Einführung in die Logik (Vorkurs)

Transkript

1 Einführung in die Logik (Vorkurs) Jürgen Koslowski

2 Ein Beispiel Familie A will im kommenden Jahr eine Waschmaschine, ein Auto und ein Moped anschaffen. Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar. Zudem braucht die Familie mindestens ein Fortbewegungmittel. Wenn sie in den Urlaub fahren will, kann sie sich kein Auto leisten. Wenn sie nicht in den Urlaub fahren, muß sie aber ein Moped kaufen, um den Sohn zu besänftigen.

3 Ein Beispiel Familie A will im kommenden Jahr eine Waschmaschine, ein Auto und ein Moped anschaffen. Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar. Zudem braucht die Familie mindestens ein Fortbewegungmittel. Wenn sie in den Urlaub fahren will, kann sie sich kein Auto leisten. Wenn sie nicht in den Urlaub fahren, muß sie aber ein Moped kaufen, um den Sohn zu besänftigen. Zeigen Sie, dass Familie A ein Moped und kein Auto anschafft, sofern Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt.

4 Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich.

5 Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich. Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken.

6 Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich. Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken. Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander in Beziehung setzen:

7 Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich. Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken. Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander in Beziehung setzen: Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein:

8 Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich. Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken. Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander in Beziehung setzen: Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein: Der Kauf einer Waschmaschine/eines Autos/eines Mopeds wird mit W, A, bzw. M abgekürzt.

9 Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich. Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken. Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander in Beziehung setzen: Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein: Der Kauf einer Waschmaschine/eines Autos/eines Mopeds wird mit W, A, bzw. M abgekürzt. Weiterhin stehen B für den Erhalt eines Bonusses

10 Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich. Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken. Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander in Beziehung setzen: Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein: Der Kauf einer Waschmaschine/eines Autos/eines Mopeds wird mit W, A, bzw. M abgekürzt. Weiterhin stehen B für den Erhalt eines Bonusses und U für den Antritt einer Urlaubsreise.

11 Solche Probleme direkt anzugehen wird schnell unübersichtlich. Wir würden sie lieber mechanisch lösen, ohne weiter nachzudenken. Zunächst wollen wir die Informationen extrahieren und miteinander in Beziehung setzen: Dazu führen wir für die relevanten Aktionen Abkürzungen ein: Der Kauf einer Waschmaschine/eines Autos/eines Mopeds wird mit W, A, bzw. M abgekürzt. Weiterhin stehen B für den Erhalt eines Bonusses und U für den Antritt einer Urlaubsreise. Diese verknüpfen wir dann gemäß der (informell sicherlich bekannten) logischen Junktoren nicht, und, oder, impliziert Tautologie, Absurdität

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13 Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. B (W A M)

14 Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. B (W A M) Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar. W

15 Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. B (W A M) Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar. Die Familie braucht mindestens ein Fortbewegungsmittel. W A M

16 Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. B (W A M) Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar. Die Familie braucht mindestens ein Fortbewegungsmittel. W A M Wenn sie in den Urlaub fahren will, kann sie sich kein Auto leisten. U A

17 Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus nicht bekommt, können sie sich nicht alles leisten. B (W A M) Die Waschmaschine ist aber unverzichtbar. Die Familie braucht mindestens ein Fortbewegungsmittel. W A M Wenn sie in den Urlaub fahren will, kann sie sich kein Auto leisten. U A Wenn sie nicht in den Urlaub fahren, muß sie aber ein Moped kaufen. U M

18 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( )

19 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( ) Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus

20 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( ) Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können)

21 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( ) Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können) logischen Junktoren

22 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( ) Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können) logischen Junktoren Hilfssymbolen wie Klammern

23 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( ) Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können) logischen Junktoren Hilfssymbolen wie Klammern bildet man Formeln gemäß bestimmter Regeln,

24 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( ) Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können) logischen Junktoren Hilfssymbolen wie Klammern bildet man Formeln gemäß bestimmter Regeln, denen die Stelligkeit der Junktoren

