Die Normalverteilung. Mathematik W30. Mag. Rainer Sickinger LMM, BR. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 1 / 51

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1 Mathematik W30 Mag. Rainer Sickinger LMM, BR v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 1 / 51

2 Einführung Heute nehmen wir uns die Normalverteilung vor. Bis jetzt konnte unsere Zufallsvariable (das X in P(X =?)) immer nur ganzzahlige Werte annehmen! Bei der Normalverteilung kann nun X alle Werte in einem Intervall annehmen! v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 2 / 51

3 Einführung Wir erinnern uns an die Binomialverteilung: Hier haben wir unter anderem folgende Wahrscheinlichkeiten ausrechnen können: P(X = 40), P(X = 20) oder P(X = 3). Die Zufallsvariable X hat immer einen ganzen Wert annehmen müssen. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 3 / 51

4 Einführung Wie sieht nun so eine Normalverteilung aus? Viele Werte in der Natur, wie Intelligenz oder Körpergröße (eines einzigen Geschlechts), sind normalverteilt. Aber auch zum Beispiel das Einkommen aller Bürger ist normalverteilt. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 4 / 51

5 Ein Beispiel Beispiel Eier Auf einer Hühnerfarm mit sehr vielen Hühnern werden eine Woche lang die einzelnen Eier gewogen. Definieren wir die Zufallsvariable X: Gewicht eines Eies in Gramm. Es ergibt sich folgendes Wahrscheinlichkeitsdiagramm, da die Werte normalverteilt sind. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 5 / 51

6 Ein Beispiel Wenn wir nun unser Wahrscheinlichkeitsdiagramm betrachten, ist es wahrscheinlicher dass das Gewicht eines Eies zwischen 45 und 55 Gramm liegt, als zwischen 35 und 40 Gramm oder zwischen 60 und 65 Gramm. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 6 / 51

7 Erwartungwert und Standardabweichung Wie kommt man nun auf diese Kurve, die man auch Gauß sche Glockenkurve nennt. Beim Abwiegen vieler Eier stellt sich heraus, dass ein Ei im Durchschnitt 50 Gramm wiegt, und es ist bekannt dass die Varianz σ 2 = 25g 2 beträgt. Der Durchschnitt oder Erwartungwert µ beträgt also µ = 50g Die Standardabweichung σ ist also σ = σ 2 = 5g Um eine Normalverteilung zeichnen oder damit rechnen zu können, benötigen wir immer den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ! v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 7 / 51

8 Die Gauß sche Glockenkurve Folgende Funktion erzeugt uns die Gauß sche Glockenkurve: Definition (Gauß sche Glockenkurve) Die Kurve, die durch die Funktion ϕ : R R ϕ(x) = 1 σ 2π e 1 2 ( x µ σ )2 mit dem Erwartungswert µ und der Standardabweichung σ erzeugt wird, nennt man Gauß sche Glockenkurve. 1 Bemerkung: Wegen σ in der Funktion, liegen alle 2π Funktionswerte zwischen 0 und 1! Bemerkung: ϕ(x) gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an. Die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte über ein Intervall [a, b] ergibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zufallsvariable mit dieser Dichte einen Wert zwischen a und b annimmt. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 8 / 51

9 Die Gauß sche Glockenkurve Bemerkung: Die Fläche unter der Gauß schen Glockenkurve ist 1. Bemerkung: Die Funktion ϕ(x) ist symmetrisch zur Geraden x = µ. Ihr Aussehen erinnert an eine Glocke. Wir sprechen deshalb auch von einer Glockenfunktion. Bemerkung: Je kleiner σ ist, desto schlanker und höher wird der Kurvenverlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 9 / 51

10 Die Gauß sche Glockenkurve Eigenschaften der Glockenkurve GeoGebra (Glockenkurve) v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 10 / 51

