m= und schneidet die y-achse im Punkt P(0/3).

Transkript

1 Aufgae (Pflichtereich 999) Eine Parael hat die Gleichung y = x 6x+, 75. Bestimme rechnerisch die Koordinaten ihres Scheitelpunktes. Berechne die Entfernung des Scheitelpunktes vom Ursprung des Koordinatensystems. Aufgae (Pflichtereich 000) Eine Parael hat die Gleichung y = x 8x+ 9. Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes. Diese Parael wird um Einheiten nach links und um,5 Einheiten nach oen verschoen. Gi die Gleichung der verschoenen Parael in der Form y = x + px+ q an. Aufgae 3 (Pflichtereich 00) Eine nach oen geöffnete verschoene Normalparael hat den Scheitelpunkt S(-3/). Der Punkt P(-5,5/ y P ) liegt auf der Parael. Berechne die Länge SP. Aufgae 4 (Pflichtereich 00) Gegeen sind eine nach oen geöffnete Normalparael mit dem Scheitelpunkt S(0/-) und eine Parael mit der Gleichung y = x + 4. Zeichne die eiden Paraeln in ein gemeinsames Koordinatensystem und erechne die Koordinaten ihrer Schnittpunkte. Aufgae 5 (Pflichtereich 003) Eine nach oen geöffnete Normalparael hat den Scheitelpunkt S(/-3). Die Gerade g hat die Steigung m = und schneidet die Parael in P(4/). Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts von Parael und Gerade. Aufgae 6 (Pflichtereich 004) Eine Parael hat die Funktionsgleichung y = x Zeichne das Schauild der Parael in ein Koordinatensystem. Die drei Schnittpunkte der Parael mit den Koordinatenachsen ilden ein Dreieck. Berechne den Umfang des Dreiecks. Aufgae 7 (Pflichtereich 005) Eine Gerade g hat die Gleichung y = x. Eine zweite Gerade g hat die Steigung m= und schneidet die y-achse im Punkt P(0/3). Der Schnittpunkt der eiden Geraden ist Scheitelpunkt einer nach oen geöffneten Normalparael p. Berechnen Sie die Gleichung der Parael. Aufgae 8 (Pflichtereich 006) Eine nach unten geöffnete Normalparael hat den Scheitel S(0/4). Eine Gerade mit der Steigung m = geht durch den Punkt P(0/). Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Parael und Gerade. Wie weit sind diese Schnittpunkte voneinander entfernt?

2 Aufgae 9 (Wahlereich 999) Eine Parael p hat die Gleichung y = x. Eine Gerade g hat die Gleichung Zeichne die Parael p und die Gerade g in ein Koordinatensystem. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von p und g. Diese Schnittpunkte liegen auf einer nach oen geöffneten Normalparael p. Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parael p. 3 =. y x+ Aufgae 0 (Wahlereich 000) Eine nach oen geöffnete Normalparael p hat den Scheitel S(-/-,5). Eine weitere Parael p hat die Gleichung y = x +, 5. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von p und p. Diese Schnittpunkte liegen auf der Geraden g. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g mit der x-achse. Aufgae (Wahlereich 00) a) Eine Parael p hat die Gleichung y = x + px+ 6 und geht durch den Punkt P(3/6). Eine Parael p hat die Gleichung y = x + c und geht durch den Punkt Q(/-). Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der eiden Paraeln. Zeichne die Paraeln in ein Koordinatensystem. ) Eine nach oen geöffnete verschoene Normalparael wird von der Geraden g in den Punkten P (/ 3) und P (6/ 8) geschnitten. Eine zur Geraden g parallele Gerade h geht durch den Punkt B(3,5/-0,75). Weise rechnerisch nach, dass B der einzige gemeinsame Punkt der Parael und der Geraden h ist. Aufgae (Wahlereich 00) Lineare und quadratische Funktionen: Ordne jedem Schauild die richtige Funktionsgleichung zu und egründe jeweils deine Entscheidung.