25 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( ) Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können) logischen Junktoren Hilfssymbolen wie Klammern bildet man Formeln gemäß bestimmter Regeln, denen die Stelligkeit der Junktoren und die korrekte Klammerung zugrunde liegen:

26 Syntax Nun verbinden wir all diese Aussagen mittels und ( ): ( B (W A M)) W (A M) (U A) ( U M) ( ) Das bisherige Vorgehen ist syntaktisch: mit einem Alphabets aus atomaren Aussagen (die wahr oder falsch sein können) logischen Junktoren Hilfssymbolen wie Klammern bildet man Formeln gemäß bestimmter Regeln, denen die Stelligkeit der Junktoren und die korrekte Klammerung zugrunde liegen: unär,,, binär

27 Semantik Mit der obigen Formel ( ) kann man noch nicht viel anfangen, wir müssen sie umformen.

28 Semantik Mit der obigen Formel ( ) kann man noch nicht viel anfangen, wir müssen sie umformen. Das erfordert aber eine Interpretation der logischen Junktoren, d.h., welche Wahrheitswerte zusammengesetzten Formeln zuzuordnen sind, sofern die Werte der Teilformeln bekannt sind.

29 Semantik Mit der obigen Formel ( ) kann man noch nicht viel anfangen, wir müssen sie umformen. Das erfordert aber eine Interpretation der logischen Junktoren, d.h., welche Wahrheitswerte zusammengesetzten Formeln zuzuordnen sind, sofern die Werte der Teilformeln bekannt sind. Dann spricht man von Semantik.

30 Semantik Mit der obigen Formel ( ) kann man noch nicht viel anfangen, wir müssen sie umformen. Das erfordert aber eine Interpretation der logischen Junktoren, d.h., welche Wahrheitswerte zusammengesetzten Formeln zuzuordnen sind, sofern die Werte der Teilformeln bekannt sind. Dann spricht man von Semantik. Diese kann Wahrheitstabellen verwenden, oder algebraisch vorgehen: belegt α die relevanten atomaren Aussagen mit Wahrheitswerten aus {0, 1}, so definiert man (klassisch) α( φ) = 1 α(φ) α(φ ψ) = inf{ α(φ), α(ψ)} α(φ ψ) = sup{ α(φ), α(ψ)} α(φ ψ) = sup{1 α(φ), α(ψ)}

31 Semantik Mit der obigen Formel ( ) kann man noch nicht viel anfangen, wir müssen sie umformen. Das erfordert aber eine Interpretation der logischen Junktoren, d.h., welche Wahrheitswerte zusammengesetzten Formeln zuzuordnen sind, sofern die Werte der Teilformeln bekannt sind. Dann spricht man von Semantik. Diese kann Wahrheitstabellen verwenden, oder algebraisch vorgehen: belegt α die relevanten atomaren Aussagen mit Wahrheitswerten aus {0, 1}, so definiert man (klassisch) α( φ) = 1 α(φ) α(φ ψ) = inf{ α(φ), α(ψ)} α(φ ψ) = sup{ α(φ), α(ψ)} α(φ ψ) = sup{1 α(φ), α(ψ)} φ heißt erfüllbar, wenn eine Belegung α existiert mit α(φ) = 1.

32 Umformungsregeln Als Konsequenz der Semantik erhält man Äquivalenzregeln zwischen Formeln, unter anderem X Y Y X (X Y ) X Y X X

33 Umformungsregeln Als Konsequenz der Semantik erhält man Äquivalenzregeln zwischen Formeln, unter anderem X Y Y X (X Y ) X Y X X Damit läßt sich ( ) umformen in konjunktive Normalform (KNF) ( W A M B) W (A M) ( A U) (M U) ( )

34 Umformungsregeln Als Konsequenz der Semantik erhält man Äquivalenzregeln zwischen Formeln, unter anderem X Y Y X (X Y ) X Y X X Damit läßt sich ( ) umformen in konjunktive Normalform (KNF) ( W A M B) W (A M) ( A U) (M U) ( ) eine Konjunktion ( und -Verknüpfung) sogenannter Klauseln, die wiederum aus Disjunktionen ( oder -Verknüpfungen) atomarer Aussagen oder deren Negationen, sogenannter Literale, bestehen.

