AUSWERTEN. Ein Zufallsexperiment wird ausgewertet, indem man die relativen Häufigkeiten berechnet. Die relative Häufigkeit ist das Verhältnis:

Transkript

1 Hilfe EIN ZUFALLSEXPERIMENT AUSWERTEN Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden in der Regel in einer Tabelle aufgeschrieben. Hierzu können während des Experiments Strichlisten geführt oder nach Beendigung des Experiments absolute Häufigkeiten in der Tabelle eingetragen werden. Augenzahl Häufigkeit Ein Zufallsexperiment wird ausgewertet, indem man die relativen Häufigkeiten berechnet. Die relative Häufigkeit ist das Verhältnis: RELATIVE HÄ U F IG K E IT = ABSOLUTE HÄ U F IG K E IT GE SA M T Z A H L DER VE R S U C H E Relative Häufigkeiten können als Brüche, als Dezimalzahlen oder in Prozent angegeben werden.

2 Hilfe 2 ERGEBNISSE UND EREIGNISSE Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments nennt man ERGEBNISSE. Werden alle Ergebnisse geordnet aufgeführt, erhält man einen Ergebnisraum. Ergebnisraum (Würfeln mit einem Würfel): {; 2; 3; ; 5; } Ergebnisraum (Würfeln mit zwei Würfeln): {(,); (,2); (,)} Beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei Würfeln, gibt es 3 unterschiedliche Ergebnisse. Ein EREIGNIS beschreibt die Erwartungshaltung eines Spielers. Wenn ein Spieler zum Beispiel beim Würfeln mit einer Zwei oder einer Vier weiterkommt, so wartet er auf das Ereignis 2 oder. Ein Ereignis kann sich also aus einem oder mehreren Ergebnissen zusammensetzen. Beim Würfeln mit zwei Würfeln kann Augensumme ein Ereignis sein. Zu diesem Ereignis gehören die Ergebnisse (,3); (3, ) und (2,2).

3 Hilfe 3 BAUMDIAGRAMME Beim Würfeln können sechs verschiedene Ergebnisse auftreten:, 2, 3,, 5 und. Jedes Ergebnis ist aufgrund der geometrischen Abmessungen des Würfels gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis beträgt. Jedes andere Ereignis besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Man stellt die verschiedenen möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs in einem Baumdiagramm dar. Da sechs unterschiedliche Ergebnisse möglich sind, gibt es sechs Zweige. Jeder Pfeil kann mit der Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel beschriftet werden. Alle Pfadwahrscheinlichkeiten können insgesamt zu addiert werden

4 Hilfe WAHRSCHEINLICHKEITEN BESTIMMEN Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird mit einem Zahlwert zwischen 0 und beschrieben. Der Zahlenwert 0 beschreibt ein unmögliches Ereignis, der Zahlenwert ein sicher eintretendes Ereignis. Wahrscheinlichkeiten können auch in Prozenten angegeben werden. Das sichere Ereignis besitzt eine Wahrscheinlichkeit von 00%, das unmögliche Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von 0%. Laplace-Versuche sind Zufallsversuche, deren Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Der Würfel ist ein typisches Laplace-Zufallsgerät. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird beim Laplace-Versuch bestimmt: p(e) = Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl aller Ergebnisse Beispiel: Du möchtest herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine zu würfeln. Du würfelst 00 Mal und in 7 Fällen erhältst du tatsächlich eine. p E = 7 00 = 7% Die Wahrscheinlichkeit, eine zu Würfeln liegt also bei 7%, das ist ungefähr.

