Doch beim Potenzieren gibt es eine zweite Umkehrung: das Logarithmieren.

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1 0. Logrithmen Wie die Diision die Umkehrung der Multipliktion ist, so ist ds Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzierens. b c c : b b c c b Doch beim Potenzieren gibt es eine zweite Umkehrung: ds Logrithmieren. b c c b Bsis b Logrithmus c Numerus (Argument) wird usgesprochen ls Logrithmus on c zur Bsis b oder Der Logrithmus der Bsis on c b c? Mit welcher Zhl muss potenziert werden, um c zu erhlten?? c Die Lösung (Logrithmus ) ist dnn der Eponent. 8 Gesucht ist die Zhl, mit der mn potenzieren muss, um 8 zu erhlten:? 8 weil 8, ist 8 In der Zeit or den elektronischen Rechnern htten die Logrithmen eine grosse Wichtigkeit. Mit ihrer Hilfe knn mn grosse Zhlen einfcher drstellen, ber insbesondere knn mn Multipliktionen uf Additionen und Diisionen uf Subtrktionen zurückführen. Mit dieser Zielsetzung entstnd die Logrithmentfel, ein Buch, mit dessen Hilfe mn grosse Multipliktionen einfcher rechnen konnte. Später wurde dnn ufgrund der rithmischen Gesetzmässigkeiten der Rechenschieber erfunden, der ls (mechnischer) Vorläufer heutiger Tschenrechner gelten knn. 0. Grundregel des Logrithmierens Die Umkehrung des Potenzierens gibt uns die Grundregel des Logrithmierens: c b b c Der Logrithmus ist die Frge nch dem Eponent. Beispiele ) 8 bedeutet:? 8 b) bedeutet:? c) 0 '000'000 bedeutet: 0? '000'000 6 d) 6 6 bedeutet: 6? 6 Logrithmus stmmt om Griechischen: "os" ( Wert) und "rithmos" ( Zhl). Logrithmen

2 e) bedeutet:? weil, folgt:? f) bedeutet:? weil, folgt? g) 8 bedeutet:? weil, folgt 8 8? h) 7 bedeutet: 7? 0 i) bedeutet:??? j) bedeutet:? weil, folgt? k) 9 7 bedeutet: 9? 7 weil 7 9 9, folgt? 9 9 Insbesondere gelten folgende Spezilfälle: l) weil m) 0 weil 0 n n) ( ) n weil o) weil n n p) ( ) weil q) 0? unlösbr, weil? nie 0 sein knn Logrithmen

3 0. Der 0er Logrithmus lg Beim Logrithmieren muss die Bsis immer ngegeben werden. In unserem Dezimlsystem ist die Bsis 0 deshlb etws Besonderes. Dies wird mit einem eigenen 0er Logrithmus herorgehoben. lg Logrithmus zu einer beliebigen Bsis Logrithmus zur Bsis 0 (0er Logrithmus) d.h. lg entspricht 0 lg '000 Mit welcher Zhl muss mn 0 potenzieren, um '000 zu erhlten: 0? '000 weil 0 '000, ist lg '000 ( 0 '000 ) Tschenrechner besitzen diesen 0er-Logrithmus ls eigene Tste (meist ist sie mit ngeschrieben). Nun gilt ds folgende Gesetz: oder mit der Tschenrechner-Tste: c lg lg c c c Beispiele ) 6 6 lg 6 lg b) 0 lg0 lg c) 00 lg00 lg d) 0 0 lg lg e) 0.06 lg 0.06 lg lg 0. f) lg g) 8 lg lg lg h) 9 lg In der Welt der Mthemtik ht die sog. Eulersche Zhl e ( ) ebenflls einen herusrgenden Pltz. Druf bezieht sich der Logrithmus nturlis, kurz ln ( e). Logrithmen

4 0. Rechenregeln bei Logrithmen Aus den Gesetzen zum Potenzieren lssen sich uch folgende Gesetze zum Logrithmieren bleiten. Dbei ist zu bechten, dss der Logrithmus ein Eponent ist (lso gemäss unserer Aufstellung in Kpitel 8.7. eine Rechnung uf der. Ebene). Logrithmusgesetz : Logrithmusgesetz : (u ) u + Opertion in der Bsis: Opertion uf der Eponenten-Ebene: + u u Opertion in der Bsis: : Opertion uf der Eponenten-Ebene: - Logrithmusgesetz : ( u ) u Opertion in der Bsis: Opertion uf der Eponenten-Ebene: Logrithmusgesetz : ( u) u Opertion in der Bsis: Opertion uf der Eponenten-Ebene: : Beispiele Anmerkung: Auf ds Logrithmusgesetz können wir erzichten, wenn wir die Wurzel ls Potenz schreiben und ds Logrithmusgesetz nwenden: u denn ( u) u u ) () ( ) + + b) () ( ) + + c) ( ) d) ( ) e) (0. ) ( ) + ( ) Logrithmen