11 Die Gauß sche Glockenkurve Beispiel: Nehmen wir nochmals unser Eierbeispiel: Setzen wir unsere Parameter µ und σ in die Funktion ϕ ein so erhalten wir: ϕ(x) = 1 5 2π e 1 2 ( x 50 ) 5 2 Wenn wir diese Funktion nun zeichnen, erhalten wir unsere Glockenkurve die wir vorher schon gesehen haben: v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 11 / 51

12 Die Normalverteilung Wie bei der Binomialverteilung können wir uns nun zum Beispiel folgende Fragen Stellen: Wie Wahrscheinlich ist es, dass ein Ei höchstens 55 Gramm wiegt: P(X 55) Wie Wahrscheinlich ist es, dass ein Ei mindestens 45 Gramm wiegt: P(X 45) Wie Wahrscheinlich ist es, dass ein Ei zwischen 45 und 55 Gramm wiegt: P(45 X 55) Wir werden nun Schritt für Schritt klären wie man diese Fragen beantworten kann! v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 12 / 51

13 Die Normalverteilung Satz (Wahrscheinlichkeit in der Normalverteilung) Die Fläche unter der Gaußschen Glockenkurve im Intervall [a, b] gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X einen Wert zwischen a und b annimmt. Bemerkung (***): Die Fläche unter der Gesamten Glockenkurve also im Intevall [, ] ist 1. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 13 / 51

14 P(X x) Wir müssen also ähnlich wie bei der Binomialverteilung wieder etwas zusammenzählen! Wie Wahrscheinlich ist es, dass ein Ei höchstens 55 Gramm wiegt: P(X 55) Problem: Um die Wahrscheinlichkeit für P(X 55) zu bekommen müssen wir die Fläche unter der Glockenkurve berechnen. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 14 / 51

15 P(X x) Um die Fläche unter der Kurve zu bekommen, müssen wir also Integrieren. P(X x) = x ϕ(x)dx = x 1 σ 2π e 1 2 ( x µ σ ( ) x µ )2 dx = Φ σ Wir sehen also das Ergebnis des Integrals ist also Φ ( x µ ) σ. Da das obige Integral keine triviale Lösung hat, können wir Φ ( x µ ) σ einer Tabelle (Formelheft) nachschlagen! Bemerkung: P(X = k) = k k ϕ(x)dx = 0 Eine Folgerung daraus ist P(X < x) = P(X x). v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 15 / 51

16 P(X x) Beispiel: Wir wissen: Der Durchschnitt oder Erwartungwert µ beträgt also µ = 50g Die Standardabweichung σ ist also σ = σ 2 = 5g ( ) P(X <= 55) = Φ 5 = Φ (1) = Tabelle v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 16 / 51

17 Die Normalverteilung P(X x) In der Tabelle nachsehen: v0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 17 / 51

18 P(X x) Mit dem Taschenrechner berechnen: v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 18 / 51

19 P(X x) Zusammenfassend kann man also P(X x) wie folgt berechnen: Mit der Tabelle: P(X x) = Φ x µ = Φ (z) = }{{ σ Ergebnis Tabelle } :=z ACHTUNG: Sollte z negativ sein gilt: P(X x) = Φ x µ = Φ ( z) = 1 Φ(z) = }{{ σ Ergebnis Tabelle } :=z Mit dem Taschenrechner: P(X x) = normalcdf ( 10 99, x, µ, σ) v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 19 / 51

20 P(X x) Im folgenden Sei z wie folgt defniert: Definition (z) z := x µ σ v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 20 / 51

21 P(X x) Ähnlich wie bei der Binomialverteilung können wir auch folgende Frage beantworten. Wie Wahrscheinlich ist es, dass ein Ei mindestens 45 Gramm wiegt: P(X 45) v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 21 / 51

22 P(X x) Die rote Fläche ergibt sich also wie folgt: Grüne Fläche: 1 (lt. Bemerkung (***)) Orangene Fläche: P(X 45) = Φ ( ) = Φ( 1) = 0, 1587 Rote Fläche: P(X 45) = 1 P(X 45) = 0, 8413 v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 22 / 51

