mit einem einfachen Taschenrechner verfolgen. Daher sind diese Aufgaben bestens dazu geeignet, die Methode zu trainieren. Kompliziertere Aufgaben mit CAS-Lösungen findet man im kommenden Tet 6

3 60 Funktionentraining Ganzrational. bis. Grades Wichtige Lösungsmethoden. Für die Lösung quadratischer Gleichungen gibt es verschiedene Verfahren: a) Reinquadratische Gleichung: b) Ohne Absolutglied: 9:, c) Allgemein: Ich verwende stets die Mitternachtsformel : a b c 0 hat diese Lösungen: 0 ausklammern: 0 Ein Faktor muss Null werden: 0 oder 0, b b ac d) Günstig ist a : Dann folgt im Nenner die Zahl und man kann ganz auf einen Bruch verzichten. hat also diese Lösung: b b c... b c 0 a, Die häufig angewandte so genannte p-q-formel bezieht sich nur auf die Gleichung p q 0 und führt zur Lösung, p p q. Ich werde diese Formel nie anwenden, weil sie oft weniger handliche Ergebnisse liefert, z.b. sehr oft dann, wenn der Koeffizient von Funktionenscharen. nicht sondern ein komplizierter Term ist wie bei. Gleichungen. oder. Grades kann man nur lösen, wenn Sonderfällt vorliegen: Ist kein Absolutglied vorhanden, kann man ausklammern und man erhält = 0 als erste Lösung. Der Klammerterm führt dann zu möglichen weiteren Lösungen. Ist aber ein Absolutglied vorhanden, dann sollte man eine ganzzahlige Probierlösung finden. Ist dies beispielsweise die Zahl, dann kann man den Gleichungsterm faktorisieren, d. h. man kann mittels Polynomdivision oder Horner-Schema den Faktor (-) ausklammern. Diese Methoden findet man in den Teten 6 (Polyn.div), 0 (Seite -7) bzw. 00 (Seite 0 ff.).. Eine Symmetrieuntersuchung startet man mit dem Ansatz f Treten nur gerade Eponenten auf, folgt: f f Treten nur ungerade Vorzeichen auf, folgt f f Treten gerade und ungerade Vorzeichen auf, ist f f : K ist dann symmetrisch zur y-achse. : K hat Punktsymmetrie zum Ursprung., dann schreibt man dazu: Keine Symmetrie erkennbar. Es kann dann sehr wohl noch andere Symmetriearten als die zur y-achse oder zum Ursprung geben, wie in Aufgabe. Methoden im Tet.. Die Methoden zur Kurvendiskussion findet man allgemein im Tet 0 oder speziell in 0. Dort kann man auch nachlesen, was Flachpunkte sind, und wie man sie als solche identifiziert.

4 60 Funktionentraining Ganzrational. bis. Grades. Teil: 0 Kurvendiskussionen. Grades Berechne Ableitungen, Untersuche das Schaubild auf Symmetrie, Nullstellen, Etrem- und Wendepunkte, sowie das Verhalten für. Gib die Wertmenge der Funktion an. Zeichnung! Nr. Funktion Besonderheit Seite 0 f() Punktsymmetrie zu O 6 0 f() Keine Etrempunkte, Punktsymm. zu O, 0 Krümmungsverhalten 7 0 f() 0 Nur eine Nullstelle, PSymm. zum Wendepunkt 8 0 f() 8 Doppelte Nullstelle, Krümmungsverhalten 9 0 f() 8 Doppelte Nullstelle 0 06 f() Polynomdivision / Horner-Schema 07 f() Polynomdivision / Horner-Schema 08 f() Terrassenpunkt, Newton-Verfahren 09 f() 9 Terrassenpunkt 0 f() Terrassenpunkt 6. Teil: Kurvendiskussionen. Grades Nr. Funktion Besonderheit Seite 0 f() 8 Eine doppelte Nullstelle 6 0 f() 6 Eine doppelte Nullstelle f() Zwei doppelte Nullstellen, biquadrat. Gleichung 8 0 f() Biquadratische Gleichung 9 0 f() Keine Nullstellen, biquadratische Gleichung, Krümmungsverhalten 0 06 f() 6 Eine doppelte Nullstelle 07 f() 8 Nur einen Tiefpunkt, keinen Hochpunkt, WP. 08 f() Dreifache Nullstelle: Terrassenpunkt Terrassenpunkt, Nullstellengleichung. Grades f() Lösung mittels Polynomdivision oder Horner-Schema Krümmungsverhalten 0 f() 8 8 Doppelte Nullstelle führt zu Etremstelle für Horner-Schema 6 f() 7 Dreifache Nullstelle ergibt Terrassenpunkt 8 f() Flachpunkt statt Wendepunkt 0 7 f() Keine Nullstelle. Flachpunkt als Tiefpunkt Nullstelle mit Newtonschem Näherungsverfahren f() Flachpunkt mit schräger Tangente Nullstellen mit Horner-Schema f() Symmetrie des Schaubilds zur Geraden = Schnitt der Tangente im Hochpunkt mit der Kurve