5 Die Logrithmus-Rechenregeln knn mn uch on der nderen Seite her lesen. u u + u ( u ) (u ) u u ( u) oder u u u ( u ) ) + 7 ( 7) 8 b) 0 0 c) d) e) + 0 ( ) f) g) h) + ( ) + + ( ) i) + ( ) + + Logrithmen

6 0. Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen hben die Vrible im Eponenten und können wie folgt gelöst werden: Methode "Eponentenergleich" Wenn sich beide Seiten der Gleichung uf einfche Art und Weise ls Potenzen mit der gleichen Bsis schreiben lssen, ist dies eine elegnte und schnelle Lösungsmethode. Methode "Logrithmieren" Diese Lösungsmethode ist etws ufwändiger, knn ber immer ngewendet werden. D 6 Methode "Eponentenergleich" L { 6 } rechte Seite der Gleichung ls er-potenz schreiben Bsis entfernen Eponentenergleich durchführen denn es gilt: Sind zwei Potenzen mit gleicher Bsis identisch, sind uch ihre Eponenten gleich Methode "Logrithmieren" Vrinte : Grundregel nwenden 6 rithmieren gemäss Grundregel b c lg c b lg lg 6 usrechnen lg + 6 L { 6 } Vrinte : Gesetze nwenden lg 6 ( ) lg 6 rithmieren Logrithmusgesetz b ( ) lg nwenden ( ) lg lg 6 : lg lg 6 usrechnen lg + 6 b lg L { 6 } Fzit: Bei beiden Logrithmus-Vrinten gelngen wir gegen Schluss der Ausrechnung zur lg c Grundregel b. lg Ds reine Auswendiglernen dieser Grundregel ist jedoch fehlernfällig, weil Zähler und Nenner in der Formel schnell erwechselt werden können. Die Vrinte mit der Anwendung der Logrithmusgesetze ist zuerlässiger und deshlb orzuziehen. b b lg c c lg ( ) lg c b lg lg c b lg 6 Logrithmen

7 Beispiele (G ) ) 8 D Methode "Eponentenergleich" 8 rechte Seite ls er Potenz entfernen der Bsis + Methode "Logrithmieren" 8 rithmieren ( ) lg lg 8 : lg lg 8 lg usrechnen + L { } L { } b) 79 D Methode "Eponentenergleich" 79 6 rechte Seite ls er Potenz entfernen der Bsis 6 : Methode "Logrithmieren 79 rithmieren lg lg 79 : lg lg 79 lg usrechnen 6 : L { } c) 0 D Methode "Eponentenergleich" Diese Methode lässt sich hier nicht sinnoll nwenden, weil sich 0 nicht uf einfche Weise ls Potenz mit der Bsis schreiben lässt. Methode "Logrithmieren" 0 rithmieren ( ) lg lg0 : lg lg 0 usrechnen lg : L {.7 } Logrithmen 7

8 6 d) D Methode "Eponentenergleich" 6 rechte Seite ls er Potenz 6 0 entfernen der Bsis : Methode "Logrithmieren" 6 rithmieren ( 6) lg lg lg 0 ( 6) lg 0 : lg 6 0 lg usrechnen : L { } L { } e) 7 '000 D Vereinfchen: '87 7 '7 ' : Methode "Eponentenergleich" '87 7 rechte Seite ls er Potenz entfernen der Bsis Methode "Logrithmieren" '87 rithmieren ( ) lg lg '87 : lg lg '87 usrechnen lg L { 9 } + f) 6 6 '000 D Methode "Eponentenergleich" Diese Methode lässt sich hier nicht sinnoll nwenden, weil sich '000 nicht uf einfche Weise ls Potenz mit der Bsis 6 schreiben lässt. Methode "Logrithmieren" '000 rithmieren ( + ) lg 6 + ( ) lg 6 lg '000 usmultipliz. lg 6 + lg 6 + lg 6 lg 6 lg '000 lg 6 lg '000 : lg 6 lg '000 usrechnen lg : L {.9 } 8 Logrithmen

9 g) ' + Methode "Eponentenergleich" + ' (+ ) ' ' ' ls er Potenz entfernen der Bsis + 7 Methode "Logrithmieren" D ' rithmieren + lg ( + ) lg lg ' usmultiplizieren lg lg lg lg ' zusmmenfss. lg lg lg ' + ( lg ) lg lg ' + lg : lg lg ' + lg usrechnen lg 7 L { 7 } h) 00 D Methode "Eponentenergleich" ( ) rechts ls 0er Potenz 0 0 entfernen der Bsis Methode "Logrithmieren" 00 rithmieren lg + lg lg 00 usklmmern (lg + lg ) lg 00 : (lg + lg ) lg 00 usrechnen lg + lg L { } i) 8 6 D Methode "Eponentenergleich" 6 8 rechts ls er Potenz 6 ( ) ereinfchen 8 entfernen der Bsis : 9 Methode "Logrithmieren" 6 8 rithmieren lg ( 6) lg 8 usmultiplizieren lg lg 8 6 lg 8 ( lg 8) lg lg 8 6 lg 8 usklmmern (lg lg 8) 6 lg 8 : (lg lg 8) 6 lg 8 lg lg 8 usrechnen 9 L { 9 } L { 9 } Logrithmen 9