3 Aufgae 3 (Wahlereich 00) Eine Parael p hat die Gleichung y = x + x+ 3. Eine nach oen geöffnete Normalparael p hat den Scheitelpunkt S (4/ 3). Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden g, die durch die Scheitelpunkte der eiden Paraeln geht. Eine Gerade g ist parallel zu g und geht durch den Schnittpunkt der eiden Paraeln. Berechne die Gleichung der Geraden g. Zeichne die eiden Paraeln und die eiden Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem. Aufgae 4 (Wahlereich 003) Die Normalparael p hat die Gleichung y = x 4x+ 6. Die Normalparael p ist nach unten geöffnet und hat den Scheitel S (0/ 6). Durch die Schnittpunkte eider Paraeln verläuft die Gerade g. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden. Die Gerade ildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne die restlichen Innenwinkel und den Umfang dieses Dreiecks. Aufgae 5 (Wahlereich 004) Das Bild zeigt Paraeln und Geraden. Ordne jedem Schauild die richtige Funktionsgleichung zu. 3

4 Aufgae 6 (Wahlereich 004) Die Parael p hat die Funktionsgleichung y = x + 4x+ 6. Verschiet man diese Parael um drei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach unten, entsteht die Parael p mit dem Scheitelpunkt S. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts Q der eiden Paraeln. Durch S und Q verläuft die Gerade g. Die Gerade h verläuft parallel zur Geraden g und geht durch den Scheitelpunkt S der Parael p. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden h. Aufgae 7 (Wahlereich 005) Eine Parael p hat die Gleichung y = x + 4x+. Durch den Scheitelpunkt der Parael und durch den Punkt P(6/5) geht die Gerade g. Berechne die Gleichung der Geraden g. Eine zweite nach oen geöffnete Normalparael p hat den Scheitelpunkt S (3/ ys). Er liegt auf der Geraden g. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts A eider Paraeln. Durch den Schnittpunkt A verläuft eine zu g parallele Gerade g. Die Gerade g schneidet die Parael p in einem weiteren Punkt. Berechne dessen Koordinaten. Aufgae 8 (Wahlereich 006) Eine nach oen geöffnete Normalparael p und eine Gerade g schneiden sich in den Punkten A(/5) und B(6/-3). Berechne die Gleichungen von Parael und Gerade. Die Gerade g ist parallel zur Geraden g und geht durch den Scheitelpunkt der Parael. Die Koordinatenachsen ilden mit g ein Dreieck. Berechne den Umfang und die Innenwinkel dieses Dreiecks. 4

5 Lösung Aufgae (Pflichtereich 999) Paraelgleichung in Normalform: y = x 6x+, 75 Umformung in Scheitelform: y = (x 3) 9+,75 y = (x 3) 6, 5 Scheitelpunkt: S(3/-6,5) Astand d von Scheitelpunkt zum Ursprung O(0/0) des Koordinatensystems mit Pythagoras: d = (3 0)² + ( 6,5 0)² = 48, 065 6,93 Längeneinheiten Lösung Aufgae (Pflichtereich 000) Berechnung des Scheitelpunktes der Parael: y = x 8x+ 9 y = (x 4) 6+ 9 y = (x 4) 7 Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(4/-7). Die verschoene Parael (um nach links und,5 nach oen) esitzt den Scheitelpunkt S*(/-4,5). Diese neue Parael esitzt die folgende Paraelgleichung: y = (x ) 4,5 y = x 4x+ 4 4,5 y = x 4x 0,5 Lösung Aufgae 3 (Pflichtereich 00) Die Normalparael esitzt den Scheitelpunkt S(-3/). Daraus ergit sich die Paraelgleichung in Scheitelform: y = (x + 3) + In Normalform lautet die Gleichung y = x + 6x+ Gesucht ist nun der y-wert des Punktes P(-5,5/y). Hierzu wird der x-wert des Punktes in die Paraelgleichung eingesetzt: y = ( 5,5)² + 6 ( 5,5) + = 8,5, also P(-5,5/8,5). Astands von S zu P: SP= ( 5,5 ( 3))² + (8,5 )² = 45, 35 6,73 Längeneinheiten. Lösung Aufgae 4 (Pflichtereich 00) Die nach oen geöffnete Normalparael esitzt die Gleichung y = x. Diese Parael kann mit Hilfe der Schalone eingezeichnet werden. Die Parael y = x + 4 esitzt den Scheitelpunkt R(0/4). Schnittpunkte der Paraeln durch gleichsetzen der Paraelgleichungen: x + 4 = x 3 x = 6 x = 4 x = ± Berechnung der y-werte: y = =, also Schnittpunkt P(/) y ( ) = =, also Schnittpunkt Q(-/) 5