35 Resolventen Definition Eine Resolvente zweier Klauseln der Form φ X und X ψ, wobei φ und ψ selber Klauseln sind, wird durch φ ψ gegeben.

36 Resolventen Definition Eine Resolvente zweier Klauseln der Form φ X und X ψ, wobei φ und ψ selber Klauseln sind, wird durch φ ψ gegeben. Satz Ist σ eine Formel in KNF und τ eine Resolvente zweier Klauseln von σ, dann gilt σ σ τ.

37 Resolventen Definition Eine Resolvente zweier Klauseln der Form φ X und X ψ, wobei φ und ψ selber Klauseln sind, wird durch φ ψ gegeben. Satz Ist σ eine Formel in KNF und τ eine Resolvente zweier Klauseln von σ, dann gilt σ σ τ. Satz Eine Formel in KNF ist genau dann nicht erfüllbar, wenn aus ihr die Absurdität als Resolvente herleitbar ist.

38 Resolventen Definition Eine Resolvente zweier Klauseln der Form φ X und X ψ, wobei φ und ψ selber Klauseln sind, wird durch φ ψ gegeben. Satz Ist σ eine Formel in KNF und τ eine Resolvente zweier Klauseln von σ, dann gilt σ σ τ. Satz Eine Formel in KNF ist genau dann nicht erfüllbar, wenn aus ihr die Absurdität als Resolvente herleitbar ist. Dies ermöglicht die mechanische Behandlung der Ausgangsfrage:

39 Auflösung der Frage ( W A M B) W (A M) ( A U) (M U) ( ) liefert zusammen mit der Voraussetzung B u.a. die Resolventen A M, A U und somit A.

40 Auflösung der Frage ( W A M B) W (A M) ( A U) (M U) ( ) liefert zusammen mit der Voraussetzung B u.a. die Resolventen A M, A U und somit A. Beim Kauf eines Autos wäre die Klausel A hinzuzufügen, die mit der Resolvente A die Resolvente erzeugt; damit ist der Kauf eines Autos nicht mit den anderen Voraussetzungen einschließlich B verträglich.

41 Auflösung der Frage ( W A M B) W (A M) ( A U) (M U) ( ) liefert zusammen mit der Voraussetzung B u.a. die Resolventen A M, A U und somit A. Beim Kauf eines Autos wäre die Klausel A hinzuzufügen, die mit der Resolvente A die Resolvente erzeugt; damit ist der Kauf eines Autos nicht mit den anderen Voraussetzungen einschließlich B verträglich. Beim Kauf eines Mopeds wäre die Klausel M hinzuzufügen, mit der die neuen Resolventen W A B. Aber läßt sich nicht erzeugen, insofern ist der Kauf eines Mopeds mit den anderen Voraussetzungen einschließlich B verträglich.

42 Zeitkomplexität Leider ist die Resolutionsmethode nicht effizient. Bei Formeln der Länge O(n) kann bereits die Umwandlung in KNF eine Zeitkomplexität von O(2 n ) aufweisen. Aber selbst bei Formeln, die bereits in KNF vorliegen, kann die Resolutionsmethode exponentiell viele Schritte erfordern.

43 Zeitkomplexität Leider ist die Resolutionsmethode nicht effizient. Bei Formeln der Länge O(n) kann bereits die Umwandlung in KNF eine Zeitkomplexität von O(2 n ) aufweisen. Aber selbst bei Formeln, die bereits in KNF vorliegen, kann die Resolutionsmethode exponentiell viele Schritte erfordern. Definition Unter einer Hornformel versteht man eine Formel in KNF, in der pro Klausel höchstens ein positives Literal und keine negatives Literal doppelt vorkommt.