5 Hilfe 5 MEHRSTUFIGE BAUMDIAGRAMME Das gleichzeitige Würfeln mit zwei Würfeln betrachtet man als zwei Zufallsversuche, die nacheinander ausgeführt werden. Der zweistufige Zufallsversuch kann in einem zweistufigen Baumdiagramm dargestellt werden. Alle Pfeile werden mit Wahrscheinlichkeitswerten beschriftet. Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeitswerte multipliziert. Am Ende eines Pfades wird die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis angegeben (; ) 2 (; 2) 3 (; 3) (; ) 5 (; 5) (; ) (2; ) 2 (2; 2) 3 (2; 3) (2; ) 5 (2; 5) (2; ) (3; ) 2 (3; 2) 3 (3; 3) (3; ) 5 (3; 5) (3; ) (; ) 2 (; 2) 3 (; 3) (; ) 5 (; 5) (; ) (5; ) 2 (5; 2) 3 (5; 3) (5; ) 5 (5; 5) (5; ) (; ) 2 (; 2) 3 (; 3) (; ) 5 (; 5) (; )

6 Station EIN ZUFALLSEXPERIMENT DURCHFÜHREN Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: 5 blaue Steine 5 grüne Steine 0 rote Steine. Zieht nun 2-mal einen Stein aus dem Beutel und notiert die gezogene Farbe in der Tabelle in euren Heften. Der Stein wird nach dem Ziehen wieder in den Beutel zurückgelegt. AUFGABEN. Gib die absolute Häufigkeit jeder gezogenen Farbe an. 2. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Stein zu ziehen? einen blauen Stein zu ziehen?. Zeichne ein Baumdiagramm für das einmalige Ziehen. Beschrifte die Zweige mit den Farben Blau, Grün und Rot. 3

7 Station 2 EIN ZUFALLSEXPERIMENT DURCHFÜHREN Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: blaue Steine grüne Steine 2 rote Steine. Zieht nun 2-mal einen Stein aus dem Beutel und notiert die gezogene Farbe in der Tabelle in euren Heften. Der Stein wird nach dem Ziehen wieder in den Beutel zurückgelegt. AUFGABEN. Gib die absolute Häufigkeit jeder gezogenen Farbe an. 2. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Stein zu ziehen? einen blauen Stein zu ziehen?. Zeichne ein Baumdiagramm für das einmalige Ziehen. Beschrifte die Zweige mit den Farben Blau, Grün und Rot. 3

8 Station 3 ZWEIMAL ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: blaue Steine grüne Steine 2 rote Steine. Zieht nun 2-mal nacheinander zwei Steine aus dem Beutel (ohne den ersten zurückzulegen) und notiert die gezogenen Farben in der Tabelle in euren Heften. Bei diesem Versuch handelt es sich um einen Zufallsversuch zum Ziehen ohne Zurücklegen. AUFGABEN. Welche Farbkombinationen sind möglich? 2. Gib die absolute Häufigkeit jeder gezogenen Farbkombination an. 3. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbkombination.. Zeichne ein mehrstufiges Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment. Beschrifte die Zweige mit den Pfadwahrscheinlichkeiten. 5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Steine zu ziehen? zwei blaue Steine zu ziehen? 5

9 Station ZWEIMAL ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: blaue Steine grüne Steine 2 rote Steine. Nun werden nacheinander zwei Steine gezogen. Nachdem der erste Stein gezogen wurde, wird er nicht sofort wieder in den Beutel zurückgelegt. Erst nach dem zweiten Ziehen legt ihr beide Steine zurück. AUFGABEN. Zeichne zu diesem Zufallsexperiment ein mehrstufiges Baumdiagramm. 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Zwei blaue Steine zu ziehen? Zwei Steine mit derselben Farbe zu ziehen? 3. Beschreibe, wie sich das Baumdiagramm für das Ziehen mit und ohne Zurücklegen unterscheiden? 5

10 Station 5 ZWEIMAL ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: 8 blaue Steine grüne Steine rote Steine. AUFGABEN. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Ziehen einen roten, einen grünen oder einen blauen Stein zu ziehen? 2. Zeichne ein Baumdiagramm für das Ziehen von zwei Steinen. Nach dem Ziehen des ersten Steines, wird er wieder zurückgelegt. Beschrifte das Baumdiagramm mit den Pfadwahrscheinlichkeiten. 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Steine zu ziehen?. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Steine mit derselben Farbe zu ziehen? Blau Grün Rot Blau Grün Rot Blau Grün Rot Blau Grün Rot 5

