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1 Zusammenfassung der. Vorlesung Einordnung und Motivation Grundlegende Definitionen Kontinuierliches Signal Quantisiertes Signal Zeitdiskretes Signal Digitales Signal Auflösung der A/D- Umsetzer der MicroAutoBox Kontinuierliches System Abtastsystem Diskretes System Schreibweise diskreter Signale

2 Zusammenfassung der. Vorlesung Elementare diskrete Signale Einheitsimpuls, Impulsfolge Einheitssprung, Sprungfolge Energie- und Leistungssignale Eigenschaften diskreter Systeme Linearität, Zeitinvarianz, Kausalität Gewichtsfolge und Faltungssummation Differenzengleichung eines PT -Systems

3 Fourier-Analyse + = Zerlegung periodischer Funktionen in eine Reihe harmonischer Funktionen. Bestimmung und Bedeutung des Amplitudenspektrums eines Signals Bedeutung in den Bereichen Signalanalyse Schwingungstechnik Akustik

4 Fourier-Reihe Eine periodische Funktion kann in eine Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt werden. reelle Koeffizienten Reelle Fourier-Reihe a 0 f(t) = + ancos(nω 0t) + bnsin(nω0t) 2 n= [ ] Komplexe Fourier-Reihe f(t) = n= c e n jnω t 0 i.a. komplex Betrag-Phasen-Darstellung f(t) = A + A sin(nω t +ϕ ) 0 n 0 n n= reell

5 Fourier-Transformation Fourier-Transformation versus Laplace-Transformation s = σ + jω e = e e Die Fourier-Transformation ist wie die Laplace- Transformation eine Integraltransformation. Für Funktionen f(t) mit f(t) = 0 für t< 0 entspricht die Laplacetransformierte von f(t) der Fouriertransformierten von f(t)e -σt. Bereits einfache Funktionen wie z.b. die Sprungfunktion (t) erfüllen die Konvergenzbedingung der Fourier- Transformation nicht. Die Fourier-Transformation ist besser für die Analyse von Signalen geeignet. Die Laplace-Transformation ist besser für die Analyse und die Beschreibung von Systemen geeignet. st σt jωt

6 Spektrum eines kontinuierlichen Signals Was ist das Spektrum eines kontinuierlichen Signals? Das Spektrum F(jω) ist die Fourier-Transformierte der Zeitfunktion f(t). Das Spektrum gibt an, welche Frequenzen in einem Signal vorkommen und welches Gewicht sie haben. Einem periodischen Signal kann über die Fourier- Reihenentwicklung ein diskretes Amplitudenspektrum zugeordnet werden. Das Spektrum (Amplitudendichte, Phase) eines nichtperiodischen Signals ist kontinuierlich. Die Fourier-Transformation ist nur für kontinuierliche Zeitfunktionen f(t) definiert.

7 Spektrum diskreter Signale Gesucht ist eine kontinuierliche Darstellung eines zeitdiskreten Signals f(kt) Darstellung eines zeitdiskreten Signals f(kt) mit Hilfe einer Folge von Deltaimpulsen: f*(t) f(t) f(2t) f(t) Periodische Zeitfunktion T 2T 3T t Ersetzen der Dirac-Impulsfolge durch die komplexe Fourier-Reihe: ω = A 2π T

8 Fourier-Reihe einer periodischen Folge von Deltaimpulsen f(t) = δ(t kt) k= f(t) Gesucht: Komplexe Fourier-Reihe f(t) = δ(t kt) = c e k= n= n jnω t 0-3T -2T -T T 2T 3T T 2 jn t ω0 Fourier-Koeffizienten: c n = δ(t kt)e dt T T k= 2 ω = 0 2π T T 2 jnω t = δ(t) e T T 2 0 dt

9 Fourier-Reihe einer periodischen Folge von Deltaimpulsen (2) Aus der Ausblendeigenschaft des Deltaimpulses folgt: T 2 jn t ω0 c (t)e dt n = δ T T 2 = e T jnω 0 0 = T Þ Fourier-Reihe der Folge von Deltaimpulsen: δ(t kt) = k= T n= e jnω t 0

10 Spektrum diskreter Signale (2) liefert: Hierauf wird jetzt die Fourier-Transformation angewendet: Mit Hilfe des Frequenzverschiebungssatzes erhält man:

11 Spektrum diskreter Signale (3) F(j ω) Spektrum des kontinuierlichen Signals bandbegrenztes kontinuierliches Signal ω g * T F (j ω) Spektrum des abgetasteten Signals Seitenbänder Spektrum eines zeitdiskreten Signals ist periodisch mit der Periode ω A =2π/T und mit /T gewichtet

12 Abtasttheorem Periodendauer: T 0 = 0,5 s T 0 o o o o o T Frequenz: f 0 = 2 Hz Abtastintervall: T = 0,25 s Abtastfrequenz: f A = 4 Hz Þ Die abgetasteten Werte des Sinussignals sind von einem Gleichspannungssignal nicht zu unterscheiden, wenn die Abtastfrequenz doppelt so hoch ist, wie die Frequenz des Sinussignals.