23 P(X x) Allgemein lässt sich P(X x) also wie folgt berechnen: P(X x) = 1 P(X x) = 1 Φ(z) oder mit dem Taschenrechner: P(X x) = 1 normalcdf ( 10 99, x, µ, σ) v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 23 / 51

24 P(a X b) Nun können wir auch klären wie man die Frage Wie Wahrscheinlich ist es, dass ein Ei zwischen 45 und 55 Gramm wiegt: P(45 X 55) klärt. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 24 / 51

25 P(a X b) Wie wir uns schon denken können berechnet sich die Rote Fläche nun wie folgt: Grüne Fläche: P(X 55) = Φ ( ) = Φ(1) = Orangene Fläche: P(X 45) = Φ ( ) = Φ( 1) = 0, 1587 Rote Fläche: P(45 X 55) = P(X 55) P(X 45) = v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 25 / 51

26 P(a X b) Allgemein lässt sich P(a X b) also wie folgt berechnen: P(a X b) = P(X b) P(X a) oder mit dem Taschenrechner: P(a X b) = normalcdf (a, b, µ, σ) v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 26 / 51

27 Inverse von Φ Nun kann es auch vorkommen, dass wir zwar die Wahrscheinlichkeit gegeben haben, wir aber folgende Dinge berechnen müssen: Die Größe a von P(X a) = p (Gegeben sei p). Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Der Erwartungswert wenn wir P(X a) = p, und σ kennen. Die Standardabweichung wenn wir P(x a) = p und µ kennen. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 27 / 51

28 Die Größe a von P(X a) = p (Gegeben sei p). Ein Beispiel für P(X a) = p wobei a gesucht ist Problem: Das Gewicht von neugeborenen Kindern sei normalverteilt mit µ = 3200 g und σ = 800 g. Wie schwer muss ein Neugeborenes sein, damit es zu den 20% leichtesten gehört? v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 28 / 51

29 Wir wissen: µ = 3200 g und σ = 800 g und p = 0.2 P(X a) = 0.2 (1) ( ) a µ Φ = 0.2 (2) σ ( ) a 3200 Φ = 0.2 (3) 800 In unserer Gleichung ist nun das a gesucht. Damit wir das a nun explizit machen können brauchen wir die Umkehrfunktion von Φ nämlich Φ 1, da wir aus dem Kapitel mit den Umkehrfunktionen wissen: Φ 1 (Φ(x)) = x. Wir wenden nun in der Gleichung (3) die Umkehrfunktion auf beide Seiten an: Woraus natürlich sofort ( )) a 3200 Φ (Φ 1 = Φ 1 (0.2) 800 a = Φ 1 (0.2) folgt.

30 Die Größe a von P(X a) = p (Gegeben sei p). Wir haben nun also folgende Gleichung erhalten a 3200 = Φ 1 (0.2) 800 Nun können wir a explizit machen: a = Φ 1 (0.2) Jetzt stellt sich nur noch die Frage: Wie bekommen wir Φ 1 (0.2). Bei Φ haben wir einfach in einer Tabelle nachgesehen und Φ 1 berechnet uns der Taschenrechner! v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 30 / 51

31 Die Größe a von P(X a) = p (Gegeben sei p). Berechnung von Φ 1 mit dem Taschenrechner Φ 1 (0.2) = invnorm(0.2) = v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 31 / 51

32 Die Größe a von P(X a) = p (Gegeben sei p). Nun können wir endlich unsere Gleichung endgültig lösen: a = Φ 1 (0.2) a = = 2526, 703 Wir wissen nun P(X 2526, 703) = 0.2 v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 32 / 51

33 Die Größe a von P(X a) = p (Gegeben sei p). Problem: Das Gewicht von neugeborenen Kindern sei normalverteilt mit µ = 3200 g und σ = 800 g. Wie schwer muss ein Neugeborenes sein, damit es zu den 20% leichtesten gehört? Wir können nun die Frage wie folgt beantworten: Ein Kind darf maximal 2526,703 g wiegen, damit es zu den 20% leichtesten gehört. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 33 / 51