6 Für die Zeichnung dieser Parael ist eine Wertetaelle erforderlich. x 0 +/- 0,5 +/- +/- +/- 3 +/- 4 y 4 3,875 3,5-0,5-4 Lösung Aufgae 5 (Pflichtereich 003) Die Gleichung der Normalparael lautet y = (x ) 3 = x 4x+ 4 3 y = x 4x+ Gleichung der Gerade: y = m x+ mit m = y = x+ Einsetzen von P(4/): = 4+ = 3 und damit lautet die Geradengleichung: y = x 3 Schnittpunkt von Gerade und Parael: 5 5 x 4x x 3 x + = 5x+ 4 = 0 x ( ), = ± 4 =,5 ±,5 Daraus folgt x = 4 (entspricht dem ereits ekannten Punkt P) und x =. Der zweite Schnittpunkt hat die Koordinaten Q(/-) (y-wert ergit sich durch Einsetzen von x = in die Geraden- oder Paraelgleichung). 6

7 Lösung Aufgae 6 (Pflichtereich 004) Da die Parael y = x + 4 keine Normalparael ist und somit nicht mit Hilfe einer 4 Paraelschalone gezeichnet werden kann, enötigt man eine Wertetaelle. x y -5,00 -,5 0,00,75 3,00 3,75 4,00 3,75 3,00,75 0,00 -,5-5,00 Die Eckpunkte des Dreiecks entsprechen den Schnittpunkten der Parael mit der x-achse und der y-achse. Schnittpunkt mit der y-achse (setze x = 0): y = 0 + 4= 4 Sy(0/ 4) 4 Schnittpunkt mit der x-achse (setze y = 0): 0= x + 4 x = 6 x = ± 4 4 Berechnung der Länge der einzelnen Dreiecksseiten: AB= 8 AC= BC= = 3 (Satz des Pythagoras) Umfang = = 9, 3 Längeneinheiten 7

8 Lösung Aufgae 7 (Pflichtereich 005) Lösungshinweise:.) Aufstellen der Gleichung der Gerade g.) Berechnung des Schnittpunktes der eiden Geraden durch Gleichsetzen 3.) Aufstellen der Paraelgleichung mit dem Schnittpunkt als Scheitelpunkt.) Aufstellen der Gleichung der Gerade g Die Gleichung der Gerade g hat den Ansatz y = m x+. Mit der gegeenen Steigung m= folgt: y = x+ Einsetzen der Koordinaten des Punktes P(0/3): 3= 0+ = 3 Die Gleichung der Gerade glautet somit y = x+ 3..) Berechnung des Schnittpunktes der eiden Geraden durch Gleichsetzen 5 Gleichsetzen der Geradengleichungen ergit x = x+ 3 x = 5 x = x = - eingesetzt in Gleichung von g : y = ( ) = Also lautet der Schnittpunkt S(-/). 3.) Aufstellen der Paraelgleichung mit dem Schnittpunkt als Scheitelpunkt Der Scheitelpunkt der Parael p soll S(-/) sein. Als Scheitelform ergit sich die Paraelgleichung y = (x + ) + Die Normalform der Paraelgleichung lautet y = x + 4x+ 6, man könnte aer auch die Scheitelform als Ergenis stehen lassen. 8

9 Aufgae 8 (Pflichtereich 006) Lösungshinweise:.) Aufstellen der Paraelgleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes.) Aufstellen der Geradengleichung 3.) Berechnung der Schnittpunkte der Gerade und der Parael durch Gleichsetzen 4.) Berechnung des Astandes der eiden Schnittpunkte.) Aufstellen der Paraelgleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes Der Scheitelpunkt der Parael ist S(0/4). Da die Parael nach unten geöffnet ist, lautet die Gleichung y = x + 4.) Aufstellen der Geradengleichung Die Gleichung der Gerade lautet im Ansatz Einsetzen der Steigung m = ergit: y = x+ y = m x+. Einsetzen der Koordinaten von P(0/): = 0+ = Die Geradengleichung lautet y = x+ 3.) Berechnung der Schnittpunkte der Gerade und der Parael durch Gleichsetzen x + 4= x+ Lösung mit p-q-formel: x x+ 3= 0 x x+ 3= 0 ( ) x + x 3= 0 x, = ± ( 3) x oder x 3 = ± = = ± 4 4 ( ) 3 ± 4 Lösung mit a--c-formel: x, = = x= 3 oder x = Einsetzen von x = in die Geradengleichung: y = + = 3 A(/3) Einsetzen von x = -3 in die Geradengleichung: y = ( 3) + = 5 B( 3/ 5) 4.) Berechnung des Astandes der eiden Schnittpunkte AB= = 80 8,9 LE 9

