Musterlösung zur Abschlussklausur PC I Übungen (27. Juni 2018)

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1 1. Abkühlung (100 Punkte) Ein ideales Gas (genau 3 mol) durchläuft hintereinander zwei (reversible) Zustandsänderungen: Zuerst expandiert es isobar, wobei die Temperatur von 50 K auf 500 K steigt und sich das Volumen verdoppelt. Anschließend sinkt in einem isochoren Prozess die Temperatur auf 50 K. Die molare Wärmekapazität des Gases beträgt Cv,m = 3 R. (a) Wie ändert sich die innere Energie während des gesamten Vorgangs? (0 Punkte) U Ges. = n C V,m (T C T A ) = J ( 7.48 kj) (b) Welche Arbeit wird insgesamt geleistet? (0 Punkte) V B W Ges. = W A B + W B C = W A B = p(v)dv = p A (V B ) = p A = nrt A = J ( 6.4 kj) (c) Welche Wärme wird insgesamt ausgetauscht? (30 Punkte) Q Ges. = U Ges. W Ges. = J ( J)= J (-1.5 kj) (d) Wie lautet die Entropieänderung des gesamten Prozesses? (30 Punkte) S Ges. = T C C V T A T dt + V C V ( ) dv = C T V Ln T C + nrln V C V T A 3 nrlnt C T A + nrln V C = J/K (-43 J/K) =. Geschwindigkeiten (100 Punkte) Ein Neongas (n = 0.13 mol), als ideal zu betrachten, befindet sich bei 300 K in einem Behälter, wobei der Druck p = 50 kpa beträgt. Nehmen Sie einen Durchmesser der Ne Atome von 465 pm an und bestimmen Sie: (a) Die mittlere Geschwindigkeit v (15 Punkte) 8 R T v = = m/s π m mol (561 m/s) (b) Die häufigste Geschwindigkeit v max (15 Punkte) R T v max = = m/s m mol (497 m/s)

2 (c) Die mittlere freie Weglänge (30 Punkte) = k T = m (17. nm) πd p (d) Berechnen Sie die mittlere und die häufigste Geschwindigkeit bei 600 K und zeichnen Sie möglichst genau die Maxwell-Boltzmann-Verteilung f(v) bei beiden Temperaturen (300 K und 600 K) in dasselbe Diagramm. Zeichnen Sie jeweils die Werte für v und v max mit den richtigen Werten korrekt ein. (40 Punkte) 8 R T v = = m/s π m mol (793 m/s) R T v max = = m/s (703 m/s) m mol 3. Kreisprozess (100 Punkte) Ein ideales Gas (n = mol, Cv,m = 3 R) durchläuft einen Kreisprozess, der aus vier Zustandsänderungen besteht: A B: isotherm, B C: isochor (VC = 3 VA), C D: isobar, D A: adiabatisch (VD =.9 VA). Im Zustand A gelten folgende Zustandsgrößen: TA = 300 K, pa = 00 mbar und VA = 1.00 m 3. (a) Berechnen Sie Druck, Volumen und Temperatur im Zustand B. (0 Punkte) p A = 00 mbar, = 1.00 m 3, T A = 300 K Zustand B: T B = T A = 300 K (von A nach B: Isotherm), V B = 3 = 3.00 m 3 p A = p B V B, p B = p A V B = 66.7 mbar

3 (b) Berechnen Sie Druck, Volumen und Temperatur der Zustände C und D. (40 Punkte) Hinweis: Der Druck im Zustand C lässt sich (über pd) aus pa berechnen. Zustand C: V C = 3 = 3.00 m 3 p A k = p D V D k, k = c p c v = 5/3 (von D nach A, adiabatisch) p C = p D = p A ( V k A ) = mbar (50.3 mbar) V D T C = p CV C = K (6 K) n R Zustand D: V D =.9 =.9 m 3 p D = p C = mbar (50.3 mbar) T D = p DV D = K (173 K) n R (c) Stellen Sie den Kreisprozess möglichst genau (qualitativ und quantitativ) in einem p(v) Diagramm dar. (0 Punkte) A B: isotherm B C: isochor C D: isobar D A: adiabatisch