34 Die Größe a von P(X a) = p (Gegeben sei p). Bemerkung: Es kann natürlich auch folgendes Problem auftreten: wobei wir p kennen. P(X a) = p Dies können wir aber ganz einfach zurückführen auf das Problem das wir gerade gelöst haben: P(X a) = p 1 P(X a) = p P(X a) = p 1 P(X a) = p + 1 Dies lösen wir wieder analog wie vorher. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 34 / 51

35 Die Größe a von P(X a) = p (Gegeben sei p). Wenn man will kann man nun eine allgemeine Formel für die Lösung solcher Probleme Angeben: Gegeben: P(X a) = p Gesucht: a = Φ 1 (p) σ + µ Gegeben: P(X a) = p Gesucht: a = Φ 1 ( p + 1) σ + µ Wobei natürlich Φ 1 (p) = invnorm(p) und Φ 1 ( p + 1) = invnorm( p + 1) ist. Es ist natürlich wichtig die Herleitung zu verstehen! v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 35 / 51

36 Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Problem: Für die Körpergröße von Jährigen Männern ergibt sich ein Mittelwert von 1,80m bei einer Standardabweichung von 7,4cm. Die Körpergröße kann als normalverteilt angesehen werden. In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert liegen die Größen von 50% aller Männer dieser Altersgruppe? v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 36 / 51

37 Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Wir suchen nun das Intervall [µ ɛ, µ + ɛ] in dem 50% aller Männergrößen liegen. µ = 1, 8 und p = 0.5 kennen wir, was wir uns nun noch berechnen müssen ist das ɛ. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 37 / 51

38 Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Da wir die Wahrscheinlichkeit kennen ergibt sich folgende Gleichung: P(µ ɛ X µ + ɛ) = P(1, 8 ɛ x 1, 8 + ɛ) = 0.5 Diese Gleichung ist äquivalent mit P(X 1, 8 + ɛ) P(X 1, 8 ɛ) = 0.5 woraus wiederum folgt ( ) ( ) 1, 8 + ɛ µ 1, 8 ɛ µ Φ Φ = 0.5 σ σ da wir µ = 1, 8 und σ = kennen ergibt sich ( ) ( ) 1, 8 + ɛ 1, 8 1, 8 ɛ 1, 8 Φ Φ = v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 38 / 51

39 Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Die Gleichung ( ) ( ) 1, 8 + ɛ 1, 8 1, 8 ɛ 1, 8 Φ Φ = können wir nun etwas vereinfachen, und wir erhalten ( ɛ ) ( Φ Φ ɛ ) = wir wissen aber dass gilt: Φ( x) = 1 Φ(x) also bekommen wir ( ɛ ) ( ( ɛ )) Φ 1 Φ = woraus wiederum folgt. ( ɛ ) 2 Φ 1 = v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 39 / 51

40 Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Die Gleichung ( ɛ ) 2 Φ 1 = können wir nun nochmal etwas umformen und wir erhalten: ( ɛ ) Φ = Durch unseren Trick mit der Umkehrfunktion (Φ 1 (Φ(x)) = x) folgt ( ) ɛ = Φ 1 2 Nun können wir ɛ explizit machen und erhalten, ( ) ɛ = Φ v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 40 / 51

41 Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Mit dem Taschenrechner können wir nun durch lösen und erhalten ɛ = Φ 1 ( ) ( ) ɛ = invnorm ɛ = = Nun können wir das Intervall [µ ɛ, µ + ɛ] in dem 50% aller Männergrößen liegen, angeben: [ ; ] = [1, 75; 1, 85] v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 41 / 51

42 Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Grafisch können wir uns das Ganze nun wie folgt veranschaulichen: v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 42 / 51

43 Einen symmetrischen Bereich um den Mittelwert mit der Breite 2ɛ. Wenn man will kann man auch hier eine allgemeine Formel Angeben: Gesucht sei ɛ in P(µ ɛ X µ + ɛ) = p wir kennen p und µ und σ dann gilt ( ) p + 1 ɛ = Φ 1 σ 2 Wobei mit dem Taschenrechner gilt ( ) p + 1 ɛ = invnorm σ 2 Das Gesuchte Intervall ist dann [µ ɛ, µ + ɛ]. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 43 / 51