10 Lösung Aufgae 9 (Wahlereich 999) Für die Zeichnung der Parael ist eine Wertetaelle erforderlich, da es sich um keine Normalparael handelt, die man mit Schalone zeichnen kann. x y 8 4,5 0,5 0 0,5 4,5 8 Schnittpunkte der Parael und der Gerade: 3 x = x + 3 x x = 0 x x 3 = 0 p-q-formel: x, = ± + 3 = ± und daraus folgt x = 3 und x = 3 Berechnung der y-werte (einsetzen von x in die Gerade) y = 3+ = 4, 5 P(3/4,5) 3 y = + = 0, 5 Q(-/0,5) Berechnung der Gleichung der Normalparael p mit dem Ansatz: y = x + px+ q Einsetzen von P: 4,5 = 9+ 3p+ q () ( ) Einsetzen von Q: 0,5 = p+ q () aus (): aus (): 4,5 = 9 3p q 0,5 = p+ q Addition der eiden Gleichungen: 4= 8 4p p= Einsetzen in (): 4,5 = 9 3+ q q=, 5 Paraelgleichung von p : y = x x, 5 Scheitelform: y = (x 0,5) 0,5,5 = (x 0,5), 75 Scheitelpunkt von p : S(0,5/-,75) 0

11 Lösung Aufgae 0 (Wahlereich 000) Die Parael p esitzt die Gleichung y = (x + ), 5. Der Schnittpunkt der Paraeln ergit sich durch Gleichsetzen der Paraelgleichungen: (x+ ),5 = x +,5 x + x+,5 = x +, 5 x + x 4= 0 x + x = 0 p-q-formel: x, = 0,5 ± 0,5+ = 0,5 ±, 5 und daraus folgt x = und x =. Einsetzen der Lösungen in eine der Paraelgleichungen ergit die y-werte der Schnittpunkte: y = ( ) +,5 =, 5 P(-/-,5) y = +,5 =, 5 Q(/,5) Aufstellen der Gleichung der Geraden g, die durch P und Q verläuft: Ansatz: y = m x+ Einsetzen von P:,5 = m+ () ( ) Einsetzen von Q:,5 = m + () aus ():,5 = m aus ():,5 = m + Addition der Gleichungen ergit: 3 = 3m m= Einsetzen in Gleichung ():,5 = + = 0, 5 Geradengleichung von g: y = x + 0, 5 Schnittpunkt von g mit der x-achse: x + 0,5 = 0 x = 0, 5. Der Schnittpunkt lautet R(-0,5/0). Lösung Aufgae (Wahlereich 00) a) Berechnung von p in der Paraelgleichung p : Einsetzen des Punktes P(3/6): 6 = 3 + 3p+ 6 p = 3 Paraelgleichung von p : y = x 3x+ 6 Berechnung von c in der Paraelgleichung p : Einsetzen des Punktes Q(/-): = + c c = 6 Paraelgleichung von p : y = x + 6 Schnittpunkt der eiden Paraeln: x 3x+ 6= x + 6 3x 3x = 0 x x = 0 Anwendung der p-q-formel (mit p = - und q = 0): x, = 0,5 ± 0,5 0 = 0,5 ± 0,5 und daraus folgt x = und x = 0. (Alternativ zu der p-q-formel hätte man hier auch x ausklammern können). Berechnung der y-werte der Schnittpunkte: Einsetzen von x = in die Parael p : y = + 6 = 4 R(/4) Einsetzen von x = 0 in die Parael p : y = = 6 T(0/6)