11 Station AUSSAGEN TREFFEN Für diese Station brauchst du zunächst kein Material! In einem Baumwollbeutel befinden sich Steine in den Farben Blau, Rot und Grün. Aus dem Beutel wurden Steine gezogen und nach jeder Ziehung wurden die gezogenen Steine sofort wieder in den Beutel zurückgelegt. Die Farben Blau, Rot und Grün traten mit folgender absoluter Häufigkeit auf. Blau Rot Grün AUFGABEN. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 2. Insgesamt sind zwanzig Steine in dem Beutel. Wie viele Steine der jeweiligen Farbe könnten vorhanden sein? Begründe deine Vermutung! 3. Lege nun Farbsteine in der von dir vermuteten Anzahl in den Beutel und ziehe mindestens 20-mal einen Stein. Werte diesen Versuch mithilfe einer Tabelle aus. Gib die relative Häufigkeit deiner Ergebnisse in Prozent an. Beschreibe deine Beobachtung.

12 Station 7 AUSSAGEN TREFFEN Für diese Station brauchst du zunächst kein Material! In einem Baumwollbeutel befinden sich Steine in den Farben Blau, Rot, Grün und Gelb. Aus dem Beutel werden Steine gezogen und nach jeder Ziehung werden die gezogenen Steine sofort wieder in den Beutel zurückgelegt. Die Farben Blau, Rot, Grün und Gelb tragen mit folgender absoluter Häufigkeit auf. Blau Rot Grün Gelb AUFGABEN. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 2. Insgesamt sind fünfundzwanzig Steine in dem Beutel. Wie viele Steine der jeweiligen Farbe könnten vorhanden sein? 3. Lege nun Farbsteine in der von dir vermuteten Anzahl in den Beutel und ziehe mindestens 20-mal einen Stein. Werte diesen Versuch mithilfe einer Tabelle aus. Beschreibe deine Beobachtung.

13 Station 8 REPETITORIUM In dieser Station sollst du vor allem alten Stoff noch einmal wiederholen. Bearbeite die Aufgaben gründlich und wenn du Schwierigkeiten hast, mache die Station in ein paar Tagen noch einmal. Die Lösungen findest du unten auf der Karte aber denk daran: Erst alle Aufgaben durchrechnen und dann prüfen! ) 9,2 8,5 = 2) 2, 8,3 = 3) 232: = ) = 5) Schreibe als Bruch:,07 ) Schreibe als Dezimalbruch: 7 5 7) Kürze so weit wie möglich: ) Erweitere 3 8 mit 5. ), 7) ¾ 8) 5 0 ) 77,92 2) 02,92 3) 585,5 ) 92 5) Lerntheke OER.

14 Station 9 EIN ZUFALLSEXPERIMENT DURCHFÜHREN Für diese Station brauchst du zwei -seitige Würfel und einen 2-seitigen Würfel. Lies dir die Aufgabenstellung sehr aufmerksam durch.. Würfle mit den beiden -seitigen Würfeln gemeinsam und berechne 30-mal die Augensumme 2 bis 2. Notiere die Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. 2. Ermittle mit dem 2-seitigen Würfel 30-mal eine Zahl von bis 2. Notiere die Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. 3. Berechne für beide Tabellen die relativen Häufigkeiten für die Zahlen 2, 7 und 2 und vergleiche die Ergebnisse miteinander. Was fällt dir auf?. Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm für das Zufallsexperiment mit dem 2-seitigen Würfel. 3

