Vergleichsklausur 2006 für Jahrgangsstufe 11

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1 Vergleichsklausur 006 für Jahrgangsstufe Termin: ,. und 4. Stunde reine Arbeitszeit: 90 min Jeder Schüler muss drei Aufgaben bearbeiten. Die. Aufgabe und. Aufgabe (Analysis) sind verpflichtende Aufgaben für alle Schüler. Zusätzlich muss der Fachlehrer für seinen Kurs entweder die. Aufgabe (Koordinatengeometrie) oder die 4. Aufgabe (beschreibende Statistik) zur Bearbeitung auswählen.. Aufgabe Die folgende Zeichnung zeigt den Graphen der Funktion f mit 9 f ( x) = x x +. 6 a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph in ( 0 ) und ( 0) 4 Extrempunkte hat. b) Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen. Begründen Sie, dass jede ganzrationale Funktion dritten Grades genau einen Wendepunkt hat. c) Die Tangente an den Graphen an der Stelle x = schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. d) Zeichnen Sie die Gerade durch die beiden Extrempunkte in die obige Zeichnung ein. Weisen Sie rechnerisch nach, dass diese Gerade nicht mit der Wendetangente übereinstimmt. e) Der Graph schließt zwischen x = 0 und x = 4 mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Ermitteln Sie die Größe dieser Fläche auf möglichst geschickte Weise.

2 . Aufgabe Ein Wissenschaftler hat im Rahmen einer Forschungsarbeit das Wachstum einer Bakterienkultur in einem Gefäß beobachtet. Alle zwei Stunden wurde von ihm die Größe der von den Bakterien bedeckten Fläche gemessen. Seine Messwerte sind in folgendem Koordinatensystem dargestellt: Bedeckte Fläche in cm :00 0:00 :00 4:00 6:00 8:00 0:00 :00 0:00 :00 4:00 6:00 8:00 0:00 :00 4:00 6:00 8:00 0:00 :00 Uhrzeit Der Wissenschaftler modelliert die Messreihe durch die folgende Funktion: A( t) = 0,005 t + 0, t + 0,9 t + A (t) : Fläche (Einheit: cm ) t: Zeit seit dem Beobachtungsbeginn um 8.00 Uhr (Einheit: h) Mit dieser Funktion ist es nun möglich, die Fragestellungen in den Aufgaben a) bis c) bearbeiten. a) Berechnen Sie die Größe der um 5.00 Uhr nachts von Bakterien bedeckten Fläche. b) Bestimmen Sie die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur (in cm ) zwischen dem Beobachtungsbeginn und 5.00 Uhr nachts. h c) Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit genauso groß wie zu Beginn der Beobachtung? Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Bakterienkultur am schnellsten wächst. Bis zu welchem Zeitpunkt wächst im vorgegebenen Modell die bedeckte Fläche? d) Ein Kollege des Wissenschaftlers ist der Meinung, dass die zur Modellierung verwendete Funktion das Versuchsergebnis nicht angemessen beschreibt. Geben Sie mindestens einen Grund für die Kritik des Kollegen an.

3 . Aufgabe a) In der Anlage zu Aufgabe sind eine Gerade g und ein Kreis k dargestellt. Ermitteln Sie die Gleichungen von g und k. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte A und B der Geraden g mit dem Kreis k. b) Zeichnen Sie in die Anlage zu Aufgabe die Gerade g ein, die durch den Ursprung O und durch den Punkt T (6 8) verläuft. Weisen Sie rechnerisch nach, dass T auf dem Kreis liegt und dass der Winkel OTM ein rechter Winkel ist. c) Die vom Ursprung O ausgehenden Strecken OA und OB bezeichnet man als Sekantenabschnitte. Zeigen Sie durch eine exakte Rechnung, dass für die Länge der Sekantenabschnitte gilt: OA OB = 00. (Hinweis: Falls Sie A und B in Aufgabe a) nicht berechnen konnten, können Sie die ganzzahligen Koordinaten der Zeichnung entnehmen.) d) In einem Mathematikbuch findet man folgenden geometrischen Sachverhalt: Gegeben ist ein Kreis k. Für alle Ursprungsgeraden g, die diesen Kreis k in zwei Punkten A und B schneiden, ist das Produkt OA OB gleich groß. Untersuchen Sie, ob sich diese Aussage sinnvoll auf die Tangente g erweitern lässt. Hinweis zur Aufgabe Wegen der unterschiedlichen Schreibweisen in den Schulbüchern weisen wir darauf hin, dass die Schreibweise OA zweierlei bedeuten kann: () die Strecke zwischen den Endpunkten O und A () die Länge der Strecke zwischen O und A. Manche Schulbücher schreiben für die Länge der Strecke stattdessen OA bzw. OA.