12 Die Zeichnung der Paraeln erfolgt mit Hilfe der Scheitelpunkte: Scheitelpunkt von p : y = x 3x+ 6 = (x,5),5+ 6 = (x,5) + 3, 75 also S (,5/ 3,75) Scheitelpunkt von p : S (0/ 6) Da Parael pkeine Normalparael ist, muss zur Zeichnung eine Wertetaelle enutzt werden: x 0 +/-0,5 +/- +/-,5 +/- +/-,5 y 6 5,5 4,5 - -6,5 ) Zunächst muss die Gleichung der Normalparael aufgestellt werden. Ansatz: y = x + px+ q Einsetzen von P : Einsetzen von P : 3 = + p+ q = p+ q () ( ) 8 = 36+ 6p+ q 8 = 6p+ q () aus (): aus (): = p q 8 = 6p+ q Addition der eiden Gleichungen: 30 = 5p p = 6 Einsetzen von p = -6 in (): = 6 q q= 8 Gleichung der Normalparael: y = x 6x+ 8 y y 8 3 Die Steigung der Geraden g lautet m = = =. x x 6 Da die Gerade h parallel zu g ist, esitzt sie diesele Steigung m =. Ansatz für h: y = x + Die Gerade h enthält den Punkt B: 0,75= 3,5 + = 4, 5 Gleichung der Gerade h: y = x 4, 5

13 Schnittpunkt der Parael mit der Geraden h: x 6x+ 8 = x 4,5 x 7x+,5 = 0 p-q-formel: x, = 3,5 ±,5,5 = 3,5 ± 0 und daraus folgt x = x = 3, 5. Somit ergit sich nur eine Lösung, das heißt, es git nur einen Schnittpunkt zwischen der Parael und der Gerade h und dieser entspricht dem Punkt B. Lösung Aufgae (Wahlereich 00) (a) Der Scheitelpunkt der Parael ist (0/-3). Dies passt du den Funktionsgleichungen () und (3). Die Parael enthält außerdem den Punkt P(3/0). Setzt man die Koordinaten von P in () und (3) ein, ergit sich ei (3) eine wahre Aussage und ei () eine falsche Aussage. Damit ist (3) die richtige Gleichung. (Man könnte auch so argumentieren, dass die Parael (a) flacher verläuft als eine Normalparael und deshal der Multiplikator vor der Variale x² kleiner als sein muss.) () Die Gerade hat den y-achsenaschnitt 5 und die Steigung m =. Damit ist () die richtige Gleichung. (c) Der Scheitelpunkt der Parael ist (3/). Damit ist (5) die richtige Gleichung. (d) Der Scheitelpunkt der Parael ist (-4/-3). Scheitelform von (7): y = (x+ 4) 6+ 3 = (x+ 4) 3 also S(-4/-3). Damit ist (7) die richtige Gleichung. Lösung Aufgae 3 (Wahlereich 00) Scheitelpunkt von p erhält man durch Umformung in die Scheitelform: y = (x+ ) + 3 = (x+ ) + das heißt der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S ( / ). Gleichung der Gerade g : y = m x+ S ( / ) einsetzen: = m+ () S (4/ 3) einsetzen: 3 = 4 m+ () () (): 5 = 5m m = m = - in () eingesetzt: = ( ) + = Geradengleichung von g : y = x+ Um den Schnittpunkt der Paraeln zu ermitteln, wird die Paraelgleichung von p enötigt. Mit Hilfe des Scheitelpunktes S (4/ 3) ergit sich als Gleichung y = (x 4) 3 Schnittpunkt der Paraeln durch Gleichsetzen der Paraelgleichungen: x + x+ 3 = (x 4) 3 x + x+ 3 = x 8x+ 3 0x = 0 x = x = eingesetzt in eine der Paraelgleichungen: y = = 6 P(/ 6) Schnittpunkt Geradengleichung von g : y = m x+ Da die Gerade parallel zu g ist, esitzt sie diesele Steigung, also m = -. Es gilt Einsetzen des Punktes P(/6): 6 = + = 7 Geradengleichung von g : y = x+ 7 y = x+ 3

14 Lösung Aufgae 4 (Wahlereich 003) Die Gleichung der Parael p lautet y = x + 6. Berechnung der Schnittpunkte der eiden Paraeln durch Gleichsetzen der Paraelgleichungen: x 4x+ 6 = x + 6 x 4x = 0 x (x 4) = 0 Aus der Gleichung folgt x = 0 oder x =. (Die Gleichung hätte man auch mit der p-q-formel lösen können). Berechnung der y-werte durch Einsetzen der Lösungen in eine der Paraelgleichungen: x = 0 y = P(0/ 6) x = y = + 6 Q(/ ) Berechnung der Geradengleichung durch P und Q mit dem Ansatz Einsetzen von P(0/6): 6 = m 0+ = 6 Einsetzen von Q(/): = m+ 6 m = Geradengleichung: y = x+ 6 y = m x+ Berechnung der Strecke AB: AB = = 45 = 6, 7LE Umfang des Dreiecks = ,7 = 5,7 LE 3 6 Innenwinkel ei A: tanα = α = 6, 6 Innenwinkel ei B: tanβ = β = 63,

