Laplace Transformation

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Lars Bruhn
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1 Department Mathematik der Univerität Hamburg SoSe 29 Dr. Hanna Peywand Kiani Laplace Tranformation Die in Netz getellten Kopien der Anleitungfolien ollen nur die Mitarbeit während der Verantaltung erleichtern. Ohne die in der Verantaltung gegebenen zuätzlichen Erläuterungen ind diee Unterlagen unvolltändig (z. Bp. fehlen oft weentliche Vorauetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Verantaltung angeagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieer Unterlagen an anderer Stelle it unteragt!

2 Differentialgleichungen II, SoSe 29, Anleitung ( Kiani) 2 Laplace Tranformation Ziel: Führe die Löung von Anfangwertaufgaben auf die Löung algebraicher Gleichungen zurück. Originalfunktionen: f : R R oder C heißt Originalfunktion, wenn f und die Ableitungen von f bi auf Sprungtellen tetig ind, wobei in jedem endlichen Intervall höchten endlich viele Sprungtellen auftauchen, f(t) Me σt f(t) = t <. Vorgehen: t : Wachtumkoeffizient σ Problem im Originalraum Problem im Bildraum Laplace Tranf. Rücktranf. Löung im Originalraum Löung im Bildraum y Y Laplace Tranformation: f(t) e t f(t)dt = : F () für R() > σ f F Anwendung auf Differentialgleichungen: heißt Korrepondenz DGL algebr. Gleichung löen y = Löung der DGL Y Beim gewöhnlichen Integrieren it man darauf angewieen möglicht viele elementare Integrale zu kennen bzw. nachchlagen zu können. Bei der Laplace Tranformation mu man viele Korrepondenzen kennen bzw. gute Tabellen haben. Die Tabellen beziehen ich immer auf Originalfunktionen. D.h. f(t) =, t <.

3 Differentialgleichungen II, SoSe 29, Anleitung ( Kiani) 3 f F σ d.h. h (t) h a (t) e a t n, n N e at, a C in(ωt), ω R co(ωt), ω R n! n+ a R(a) ω 2 + ω ω 2 δ(t) { einige Rechenregeln: E eien f F, g G owie h a (t) = t a. Dann gilt t < a I) αf + βg αf + βg Linearität II) f(αt) α > ( ) α F α Streckung im O Raum III) h a (t)f(t a) e a F () Verchiebung im O Raum a > IV ) e at f(t) F ( a) Verchiebung im a C Bildraum/ Mult. mit exp-fkt im O Raum V ) f (n) (t) n F () n f() Ableitungen im O-Raum n 2 f () f (n ) () V I) ( t) n f(t) F (n) () Ableitungen im Bildraum n N Mult. mit t n im O Raum V II) t f(τ)dτ F () Integration im O Raum V III) f(t) t f(µ)dµ Integration im Bildraum

4 Differentialgleichungen II, SoSe 29, Anleitung ( Kiani) 4 Für die Löung unerer Differentialgleichungen wichtig: Geucht Löung y. Wir nehmen an, da y eine Originalfunktion it und nennen die Laplacetranformierte Y. E gilt alo y Y. Dann it y Y y() y 2 Y y() y () y 3 Y 2 y() y () y () Beipiel : (Klauur 23, Str./Ki) Löen Sie die AWA y y 6y = e 2t, y() =, y () =, mit Hilfe der Laplace Tranformation. Wir bezeichnen mit Y () die Bildfunktion der noch unbekannten Löung y(t). Schritt ) Laplacetranformation der einzelnen Terme der AWA : y Y y() = Y y (Y ) y () = 2Y e 2t ( + 2) Tranformation der AWA ergibt alo 2 Y Y 6Y = ( + 2) ( 2 6 ) Y = + 3 ( + 2) Schritt 2) Löung der algebraichen Gleichung : ( 3)( + 2)Y = + 3 ( + 2) Y () = + 3 ( 3)( + 2) 2 Schritt 3) Rücktranformation : tn bekannt it : eat ( a) n+ n! alo machen wir eine PBZ: + 3 ( 3)( + 2) = a b ( + 2) + c = a( + 2) 2 + b( 3) + c( 3)( + 2) a = c = 6/25, b = 5/25 Y () = ( ( + 2) 6 ) Damit erhält man y(t) = 25 (6e3t 6e 2t 5te 2t )

5 Differentialgleichungen II, SoSe 29, Anleitung ( Kiani) 5 Beipiel 2 : Zu Löen ei die AWA: y + 9y = h (t) h 2 (t) y() = y () = Schritt ) Laplacetranformation der AWA : 2 Y + 9Y = e e 2 Schritt 2) Löung der algebraichen Gleichung : Y () = e e 2 ( 2 + 9) Schritt 3) Rücktranformation : Der Anatz ( 2 + 9) = α + β + γ liefert Y () = e e 2 9 und damit wegen h (t),. ( ) co(3t) y(t) = ( h (t ) [ co(3(t )) ] 9 h (t 2) [ + co(3(t 2)) ])

6 Differentialgleichungen II, SoSe 29, Anleitung ( Kiani) 6 Beipiel 3 : Zu Löen ei da Sytem: u 2(v u) = u() = v() = v + 2(v u) = u () = v () = Schritt ) Laplacetranformation der AWA : 2 U 2V + 2U = 2 V + 2V 2U = Schritt 2) Löung der algebraichen Gleichung : Einetzen in die zweite Gleichung ergibt 2 U + 2 V = 2 + U = V ( 2 + 2)V V = V = ( 2 + 4) ( 2 + 4) Der Anatz a + b + c 2 + k + d = ( 2 + 4) liefert a = 8, b =, c = 2, k =, d = 8. Schritt 3) Rücktranformation : V = t + 4 t2 + co(2t) = v(t) 8 U = V 2t + t2 2 v = t 8 co(2t) + 4 t2 + 8 = u(t)

7 Differentialgleichungen II, SoSe 29, Anleitung ( Kiani) 7 Aufgabe : Betimmen Sie die Laplace Tranformierten der folgenden Originalfunktionen Aufgabe 2: f(t) := 5e 2t, g(t) := t 2 in(3t), t + t < h(t) := inh(t) co(αt), k(t) := 3t t 2 ont Betimmen Sie die Originalfunktionen der folgenden Bildfunktionen der Laplace Tranformation + G() := ( ), F () := ( 2)( ). Aufgabe 3: Löen Sie die folgende Anfangwertaufgabe mit Hilfe der Laplace Tranformation. y + 2y 3y = e t + 2e 3t y() = y () =. Aufgabe 4: Löen Sie die folgenden Differentialgleichungyteme mit Hilfe der Laplace Tranformation a) x = y x() =, y = x + t y() = b) u 2(v u) = u() = v() = v + 2(v u) = u () = v () =. Aufgabe 5: Ermittlen Sie die Löung u(x, t) der folgenden Anfangwertaufgabe u t + 2u x + u =, x, t u(x, ) = (x ) u(, t) = t 2 (t ) mittel Laplace Tranformation bzgl. der Variablen t. Bei der Tranformation it x al Parameter aufzufaen. Im Bildraum it eine Anfangwertaufgabe bzgl. einer gewöhnlichen Differentialgleichung in x zu löen.

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