Polynome. Ein Term der Form. mit n und a 0 heißt Polynom. Die Zahlen a, a, a,... heißen Koeffizienten des Polynoms.

Transkript

1 Polynome Ein Term der Form a x + a x + a x + a x a x + a x + a n n 1 n 2 n n 2 n 1 n mit n und a 0 heißt Polynom. 1 Die Zahlen a, a, a,... heißen Koeffizienten des Polynoms Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient nicht 0 sein darf. Die Definition eines Polynoms sieht zwar kompliziert aus, sie ist aber gar nicht kompliziert. Ein Polynom ist ein Term, der folgende Form hat: Zahl mal Potenz von x plus weitere Zahl mal andere Potenz von x plus noch eine Zahl mal Potenz von x usw. Der höchste Exponent, der an einem x steht, ist der Grad des Polynoms. Die Zahlen, mit den die Potenzen von x multipliziert werden, heißen Koeffizienten.

2 Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f, deren Funktionsterm f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion. Der Grad des Polynoms bestimmt den Grad der ganzrationalen Funktion.

3 Ganzrationale Funktionen Um ganzrationale Funktionen beschreiben zu können, bestimmt man den Schnittpunkt des Graphen mit der y-achse ihre Nullstellen. ihr Monotonieverhalten. ihre Extrempunkte und Sattelpunkte. ihre Wendepunkte. ihr Symmetrieverhalten. ihren Globalverlauf.

4 Nullstellen von Funktionen Eine Nullstelle liegt vor, wenn die Gleichung f(x) = 0 erfüllt ist, das heißt jeder x-wert, der diese Gleichung erfüllt, ist Nullstelle. Im geometrischen Sinne bedeutet das, dass der Funktionsgraph bei einer Nullstelle die x- Achse schneidet. Nullstellen von linearen Funktionen Man setzt die Funktionsvorschrift f(x) = mx + b gleich Null und löst nach x auf. Eine lineare Funktion kann man als Potenzfunktion ersten Grades interpretieren, man erhält (maximal) eine Nullstelle (keine Nullstelle, wenn die Steigung 0 ist).

5 Nullstellen von linearen Funktionen

6 Nullstellen von linearen Funktionen

7 Nullstellen von quadratischen Funktionen

8 Nullstellen von quadratischen Funktionen

9 Nullstellen von quadratischen Funktionen

10 Nullstellen ganzrationaler Funktionen

11 Nullstellen ganzrationaler Funktionen

12 Nullstellen ganzrationaler Funktionen

13 Nullstellen ganzrationaler Funktionen

14 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Ganzrationale Funktionen kann man in verschiedenen Formen betrachten: (a) in ausmultiplizierter Form 3 2 f (x) = x 3x x + 3 (b) als Produkt linearer Terme f (x) = (x + 1)(x 1)(x 3) Die Terme (x+1), (x-1) und (x-3) nennt man Linearfaktoren, die Darstellung als Produkt linearer Terme nennt man Linearfaktorzerlegung.

15 Monotonieverhalten ganzrationaler Funktionen Mit Hilfe des sog. Monotonieverhaltens lässt sich der Verlauf einer Funktion näher beschreiben. Es gibt vier Monotoniearten: Eine Funktion heißt streng monoton steigend, wenn der nachfolgende Funktionswert stets größer ist als der vorherige. Für x1, x2 Df, x1<x2 gilt f(x1)<f(x2). Eine Funktion heißt monoton steigend, wenn auch die Gleichheit der Funktionswerte zugelassen wird. Für x1<x2 gilt f(x1) f(x2). Eine Funktion kann auch streng monoton fallend sein. Für x1<x2 gilt f(x1)>f(x2). Analog heißt eine Funktion monoton fallend, wenn auch eine Gleichheit der Funktionswerte zugelassen ist. Für x1<x2 gilt f(x1) f(x2).