13 Abtasttheorem (2)

14 Abtasttheorem (3) Beispiel: Audio-CD Frequenzbereich: Abtastfrequenz: 5 Hz 20 khz 44, khz Nyquistfrequenz f A /2 liegt 0 % über der Grenzfrequenz 20 khz Amplitudenauflösung: 6 bit (/32767=0,00003) Þ Speicherbedarf: 6 bit Hz / 8 = 76,4 KByte / s Þ 76,4 KByte / s 60 s = 0,6 MByte / Minute

15 Frequenzfaltung oder Aliasing Spektrum des kontinuierlichen Signals Spektrum des mit ω A > 2ω g abgetasteten Signals Spektrum des mit ω A < 2ω g abgetasteten Signals ω A» ω g

16 Frequenzfaltung oder Aliasing (2) Die Spektren des kontinuierlichen und des diskreten Signals stimmen offensichtlich im Intervall (-ω A /2 ω ω A /2) überein, wenn die folgenden Forderungen eingehalten werden:

17 Frequenzfaltung oder Aliasing (3) o o f (t) = -sin 2π 0,9t o o o o o o o f 2 (t) = sin 2π 0,t o o

18 Frequenzfaltung oder Aliasing (4) Verhinderung der Frequenzfaltung Bei nicht-bandbegrenzten Signalen muss man vor der Abtastung mit Hilfe eines Tiefpasses (Anti-Aliasing-Filter) Frequenzanteile ab der halben Abtastfrequenz unterdrücken oder am besten vollständig verschwinden lassen. Bei bandbegrenzten Signalen muss die Abtastfrequenz größer als das Doppelte der höchsten, im Signal vorkommenden Frequenz sein. Wenn nicht möglich, Einsatz eines Anti-Aliasing-Filters. u(t) Analoges AAF ADU u(k) Diskreter Regler y(k) DAU y(t)

19 Frequenzfaltung oder Aliasing (5) F(jω) F(jω) ω Ideales Antialiasing-Filter ω A /2 ω A /2 F(jω) ω Reales Antialiasing-Filter ω A /2 ω A /2 ω F * (jω) ω A ω A /2 ω A /2 ω A ω

20 Abtastfrequenzen in technischen Systemen Regelkreise im Kraftfahrzeug Regelkreise im Flugzeug Regelkreise in der Verfahrenstechnik CD-Audio-Aufzeichnung Signalverarbeitung mit Mikrocontroller Abtastfrequenz Hz Hz 0 Hz 44, khz bis 50 MHz

21 Beschreibung von Systemen Kontinuierliche Systeme Beschreibung mittels Differentialgleichungen Zeitdiskrete Systeme Beschreibung mittels Differenzengleichungen Beschreibung durch Übergangsfunktion h(t) und Gewichtsfunktion g(t) Beschreibung durch Übergangsfolge h(k) und Gewichtsfolge g(k)

22 Gegeben ist die DGL eines PT -Systems T y(t) + y(t) = u(t) Beispiel: Sprungantwort Ersetzen der Differentiation durch Differenzenquotienten liefert: y(k) + ay(k ) = b0u(k) mit = a T, (T + T) Gesucht die Antwort auf u(k) = (k), (y(k) = 0 für k 0) b 0 Abtastperiode = T (T + T) k = 0: y(0) = 0 = 0 k : y() = a y(0) + b u() = y(2) = ay() + b0u(2) = b0 ab 0 = 0 k 2: k 3: y(3) = a y(2) + b u(3) = 0 Þ 0 = b 0 = b a b ( a ) 0 0 = b ( a + a ) 2 0 y(k) = b ( a) k 0 i= b ( a ) i u(k) k

23 Beispiel: Sprungantwort (2) Übergangsfolge a < für T > 0 h(k) = b ( a ) k 0 i= i a = T T + T immer erfüllt! konvergiert für a <. Für T = T = erhält man a = 0,5 und b 0 = 0,5 und es ergibt sich: y(k) = h(k) = {0; 0,5; 0, 75; 0,875; } y(k) k

24 Beispiel: Sprungantwort (3) Übergangsfolgen für verschiedene Abtastperioden T y(k) = 0,5 y(k ) + 0,5 u(k ) für T= T = Übergangsfunktion h(t) für G(s) = /(+s) T = s 0.8 T = 0,5 s h(t), h(k) 0.6 T = 0,25 s Für T 0 wird die Übergangsfolge h(k) zur kontinuierlichen Übergangsfunktion h(t) T = 0, s (sec)

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