4 Anlage zu Aufgabe

5 4. Aufgabe In vielen Ländern mit sehr kaltem Winter ist es selbstverständlich, dass Autos, auch Lkws, über zugefrorene Seen fahren. Die Tabelle gibt eine ungefähre Vorstellung von der theoretisch sicheren Eisdicke für unterschiedliche Gewichte (nach Schotts Sammelsurium, Berlin 004, S. 5). Belastung x in t Dicke y in cm 7 5, , a) Im Koordinatensystem sind die fünf Datenpunkte dargestellt. Berechnet man hierzu die Gleichung der Regressionsgeraden, so erhält man y = 0,77x + 6 (gerundet). Berechnen Sie den Datenschwerpunkt und zeichnen Sie die Regressionsgerade in das Koordinatensystem ein. Koordinatensystem Koordinatensystem b) Berechnen Sie den Schätzwert für die sichere Eisdicke bei einer Belastung von 40 t mit der Gleichung der Regressionsgeraden. Wird Ihrer Meinung nach die tatsächliche sichere Eisdicke größer oder kleiner als dieser Schätzwert sein? Begründen Sie mit Hilfe der Zeichnung aus a). c) In der kanadischen Provinz Manitoba verwendet man ein anderes Verfahren: Man benutzt eine Wurzelfunktion, um aus der bekannten Belastung durch das Fahrzeuggewicht x in t die notwendige Eisdicke y in cm zu schätzen. Bezogen auf unsere Daten verwenden wir hier y = 9, 08 x. Der zugehörige Graph ist in Koordinatensystem abgebildet. Berechnen Sie mit dieser Funktion einen Schätzwert für die mögliche Belastung bei einer gemessenen Eisdicke von 55 cm. Teilaufgaben d) und e) folgen

6 d) Ermitteln Sie mit Hilfe einer Methode Ihrer Wahl, ob der Graph der Wurzelfunktion oder der Graph der linearen Funktion besser zu den ersten drei Datenpunkten passt. e) Welche der beiden Funktionen ist besser geeignet, um die sichere Eisdicke bei größeren Belastungen als 70 t zu schätzen? Begründen Sie Ihre Meinung.

7 Lösungen Nr. a b c d e 9 9 f '( x) = x x f ''( x) 8 f '( x) = 0... x = 0 x = 4 9 = x 6 9 Damit ergeben sich wegen ''(0) = < f ''(4) = > 0 ein Tiefpunkt T ( 4 0) f ''( x) = x = 0 x = Wegen f '''( x) = ist f '''() 0. 6 Damit erhält man einen Wendepunkt W. 9 8 f ein Hochpunkt ( 0) H und wegen Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist eine lineare Funktion, deren Graph nicht parallel zur x-achse verläuft. Daher besitzt die zweite Ableitung genau eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel. Damit folgt die Behauptung. 9 Aus m = f '() = und t( ) = f () = ergibt sich die Tangentengleichung t ( x) = x Die Tangente schneidet die Achsen in S 0 und S 0. 4 Für den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhält man damit: 5 0 A = = 6,5 FE. 4 Der Nachweis, dass die eingezeichnete Gerade nicht mit der Wendetangente übereinstimmt, erfolgt z.b. durch Vergleich der Steigungen oder der y-achsenabschnitte der beiden Geraden. Die Lösungen sollten entsprechend den Vorkenntnissen des Kurses bepunktet werden. Eine Lösung ergibt sich zum Beispiel durch die Punktsymmetrie: Die Größe der gesuchten Fläche stimmt mit der Größe des Dreiecks überein, das durch die in d) eingezeichnete Gerade im. Quadranten entsteht. Es ergibt sich damit ein Flächeninhalt von 6 FE. Weitere Lösungsverfahren sind denkbar, z.b. anschauliche Argumentation, Näherungsverfahren. Punkte 5 4 Summe: 8