15 Station 0 EIN ZUFALLSEXPERIMENT DURCHFÜHREN Für diese Station brauchst du einen -seitigen Würfel (Tetraeder) und einen 8-seitigen Würfel (Oktaeder). Lies dir die Aufgabenstellung sehr aufmerksam durch.. Ermittle mit den beiden Würfeln gemeinsam 8-mal die Augensumme von 2 bis 2. Notiere die absolute Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. 2. Berechne für jede Augensumme die relative Häufigkeit. 3. Zeichne ein Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment. Der Tetraeder-Würfel soll zuerst fallen. Beschrifte das Baumdiagramm mit den Pfadwahrscheinlichkeiten.. Berechne für jede Augensumme die Wahrscheinlichkeit. 2 5

16 Station ZWEI ZUFALLSEXPERIMENTE VERGLEICHEN Für diese Station brauchst du einen -seitigen Würfel (Tetraeder) und einen 8-seitigen Würfel (Oktaeder). Lies dir die Aufgabenstellung sehr aufmerksam durch.. Ermittle mit dem Tetraeder 20-mal eine Zahl von bis. Notiere die absolute Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. 2. Berechne die relativen Häufigkeiten. 3. Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm für den Tetraeder-Würfel.. Ermittle mit dem Oktaeder 20-mal eine Zahl von bis 8. Notiere die absolute Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. 5. Berechne die relativen Häufigkeiten.. Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm für den Oktaeder-Würfel. 7. Jana meint: Mit dem Tetraeder-Würfel und dem Oktaeder-Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, gleich. Nimm Stellung zu dieser Aussage. 2 3

17 Station 2 EIN ZWEISTUFIGES BAUMDIAGRAMM ZEICHNEN Für diese Station brauchst du zwei -seitige Würfel. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst.. Bei dieser Station geht es um die Augensumme von zwei gleichzeitig geworfenen Würfeln. Stelle eine Vermutung auf: Welche Augensumme kommt am häufigsten vor? Oder ist die Wahrscheinlichkeit bei allen gleich? 2. Würfele mindestens 20-mal mit zwei Würfeln gleichzeitig und bestimme die Augensumme. Trage die Ergebnisse in die Tabelle im Heft ein und berechne für jede Augensumme die relative Häufigkeit. 3. Zeichne ein Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment und beschrifte es mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten.. Vervollständige die Tabelle im Heft und ordne alle möglichen Ergebnisse für das Würfeln mit zwei Würfeln ihren Augensummen zu. 5. Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten? Begründe deine Entscheidung. Vergleiche mit deiner Vermutung oben. 2 5

18 Station 3 WAHRSCHEINLICHKEITEN VERMUTEN Für diese Station brauchst du zwei zehnseitige Würfel, einer davon sollte die Zehnerschritte angeben: 0, 20, 30,. Mit den beiden Würfeln soll im folgenden die Augensumme ermittelt werden. 2. Welche Ergebnisse sind möglich? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Zahlen 33? 5? 00? 50? 3. Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Zahl größer als 9?. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Zahl ist ohne Rest durch 3 teilbar? 5. Beschreibe ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit 20 Prozent beträgt. 5

19 Station WAHRSCHEINLICHKEITEN BESTIMMEN Für diese Station brauchst du den abgebildeten Quader. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst.. Der abgebildete Quader liefert die Zahlen bis. Nicht alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Welche Zahlen werden deiner Meinung nach häufig gewürfelt? Schreibe deine Vermutung in deinem Heft auf. 2. Ermittle mit diesem Zufallsgerät 25-mal eine Zahl von bis. Notiere die Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in der Tabelle. Berechne anschließend die relative Häufigkeit für alle Ergebnisse. 3. Stelle aufgrund deiner Versuche eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse auf. Denke daran, dass sich die Wahrscheinlichkeiten in Prozent zu 00 addieren müssen.