15 Lösung Aufgae 5 (Wahlereich 004) Die Gerade () schneidet die y-achse an der Stelle y = 3. Die Steigung der Gerade ist m =. Somit gilt hier die Funktionsgleichung (). 5 Die Parael (a) esitzt den Scheitelpunkt S(-4/-3). Es ist eine nach oen geöffnete Normalparael. Somit gilt hier die Funktionsgleichung (4). Die Gerade (c) schneidet die y-achse an der Stelle y =. Die Steigung der Gerade ist m= 3. Somit gilt hier die Funktionsgleichung (9). Die Parael (d) esitzt den Scheitelpunkt S(/). Es ist eine nach oen geöffnete Normalparael. Gleichung der Parael in Scheitelform: y = (x ) + y = x 4x+ 4+ = x 4x+ 5 Somit gilt hier die Funktionsgleichung (7). Die Parael (e) esitzt den Scheitelpunkt S(0/3). Es ist eine nach unten geöffnete Parael, jedoch keine Normalparael. Es kommen hierfür nur die Funktionsgleichungen () oder () in Frage. Der Punkt P(/,5) liegt auf der Parael. Punktproe ei Funktionsgleichung ():,5 = + 3 ist eine wahre Aussage Punktproe ei Funktionsgleichung ():,5 = + 3 ist eine falsche Aussage. 4 Damit liegt der Punkt auf dem Schauild der Funktionsgleichung (). Zur Parael (e) gehört damit die Funktionsgleichung (). Lösung Aufgae 6 (Wahlereich 004) Die Parael p hat die Funktionsgleichung y = x + 4x+ 6. Verschiet man diese Parael um drei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach unten, entsteht die Parael p mit dem Scheitelpunkt S. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts Q der eiden Paraeln. Durch S und Q verläuft die Gerade g. Die Gerade h verläuft parallel zur Geraden g und geht durch den Scheitelpunkt S der Parael p. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden h. Um die Gleichung der verschoenen Parael zu ermitteln, wird zunächst der Scheitelpunkt der Parael p ermittelt: Umwandlung in Scheitelform: y = x + 4x+ 6 = (x+ ) 4+ 6 = (x+ ) + Daraus ergit sich der Scheitelpunkt S ( / ). Der neue Scheitelpunkt der verschoenen Parael lautet S (/ ). Gleichung der Parael p : y = (x ) y = x x Berechnung des Schnittpunktes der eiden Paraeln: x + 4x+ 6= x x 6x = 6 x = Einsetzen von x = - in eine Paraelgleichung: y = ( ) ( ) = 3 Koordinaten des Schnittpunktes: Q(-/3) Geradengleichung von g: Ansatz y = m x+ Einsetzen von S (/ ) : = m+ () Einsetzen von Q(-/3): 3 = m+ () 5

16 Addition der Gleichungen () und (): = = in () = m+ m = Gleichung von g: y = x+ Da die Gerade h parallel zu g ist, folgt mh = mg = Gleichungsansatz für Gerade h: y = x+ Einsetzen von S ( / ) : = ( ) + = Geradengleichung von h: y = x 6