8 a b Um 5 Uhr sind Stunden seit dem Beobachtungsbeginn um 8 Uhr vergangen. A() = 0, , + 0,9 + = 6,795 Im Modell ergibt sich um 5 Uhr nachts eine Fläche von ca. 6 cm. v d A() A(0) = =,895 0 Im Modell ergibt sich eine durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit vd zwischen Beobachtungsbeginn und 5 Uhr nachts von ca.,9 cm. h c Gesucht ist die Zeit t, für die gilt: A'( t) = A'(0). Wegen '( ) 0,05 0,4 0,9 A t = t + t + und A '(0) = 0,9 folgt: 0,05t + 0, 4t + 0,9 = 0,9... t = 0 t = 6. Nach 6 Stunden und 40 Minuten, d.h. um 0:40 Uhr, entspricht die Wachstumsgeschwindigkeit im Modell wieder der Anfangsgeschwindigkeit von 8 Uhr. Zur Berechnung des Zeitpunktes, zu dem die Bakterienkultur am schnellsten wächst, ist das relative Maximum von A'( t) zu bestimmen. A''( t) = 0,0t + 0, 4 A''( t) = 0 t = A' '' = 0,0 < 0 Nach Stunden und 0 Minuten, d.h. um :0 Uhr, wächst die mit Bakterien bedeckte Fläche im Modell am schnellsten. d Zur Bestimmung des Zeitpunktes, bis zu dem im vorgegebenen Modell die bedeckte Fläche wächst, muss das Maximum der Funktion A bestimmt werden. A ( t) = 0... t = (40 40) t = ( ) Wegen A' ' ( ) < 0 liegt in t = ( ) 8, 75 ein Maximum vor. Nach dem Beobachtungsbeginn um 8 Uhr wächst im Modell die Fläche ca. 8 Stunden und 45 Minuten, d.h. bis ca. :45 Uhr am folgenden Tag. Die Schüler können z. B. auf folgende Aspekte hinweisen: Das Modell erfasst die Messwerte nach dem Maximum um :45 Uhr nicht mehr richtig. Die graphische Darstellung zeigt, dass die Messwerte nach diesem Zeitpunkt nicht abnehmen und sogar noch geringfügig zu wachsen scheinen. Im Modell erreicht die Ausdehnung der bedeckten Fläche um ca. :45 Uhr am zweiten Tag ihren größten Wert und fällt danach schnell ab. Die Bakterienfläche nimmt schließlich sogar negative Werte an, was im Kontext keinen Sinn ergibt. Ausreißer (z. B. der Meßwert um.00 Uhr) können durch diese ganzrationale Funktion nicht erfasst werden. Summe: 6

9 a Geradengleichung: g : y = x Kreisgleichung: k : ( x 0) + ( y 5) = 5 Mittels Einsetzungsverfahren folgt: ( x 0) + ( x 5) = 5 x 0x + 5 = 5 x 5x + 50 = 0... x = 5 x = 0 B 0 0. Schnittpunkte sind ( 5 5) A und ( ) 4 b c d Durch Einsetzen der Koordinaten von T in die Gleichung von k ergibt sich (6 0) + (8 5) = 5. T liegt also auf dem Kreis. Nachweis, dass OTM ein rechter Winkel ist:. Möglichkeit: 8 4 Die Gerade g durch O und T hat die Steigung m OT = = Die Gerade durch M und T hat die Steigung m MT = = Wegen m m = ist OTM ein rechter Winkel. OT TM. Möglichkeit: 4 Die Gerade g : y = x hat keinen zweiten Schnittpunkt mit k, ist also eine Tangente. Dies erkennt man nach einer Rechnung wie unter a), z. B. mit Hilfe der. binomischen Formel ( x 0) + ( x 5) = 5 x x + 5 = 5 x x + 6 = x = 6. Möglichkeit: Im Dreieck OMT gilt OT + MT = = 5 = OM. Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras ist OTM ein rechter Winkel. Für die Länge der Sekantenabschnitte ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras: OA = = 50 und OB = = 00. Produkt der Sekantenabschnitte: OA OB = = 0000 = 00. Folgende Überlegung zeigt, dass die Erweiterung auf die Tangente möglich ist: Für die Länge des Tangentenabschnittes ergibt sich OT = 0. Wenn man nun von einem doppelten Schnittpunkt ausgeht, so gilt: OT OT = 00. Folgende weitergehende Überlegung, die aus der Differentialrechnung erwachsen kann, zeigt, dass diese Erweiterung auch sinnvoll ist: Bewegt man die Sekante g im Gegenuhrzeigersinn, so lässt sie sich beliebig der Tangente g annähern, wobei das Produkt der Sekantenabschnitte unverändert gleich 00 ist. Die Schnittpunkte rücken immer weiter zusammen und nähern sich beliebig dicht an den Punkt T an. Summe: 6