20 Station 5 WAHRSCHEINLICHKEITEN BESTIMMEN Für diese Station brauchst du den abgebildeten Quader. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst.. Der abgebildete Quader liefert die Zahlen bis. Nicht alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Welche Zahlen werden deiner Meinung nach häufig gewürfelt? Schreibe deine Vermutung in deinem Heft auf. 2. Ermittle mit diesem Zufallsgerät 25-mal eine Zahl von bis. Notiere die Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in der Tabelle. Berechne anschließend die relative Häufigkeit für alle Ergebnisse. 3. Stelle aufgrund deiner Versuche eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse auf. Denke daran, dass sich die Wahrscheinlichkeiten in Prozent zu 00 addieren müssen. Ist dies ein Laplace-Experiment?

21 Station EIN ZUFALLSEXPERIMENT DURCHFÜHREN Für diese Station brauchst du einen Drehpfeil und die Farbscheibe Station. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst.. Lege die Farbscheibe unter den Drehpfeil. Ermittle durch Drehen des Zeigers 2-mal eine der vier Farben und führe in deinem Heft eine Strichliste. 2. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 3. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe aufgrund der Farbverteilung auf der Scheibe.. Erkläre die Unterschiede zwischen den relativen Häufigkeiten und den Wahrscheinlichkeiten?

22 Station 7 EIN ZUFALLSEXPERIMENT DURCHFÜHREN Für diese Station brauchst du einen Drehpfeil und die Farbscheibe Station 7. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst.. Lege die Farbscheibe unter den Drehpfeil. Ermittle durch Drehen des Zeigers 2-mal eine der vier Farben und führe in deinem Heft eine Strichliste. 2. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 3. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe aufgrund der Farbverteilung auf der Scheibe.. Erkläre die Unterschiede zwischen den relativen Häufigkeiten und den Wahrscheinlichkeiten?

23 Station 8 EINEM ZUFALLSEXPERIMENT EINE VERTEILUNG ZUORDNEN Mit einer der drei abgebildeten Farbscheiben wurde ein Zufallsexperiment durchgeführt. Die Farben Rot, Blau, Grün und Gelb traten mit folgenden Häufigkeiten auf: Rot Blau Grün Gelb Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 2. Welche der abgebildeten Scheiben könnte zu diesem Zufallsexperiment gehören? Begründe deine Vermutung! I II III

24 Station 9 EINEM ZUFALLSEXPERIMENT EINE VERTEILUNG ZUORDNEN Mit einer der drei abgebildeten Farbscheiben wurde ein Zufallsexperiment durchgeführt. Die Farben Rot, Blau, Grün und Gelb traten mit folgenden Häufigkeiten auf: Rot Blau Grün Gelb Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 2. Welche der abgebildeten Scheiben könnte zu diesem Zufallsexperiment gehören? Begründe deine Vermutung! I II III

25 Station 20 AUSSAGEN ÜBER FARBVERTEILUNGEN MACHEN Mit einer Farbscheibe wurde ein Zufallsexperiment durchgeführt. Die Farben Rot, Blau, Grün und Gelb traten mit folgenden Häufigkeiten auf: Rot Blau Grün Gelb Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 2. Die Farbscheibe ist in zwölf Segmente aufgeteilt. Färbe den Kreis in deinem Heft passend ein. 3. Zeichne ein Baumdiagramm für das einmalige Drehen mit dieser Farbscheibe. Beschrifte die Zweige mit den Wahrscheinlichkeiten für jede Farbe. 3

26 Station 2 AUSSAGEN ÜBER FARBVERTEILUNGEN MACHEN Mit einer Farbscheibe wurde ein Zufallsexperiment durchgeführt. Die Farben Rot, Blau, Grün und Gelb traten mit folgenden Häufigkeiten auf: Rot Blau Grün Gelb Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. 2. Die Farbscheibe ist in zwölf Segmente aufgeteilt. Färbe den Kreis in deinem Heft passend ein. 3. Zeichne ein Baumdiagramm für das einmalige Drehen mit dieser Farbscheibe. Beschrifte die Zweige mit den Wahrscheinlichkeiten für jede Farbe. 3