17 Lösung Aufgae 7 (Wahlereich 005) Lösungshinweise:.) Berechnung des Scheitelpunktes der Parael p.) Aufstellen der Gleichung von der Gerade g 3.) Berechnung der Koordinaten des Scheitelpunktes S und der Paraelgleichung p 4.) Berechnung des Schnittpunktes der eiden Paraeln durch Gleichsetzen 5.) Aufstellen der Gleichung von der Gerade g 6.) Berechnung des Schnittpunktes der Gerade g und der Parael p durch Gleichsetzen.) Berechnung des Scheitelpunktes der Parael p Umformung der Paraelgleichung in die Scheitelform: y = x + 4x+ y = (x+ ) 4+ y = (x+ ) 3 Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S ( / 3).) Aufstellen der Gleichung von der Gerade g Ansatz für die Geradengleichung: y = m x+ ys y P 3 5 Berechnung der Steigung der Gerade: m= = = x x 6 S Die Geradengleichung lautet damit: y = x+ Einsetzen des Punktes P: 5= 6+ = Die Geradengleichung von g lautet somit y = x P 3.) Berechnung der Koordinaten des Scheitelpunktes S und der Paraelgleichung p Der y-wert von Serhält man durch Einsetzen von x = 3 in die Geradengleichung: y S = 3 =. Damit gilt S (3/ ). Die Paraelgleichung von p lautet in Scheitelform y = (x 3) + zw. in Normalform y = x 6x+. 4.) Berechnung des Schnittpunktes der eiden Paraeln durch Gleichsetzen x + 4x+ = x 6x+ 0x = 0 x = Einsetzen von x = in eine der Paraelgleichungen ergit y = 6, also Schnittpunkt A(/6). 5.) Aufstellen der Gleichung von der Gerade g Da die Gerade g parallel zu g ist, hat sie diesele Steigung m =. Ansatz der Geradengleichung für g : y = x+. Einsetzen des Punktes A(/6): 6 = + = 5 Geradengleichung von g : y = x+ 5 6.) Berechnung des Schnittpunktes der Gerade g und der Parael p durch Gleichsetzen x+ 5= x 6x+ 0= x 7x+ 6 7

18 Lösung mit p-q-formel: x, = 3,5±,5 6 = 3,5±,5 x= 6 und x = 7± ± 5 Lösung mit a--c-formel: x, = = x= 6 und x = Die y-werte der Schnittpunkte erhält man durch Einsetzen der x-werte in die Geraden- oder Paraelgleichung. y = 6+ 5=, also P(6/). y = + 5= 6, also Q(/6). Da der Punkt Q(/6) dem Punkt A entspricht, lautet der weitere Punkt P(6/). 8

19 Aufgae 8 (Wahlereich 006) Lösungshinweise:.) Aufstellen der Gleichung der Gerade g anhand der gegeenen Punkte.) Aufstellen der Gleichung der Parael p anhand der gegeenen Punkte 3.) Berechnung des Scheitelpunkts der Parael 4.) Aufstellen der Gleichung der Gerade g anhand der Steigung und des Scheitelpunktes 5.) Berechnung der Innenwinkel und des Umfangs des Dreiecks.) Aufstellen der Gleichung der Gerade g anhand der gegeenen Punkte Gleichung der Gerade: Ansatz y = m x+ ya yb 5 ( 3) Berechnung der Steigung: m= = = x x 6 Gleichung der Gerade: y = x+ Einsetzen der Koordinaten von A(/5): 5= + = 9 Geradengleichung von g : y = x+ 9 A B.) Aufstellen der Gleichung der Parael p anhand der gegeenen Punkte Gleichung der Parael: Ansatz Einsetzen der Koordinaten von A(/5): Einsetzen der Koordinaten von B(6/-3): y = x + px+ q 5= + p+ q p+ q= 3= 6 + 6p+ q 6p+ q= 39 p + q = 6p + q = 39 ( ) p q = 6p + q = 39 4p = 40 Addition der Gleichungen ergit 4p= 40 p= 0 Einsetzen von p = -0 in eine Gleichung: ( 0) q= q= Paraelgleichung: y = x 0x+ 3.) Berechnung des Scheitelpunkts der Parael Scheitelform der Parael: y = (x 5) 5+ y = (x 5) 4 Daraus ergit sich als Scheitelpunkt S(5/-4). 4.) Aufstellen der Gleichung der Gerade g anhand der Steigung und des Scheitelpunktes Ansatz der Geradengleichung: y = m x+ Da die Gerade g parallel zur Gerade g ist, gilt m=. Damit gilt y = x+. Einsetzen des Punktes S(5/-4): 4= 5+ = 6 Gleichung der Gerade g : y = x+ 6. 9

20 5.) Berechnung der Innenwinkel und des Umfangs des Dreiecks Berechnung der Strecke PQ mit Pythagoras: PQ= = 45 6,7LE Umfang des Dreiecks = ,7 = 5,7 LE Innenwinkel: 3 tanα = α = 6, tanβ = β = 63, 4 3 0