44 Zeitkomplexität Leider ist die Resolutionsmethode nicht effizient. Bei Formeln der Länge O(n) kann bereits die Umwandlung in KNF eine Zeitkomplexität von O(2 n ) aufweisen. Aber selbst bei Formeln, die bereits in KNF vorliegen, kann die Resolutionsmethode exponentiell viele Schritte erfordern. Definition Unter einer Hornformel versteht man eine Formel in KNF, in der pro Klausel höchstens ein positives Literal und keine negatives Literal doppelt vorkommt. Für Hornformeln existieren Algorithmen zur Analyse der Erfüllbarkeit, deren Laufzeit höchstens quadratisch in der Anzahl der Literale ist (mit Wiederholungen).

45 Bemerkungen Im realen Leben, etwa in der Bahnindustrie, werden zur Steuerung von Weichenanlagen Formeln mit bis zu atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet. Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable ).

46 Bemerkungen Im realen Leben, etwa in der Bahnindustrie, werden zur Steuerung von Weichenanlagen Formeln mit bis zu atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet. Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable ). SAT ist das prototypische NP-vollständige Problem, bisher nicht deterministisch in polynomialer Zeit in der Größe der Eingabe zu lösen (vergl. Theoretische Informatik 2).

47 Bemerkungen Im realen Leben, etwa in der Bahnindustrie, werden zur Steuerung von Weichenanlagen Formeln mit bis zu atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet. Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable ). SAT ist das prototypische NP-vollständige Problem, bisher nicht deterministisch in polynomialer Zeit in der Größe der Eingabe zu lösen (vergl. Theoretische Informatik 2). Die Programmiersprache Prolog basiert auf dem Konzept der Hornformeln.

48 Bemerkungen Im realen Leben, etwa in der Bahnindustrie, werden zur Steuerung von Weichenanlagen Formeln mit bis zu atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet. Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable ). SAT ist das prototypische NP-vollständige Problem, bisher nicht deterministisch in polynomialer Zeit in der Größe der Eingabe zu lösen (vergl. Theoretische Informatik 2). Die Programmiersprache Prolog basiert auf dem Konzept der Hornformeln. In der Aussagenlogik ist alles was syntaktisch herleitbar ist auch wahr ist (Korrektheit), und alles was wahr ist, auch syntaktisch herleitbar (Vollständigkeit).

49 Prädikatenlogik Das obige Beispiel stammte aus der Logik atomarer und zusammengesetzter Aussagen, die wahr oder falsch sein können.

50 Prädikatenlogik Das obige Beispiel stammte aus der Logik atomarer und zusammengesetzter Aussagen, die wahr oder falsch sein können. Die Prädikatenlogik (auch als Logik der ersten Stufe bekannt) ist viel stärker als die Aussagenlogik, denn sie ermöglicht es, Aussagen über die Objekte eines spezifischen mathematischen Universums zu formulieren, genauer, über Eigenschaften solcher Objekte, Relationen zwischen derartigen Objekten, und Funktionen, die auf Teilmengen solcher Objekte definiert sind.

51 Syntax der Prädikatenlogik In der Prädikatenlogik werden symbolische Vertreter der für das konkrete Universum intendierten Funktionen und Relationen in einer Signatur zusammengefasst.

52 Syntax der Prädikatenlogik In der Prädikatenlogik werden symbolische Vertreter der für das konkrete Universum intendierten Funktionen und Relationen in einer Signatur zusammengefasst. Mittels der Funktionssymbole der Signatur lassen sich Terme bilden, deren Auswertung in konkreten Modellen bestimmte Elemente der Grundmenge liefern.

53 Syntax der Prädikatenlogik In der Prädikatenlogik werden symbolische Vertreter der für das konkrete Universum intendierten Funktionen und Relationen in einer Signatur zusammengefasst. Mittels der Funktionssymbole der Signatur lassen sich Terme bilden, deren Auswertung in konkreten Modellen bestimmte Elemente der Grundmenge liefern. Die atomaren Formeln der Prädikatenlogik postulieren die Gleichheit von Termen, oder dass bestimmte Terme in spezifischen Relationen der Signatur stehen.