5 60 Funktionentraining Ganzrational. bis. Grades. Teil: 7 Kurvendiskussionen. Grades Nr. Funktion Besonderheit Seite 0 f() 6 Etrempunkte, Wendepunkte f() Terrassenpunkte! 7 0 f() doppelte Nullstellen 8 7 f() Terrassenpunkt 9 f() 0 Flachpunkt als Wendepunkt 0 f() Flachpunkt als Hochpunkt 60 f() ( 8)( ) 8 Terrassenpunkt

6 60 Funktionentraining Ganzrational. bis. Grades 6. Teil: 0 Kurvendiskussionen. Grades Lösung 0 f() Ableitungen: f'() f ''() f '''() Symmetrieverhalten: Da f nur ungerade Eponenten aufweist, gilt f(-) = f() d.h. das Schaubild K von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Nullstellen: Bed.: f( N) 0 N N 0 d.h. N N 0. Faktor: = 0. Faktor: N 0 d.h. N =, also, N 00, N 0,6 0 Schnittpunkte mit der -Achse:, Etrempunkte: Notwendige Bedingung: f' 0 d. h. 0, E y-koordinate: f() 8 6 Hinreichende Bedingung: f" 0 f hat also bei ein relatives Minimum und K den Tiefpunkt T ( I ). Wegen der Punktsymmetrie ist dann H (- I ) der Hochpunkt der Kurve. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: f ''() 0 0 W 0 y-koordinate: f0 0 Hinreichende Bedingung: f '''(0) 0 W 0 0 ist Wendepunkt von K. Ergebnis: Verhalten für : Da f() lim 0 hat die Klammer für den Grenzwert. Also verhält sich f für große II wie d.h. für folgt g() f und für folgt f(). Wertmenge: Weil alle ganzrationalen Funktionen stetig sind, nehmen sie alle Zwischenwerte an, d.h. alle reellen Zahlen kommen als Funktionswerte vor, d.h. die Wertmenge ist daher.

7 60 Funktionentraining Ganzrational. bis. Grades 7 Lösung 0 f() Ableitungen: 0 f'() f ''() f '''() 0 Symmetrieverhalten: Da f nur ungerade Eponenten aufweist, gilt f(-) = f(), d.h. das Schaubild K von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Nullstellen: Bedingung f Faktor: = 0 0. Faktor: Daher besitzt f nur eine Nullstelle und K nur einen Schnittpunkt mit der -Achse: N 0 0 Etrempunkte: Notwendige Bedingung: f'() f hat keine Etremwerte und somit K keine Etrempunkte. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: Hinreichende Bedingung: f '''(0) 0 Also ist W 0 0 Wendepunkt von K. Krümmungsverhalten: Der Wendepunkt ist bei = 0. f" Für < 0 ist f ''() 0 K hat Rechtskrümmung Für > 0 ist f ''() 0 K hat Linkskrümmung, Verhalten für : Da f() 0 0 lim 0 hat die Klammer für den Grenzwert Also verhält sich f für große II wie 0 W 0.. g() d.h. für folgt f und für folgt f(). Wertmenge: Weil alle ganzrationalen Funktionen stetig sind, nehmen sie alle Zwischenwerte an, d.h. alle reellen Zahlen kommen als Funktionswerte vor, d.h. die Wertmenge ist daher.