10 j) D Methode "Eponentenergleich" Diese Methode lässt sich hier nicht sinnoll nwenden, weil sich nicht uf einfche Weise ls Potenz mit der Bsis schreiben lässt. "Methode" Logrithmieren rithmieren lg lg - ( lg ) lg lg 0 usklmmern (lg lg ) 0 : (lg - lg ) 0 lg lg usrechnen 0 L { 0 } k) 7 D Methode "Eponentenergleich" Diese Methode lässt sich hier nicht sinnoll einsetzen, weil sich nicht uf einfche Weise ls Potenz mit der Bsis 7 schreiben lässt. Methode "Logrithmieren" 7 rithmieren lg 7 ( ) lg usmultiplizieren lg 7 lg lg - ( lg ) lg 7 lg lg usklmmern (lg 7 lg ) lg : (lg 7 - lg ) lg usrechnen lg 7 lg L { 7. } + l) Methode "Eponentenergleich" Diese Methode lässt sich hier nicht sinnoll einsetzen, weil sich nicht uf einfche Weise ls Potenz mit der Bsis schreiben lässt. D Methode "Logrithmieren" + rithmieren + lg lg lg ( + ) lg usmultiplizieren lg lg + lg - ( lg ) lg lg lg usklmmern ( lg lg ) lg : ( lg - lg ) lg usrechnen lg lg L {.0 } 0 Logrithmen

11 m) D \ { 0 } Eponenten ereinfchen: gleiche Bsis, + 7 Potenzregeln: ( ) ( ) Bsis entfernen und berechnen zusmmenfssen + + -, - L { } + n) '06 D + '06 usklmmern ( + ) ( ) '06 Klmmerusdruck usrechnen 6 '06 : 6 Methode "Eponentenergleich" beide Seiten ls er Potenz ( ) ereinfchen entfernen der Bsis :. Methode "Logrithmieren" rithmieren lg lg : lg lg lg usrechnen. L {. } L {. } + o) + 7 D + ( + 7 usklmmern ( - - ) + ) 7 Klmmerusdruck usrechnen. 7 :. Methode "Eponentenergleich" 8 rechts ls er Potenz entfernen der Bsis :. Methode "Logrithmieren" 8 rithmieren lg lg 8 : lg lg 8 usrechnen lg :. L {. } Logrithmen

12 0. Logrithmusgleichungen In Logrithmusgleichungen knn die Vrible wie folgt uftreten: im Numerus (Argument) des Logrithmus b Diese Aufgben lssen sich so umformen, dss sie mit Potenzieren gelöst werden können (gl. Kpitel 0..). in der Bsis des Logrithmus c b Diese Aufgben lssen sich so umformen, dss sie mit Wurzelziehen gelöst werden können (gl. Kpitel 0..). Vrible im Numerus (Argument) des Logrithmus D + D die Bsis eine positie Zhl ist, muss uch die Lösung eine positie Zhl sein. Umformen nch der Grundregel des Logrithmierens: c b usrechnen L 9 { 9 } b c Vrible in der Bsis des Logrithmus 6 D + Logrithmen sind nur zu positien Bsen definiert. Deshlb wird bei Logrithmusgleichungen, bei denen die Vrible in der Bsis des Logrithmus steht, die Definitionsmenge uf + beschränkt. 6 Umformen nch der Grundregel des Logrithmierens: 6 c b ± 6 usrechnen -, d ber D +, fällt ls Lösung weg L { } b c Logrithmen

13 0.. Logrithmusgleichungen mit der Vriblen im Numerus Logrithmusgleichungen müssen in einem ersten Schritt jeweils nch der Grundregel des b Logrithmierens umgeformt werden: c b c. Beispiele (G + ) ) D + d die Bsis eine positie Zhl ist, muss die Lösung uch positi sein Umformung 6 L { 6 } b) 6 () D + 6 () Umformung 6 6 : 08 L { 08 } c) () D + D + () Umformung : L { } d) D + Umformung L e) 9 D + 9 Umformung 9 9 L { } Logrithmen

14 0.. Logrithmusgleichungen mit der Vriblen in der Bsis Befindet sich die Vrible in der Bsis, muss die Gleichung ebenflls nch der Grundregel des Logrithmierens umgeformt werden: b c b c. Beispiele (G + ) ) D + Umformung L { } b) 6 D + D + 6 Umformung 6 ± 6-8, 8 d ber D +, fällt ls Lösung weg. L { 8 } c) ( ) 6 D + D + ( ) 6 Umformung () 6 6 : L { } d) ( ) 6 D + ( ) 6 Umformung ( ) 6 ± 6 usrechnen ± + ± + : ± + -, d ber D +, fällt ls Lösung weg L { } Logrithmen

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