44 Der Erwartungswert wenn wir P(X a) = p, und σ kennen. Dem aufmerksamen Beobachter wird bereits aufgefallen sein dass wir uns natürlich auch den Erwartungswert µ berechnen können, wenn wir P(X a) = p, und σ kennen. Dazu wieder ein Beispiel: Problem: Die Standardabweichung bei der Reißfestigkeit von Kettengliedern wird mit σ = 1300 Newton geschätzt. Wie groß muss der Erwartungswert µ mindestens sein, damit höchstens 2% der Kettenglieder eine Festigkeit von weniger als Newton besitzen? v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 44 / 51

45 Der Erwartungswert wenn wir P(X a) = p, und σ kennen. Wir wissen σ = 1300 und P(X 10000) = 0.02 daraus folgt sofort ( ) µ Φ = Nun kommt wieder der Trick mit der Umkehrfunktion (Φ 1 (Φ(x)) = x) und es folgt µ = Φ 1 (0.02) 1300 Nun formen wir auf µ um und erhalten µ = Φ 1 (0.02) µ = Φ 1 (0.02) v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 45 / 51

46 Der Erwartungswert wenn wir P(X a) = p, und σ kennen. Mit dem Taschenrechner können wir nun µ = Φ 1 (0.02) mit µ = invnorm(0.02) berechnen, und erhalten µ = = 12669, 9N Der Gesuchte Erwartungswert ist also 12669,9 N. v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 46 / 51

47 Der Erwartungswert wenn wir P(X a) = p, und σ kennen. Allgemein kann man nun wieder sagen: Gegeben sei σ und P(X a) = p wobei wir a und p ebenfalls kennen. Gesucht ist nun der Erwartungswert µ µ = Φ 1 (p) σ + a Bemerkung: Ist P(X a) = p gegeben, können wir das wieder auf 1 P(X a) = p zurückführen. Woraus wiederum P(X a) = p + 1 folgt und somit gilt. µ = Φ 1 ( p + 1) σ + a v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 47 / 51

48 Die Standardabweichung wenn wir P(x a) = p und µ kennen. Ähnlich wie den Erwartungswert kann man auch die Standardabweichung σ einfach berechnen! Problem: Waschmaschinen sollen für einen Waschgang durchschnittlich 65 l Wasser verbrauchen. Ein Hersteller will erreichen, dass bei höchstens 5% seiner Maschinen der Wasser- verbrauch größer als 75 l ist. Welche Standardabweichung darf die Maschine (höchstens) haben, wenn man voraussetzt, dass der Wasserverbrauch normalverteilt ist? v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 48 / 51

49 In diesem Fall haben wir µ = 65 und P(X 75) = 0.05 gegeben woraus sofort 1 P(X 75) = 0.05 P(X 75) = 0.95 folgt. Offensichtlich gilt dann mit µ = 65 ( ) ( ) 75 µ Φ = Φ = 0.95 σ σ Mit dem Umkehrfunktionentrick folgt daraus sofort: Umformen ergibt dann σ = Φ 1 (0.95) σ = Φ 1 (0.95) = invnorm(0.95) = l

50 Die Standardabweichung wenn wir P(x a) = p und µ kennen. Auch dies kann man wieder allgemein Anschreiben: Gegeben sei µ und P(X a) = p wobei wir a und p ebenfalls kennen. Gesucht ist nun die Standardabweichung σ σ = a µ Φ 1 (p) Bemerkung: Ist P(X a) = p gegeben, können wir das wieder auf 1 P(X a) = p zurückführen. Woraus wiederum P(X a) = p + 1 folgt und somit gilt. σ = a µ Φ 1 ( p + 1) v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 50 / 51

51 Die Standardabweichung wenn wir P(x a) = p und µ kennen. Übungsblatt Woche 30 Normalverteilung v 0 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W30 51 / 51