54 Syntax der Prädikatenlogik In der Prädikatenlogik werden symbolische Vertreter der für das konkrete Universum intendierten Funktionen und Relationen in einer Signatur zusammengefasst. Mittels der Funktionssymbole der Signatur lassen sich Terme bilden, deren Auswertung in konkreten Modellen bestimmte Elemente der Grundmenge liefern. Die atomaren Formeln der Prädikatenlogik postulieren die Gleichheit von Termen, oder dass bestimmte Terme in spezifischen Relationen der Signatur stehen. Der Abschluss dieser Menge unter aussagenlogischer Verknüpfung mittels Junktoren und unter Quantifizierung mittels neuer Quantoren ( für alle ) und ( es existiert ) liefert die Menge der Formeln für die gegebene Signatur.

55 Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele solcher Formeln.

56 Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele solcher Formeln. Z.B. wird die Funktion f (x) ist stetig in Punkt 2

57 Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele solcher Formeln. Z.B. wird die Funktion f (x) ist stetig in Punkt 2 häufig wie folgt mit Hilfe von Quantoren leicht schlampig formuliert:

58 Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele solcher Formeln. Z.B. wird die Funktion f (x) ist stetig in Punkt 2 häufig wie folgt mit Hilfe von Quantoren leicht schlampig formuliert: ε > 0 : δ > 0 : x : ( x 2 < δ ( f (x) f (2) < ε))

59 Auch wenn sich das sehr abstrakt anhört kennen Sie alle Beispiele solcher Formeln. Z.B. wird die Funktion f (x) ist stetig in Punkt 2 häufig wie folgt mit Hilfe von Quantoren leicht schlampig formuliert: ε > 0 : δ > 0 : x : ( x 2 < δ ( f (x) f (2) < ε)) Mit den einstelligen Funktionssymbolen f (x) und a(x) (für Betrag) und dem 2-stelligen m(x, y) (für Differenz), den Konstanten 0 und 2 und dem zweistelliges Prädikat >: bekommt die obige Formel die korrekte aber leider etwas unübersichtlichere Form ε : (ε > 0 δ : δ > 0 x : ( δ > a(m(x, 2)) ε > a(m(f (x), f (2))) ))

60 Semantik der Prädikatenlogik Die Semantik von Σ-Formeln erfordert konkrete Funktionen und Relationen gemäß der Symbole in Σ auf einer gegebenen Grundmenge A.

61 Semantik der Prädikatenlogik Die Semantik von Σ-Formeln erfordert konkrete Funktionen und Relationen gemäß der Symbole in Σ auf einer gegebenen Grundmenge A. Terme spezifizieren dann konkrete Elemente von A.

62 Semantik der Prädikatenlogik Die Semantik von Σ-Formeln erfordert konkrete Funktionen und Relationen gemäß der Symbole in Σ auf einer gegebenen Grundmenge A. Terme spezifizieren dann konkrete Elemente von A. Bei der Interpretation von x : φ bzw. x : φ sind alle Elemente der Grundmenge A für die nunmehr freie Variable x in φ zu substituieren, und das Infimum, bzw. Supremum aller resultierenden Wahrheitswerts zu bilden.

63 Semantik der Prädikatenlogik Die Semantik von Σ-Formeln erfordert konkrete Funktionen und Relationen gemäß der Symbole in Σ auf einer gegebenen Grundmenge A. Terme spezifizieren dann konkrete Elemente von A. Bei der Interpretation von x : φ bzw. x : φ sind alle Elemente der Grundmenge A für die nunmehr freie Variable x in φ zu substituieren, und das Infimum, bzw. Supremum aller resultierenden Wahrheitswerts zu bilden. Hier können wir nicht in die Tiefe gehen.

64 Inhalt der Vorlesung (1) Einleitung (2) Aussagenlogik (3) Eigenschaften von Formeln (4) Normalformen (5) Resolutionsmethode der Aussagenlogik (6) Semantische Folgerung (7) Natürliche Deduktion (8) Horn Logik (9) Syntax der Prädikatenlogik (10) Semantik der Prädikatenlogik (11) Logische Äquivalenz (12) Normalformen (13) Herbrandtsche Modelle und abstrakte Datentypen (14) Resolutionsmethode der Prädikatenlogik