10 Anlage zur Lösung von Aufgabe

11 4a Schwerpunkt: x = ( 7 t + 5 t + 5 t + 45 t + 70 t) : 5 =,4 t y = 5,5 cm + 8 cm + 5cm + 6,5 cm + 76 cm : 5 = 50,8 ( ) cm Der Schwerpunkt ist S (,4 50,8). Zeichnung der Regressionsgeraden: 4b 4c Der Schätzwert für die sichere Eisdicke bei einer Belastung von 40 t ergibt sich hier durch Einsetzen in die Regressionsgerade: y = 0, = 56,8. Der Schätzwert beträgt also 56,8 cm. Man kann annehmen, dass die tatsächliche sichere Eisdicke größer ist als der Schätzwert 56,8 cm, denn die y-werte der Datenpunkte rechts und links von x = 40 liegen oberhalb der Regressionsgeraden. Der Schätzwert ergibt sich durch Einsetzen in die Wurzelfunktion: = 9,08 x, also ist x = 9,08 6,7. Bei einer Eisdicke von 55 cm ergibt sich eine mögliche Belastung von 6,7 t.

12 4d Um zu ermitteln, welche der beiden Funktionen besser zu den ersten drei Datenpunkten passt, können die Schüler zum Beispiel die absoluten oder die quadratischen vertikalen Abweichungen berechnen. Absolute Abweichungen (ggf. gerundet): x in t y in cm y = 0,77x + 6 abs. Abw. y = 9,08 x abs. Abw. 7 5,5,9 5,89 4,0, ,55 0,45 5,7, ,5 5,75 45,4 5,60 Summe,09 9,9 Quadratische Abweichungen (ggf. gerundet): x in t y in cm y = 0,77x + 6 quad. Abw. y = 9,08 x abs. Abw. 7 5,5,9 4,69 4,0, ,55 0,0 5,7 8, ,5,06 45,4,6 Summe 67,96 4,57 6 4e Indem man die jeweiligen Summen vergleicht, erkennt man, dass der Graph der Wurzelfunktion besser zu den ersten drei Datenpunkten passt. Da die Aufgabe offen gestellt wurde, müssen auch andere sinnvolle Lösungsmöglichkeiten, die alle drei Datenpunkte und Eigenschaften der beiden Funktionen aufgreifen, zur Höchstpunktzahl der Teilaufgabe führen. Sinnvolle Schülerantworten sind z.b.: Wenn ich die Datenpunkte verbinde, erhalte ich eine Kurve, die dem Graphen der Wurzelfunktion ähnlich sieht. Daher nehme ich an, dass die Wurzelfunktion besser geeignet ist, um die sichere Eisdicke bei größeren Belastungen als 70 t zu schätzen. Die Steigung zwischen zwei Datenpunkten wird geringer, je weiter die Punkte im Koordinatensystem rechts liegen. Diese Eigenschaft haben auch Punkte auf dem Graphen der Wurzelfunktion. Daher nehme ich an... Für große x liegt der Graph der linearen Funktion oberhalb des Graphen der Wurzelfunktion. Bei der linearen Funktion wird also einer bestimmten Belastung eine höhere Eisdicke zugeordnet. Wenn man sicher sein will, dass man nicht einbricht, sollte man also mit der linearen Funktion schätzen. Summe: 6