4 (d) Stellen Sie den Kreisprozess in einem p(t) Diagramm dar. Begründen Sie die Kurvenverläufe der einzelnen Abschnitte mit geeigneten Gleichungen. (0 Punkte) A B (isotherm): B C (isochor): C D (isobar): D A (adiabatisch): T = const oder T = TA = TB (und p sinkt) p = n R V T damit ist (weil V = const) p = const. T und es ergibt sich eine Gerade die durch den Ursprung gehen muss (p = 0 wenn T = 0) p = const oder p = pc = pd (und T sinkt) pv k = const (pv = nrt), p 1 k T k = const (k = 5 ), das 3 bedeutet dass p ~ T k k 1 oder p = const T 5 4. Reales Gas (100 Punkte) Ein zylindrisches Gefäß (Volumen: 4.00 Liter) beinhaltet kg Cl Gas bei einer konstanten Temperatur (7 C). (a) Bestimmen Sie p im Gefäß (in Pa) mit Hilfe der idealen Gasgleichung. (10 Punkte) n = m M = 567 g = mol g/mol pv = nrt p = nrt V = ( mol)( JK 1 mol 1 )( K) m 3 p = Pa = Pa = 4.99 MPa (b) Welche Arbeit muss geleistet werden wenn das Gas (als ideal zu betrachten) isotherm auf Endvolumen von 3.0 dm 3 komprimiert wird? (10 Punkte) V V W = p(v)dv = nrt V dv = nrtln v v 1

5 W = ( mol) ( JK 1 mol dm3 )( K)ln 4.00 dm 3 W = J = 4.45 kj Nun wird die Substanz als reales Gas betrachtet, die Van-der-Waals-Koeffizienten lauten a = 6.49 atm L mol - und b = L mol -1. (c) Geben Sie die Van-der-Waals-Koeffizienten a und b in SI-Einheiten an. (0 Punkte) 6.49 atm L Pa a = mol 1 atm m 6 1 L = mol a = mol L b = m 3 m3 6 = mol 1 L mol (d) Bestimmen Sie p im Gefäß (in Pa) mit Hilfe der Van-der-Waals-Gleichung. (30 Punkte) nrt p = V nb a (n V ) p = ( mol) ( JK 1 mol 1 )( K) m 3 ( mol)( m3 mol ) ( mol ) ( mol m 3) p = Pa = Pa =.99 MPa (e) Das Cl Gas wird isotherm auf ein Endvolumen von 3.0 dm 3 komprimiert. Bestimmen Sie mit Hilfe der Van-der-Waals-Gleichung die dabei verrichtete Arbeit. (30 Punkte) V W = p(v)dv, p = nrt V nb a (n V ) V W = [ nrt V nb a (n V ) ] dv W = W A + W B = nrtln ( V nb nb ) an [ 1 V 1 ] W A = nrtln ( V nb nb ) W A = ( mol) ( JK 1 mol 1 )( K) ln ( m 3 ( mol)( m 3 mol ) ) m 3 ( mol)( m3 mol )

6 W A = ( mol)( JK 1 mol 1 )( K) ln( ) = J W B = an [ 1 V 1 ] W B = ( mol ) ( mol) [ m m 3] W B = J W = W A + W B = J J = J = J =.47 kj Naturkonstanten und spezielle Größen: Atmosphärendruck: 1 atm = bar Boltzmann-Konstante: k = J K -1 Gaskonstante: R = kg m s - K -1 mol -1 Avogadro-Konstante: NA = mol -1 Lichtgeschwindigkeit: c = m s -1 Atomare Masseneinheit: u = kg Beschleunigung im freien Fall: g = 9.81 m s - Absoluter Nullpunkt: T(0 K) = C Spezifische Wärmekapazität von Wasser = J kg -1 K -1 Molare Massen: mmol (H) =.016 g mol -1 mmol (He) = g mol -1 mmol (CH4) = g mol -1 mmol (HO) = g mol -1 mmol (Ne) = g mol -1 mmol (N) = g mol -1 mmol (Luft) = g mol -1 mmol (O) = g mol -1 mmol (Ar) = g mol -1 mmol (CO) = g mol -1 mmol (Ethanol) = g mol -1 mmol (Cl) = g mol -1 mmol (festes Zinn) = g mol -1 mmol (Benzoesäure) = 1.1 g mol -1 mmol (Xe) = g mol -1 mmol (Biphenyl) = g mol -1

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