16 Monotonieverhalten ganzrationaler Funktionen Die folgende ganzrationale Funktion dritten Grades soll auf ihr Monotonieverhalten untersucht werden: Auskunft darüber, ob eine Funktion steigt oder fällt gibt die Steigung der Funktion. Ist die Steigung positiv, steigt die Funktion, ist sie negativ, fällt die Funktion. Um die Steigung an jeder beliebigen Stelle einer Funktion angeben zu können, benötigt man die Ableitungsfunktion f '(x). Diese Ableitungsfunktion wird nun darauf hin untersucht, an welchen Stellen sie positive und an welchen sie negative Werte liefert. Genauer untersucht man sie darauf, an welchen Stellen ein Wechsel von positiven nach negativen Werten oder umgekehrt stattfindet. Man sucht also die Nullstellen der Ableitungsfunktion!

17 Monotonieverhalten ganzrationaler Funktionen Bei -2 und 4 ändert sich also das Monotonieverhalten der Funktion f. Alle Ableitungswerte für x<-2 sind entweder positiv oder negativ, also reicht es, einen dieser Ableitungswerte zu bestimmen. Das Gleiche gilt für -2<x<4 und für x>4.

18 Monotonieverhalten ganzrationaler Funktionen Das kann sehr übersichtlich in einer Tabelle dargestellt werden: Zunächst werden die Stellen eingetragen, bei denen sich das Monotonieverhalten ändert. Außerdem werden die Intervalle zwischen diesen Stellen beschrieben.

19 Monotonieverhalten ganzrationaler Funktionen An diesen Stellen ist die Steigung weder positiv noch negativ. Wir deuten dies durch einen waagerechten Pfeil an.

20 Monotonieverhalten ganzrationaler Funktionen In den zu untersuchenden Intervallen wählen wir eine beliebige (gut berechenbare) Stelle und bestimmen den Ableitungswert, also die Steigung f '(x).

21 Monotonieverhalten ganzrationaler Funktionen Hier ergibt sich:

22 Monotonieverhalten ganzrationaler Funktionen Da uns nur interessiert, ob die Steigung positiv oder negativ ist, deuten wir dies durch einen entsprechenden Pfeil an. Übungen: Monotonieverhalten/ Block1/ Aufgaben.htm

23 Extremstellen ganzrationaler Funktionen

24 Extremstellen ganzrationaler Funktionen Vorab ein paar Begriffsklärungen: Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einem Intervall entweder der höchste Punkt (Hochpunkt oder Maximum genannt) oder der tiefste Punkt (Tiefpunkt oder Minimum) ist. Ist der Hochpunkt nur in einem Intervall der höchste Punkt ist, nennt man ihn lokales Maximum. Entsprechend heißt ein Tiefpunkt, der nur in einem Intervall der tiefste Punkt ist, lokales Minimum. Der höchste Punkt der gesamten Funktion heißt globales Maximum, der tiefste globales Minimum. Das Argument (x-wert) eines Extrempunkts heißt Extremstelle, der Funktionswert (f(x) oder y) heißt Extremwert.

25 Extremstellen ganzrationaler Funktionen Um einen Extrempunkt zu finden fährt man in Gedanken mit dem Fahrrad auf dem Funktionsgraphen. Die Strecke selbst betrachtet man in der Profilansicht, also von der Seite aus. Angenommen, man fährt dabei zunächst bergauf, dann hat man den Hochpunkt erreicht, wenn es nicht mehr weiter bergauf geht. In diesem Fall ist die Steigung Null. Fährt man hingegen bergab, ist der Tiefpunkt erreicht, wenn es nicht weiter bergab geht. Auch dann ist die Steigung Null. Für die Berechnung von Extrempunkten heißt das: Suche die Punkte, bei denen die Steigung den Wert Null hat, suche also die Stelle, bei der die Ableitungsfunktion den Wert Null hat. Wenn diese Punkte gefunden sind, weiß man allerdings noch nicht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Das Vorhandensein einer Nullstelle bei der Ableitungsfunktion ist also nur eine notwendige Bedingung.

26 Extremstellen ganzrationaler Funktionen

27 Extremstellen ganzrationaler Funktionen Um den passenden Extremwert zu erhalten, müssen diese Extremstellen in die Gleichung der Ausgangsfunktion f nicht in die der Ableitungsfunktion f '- eingesetzt werden. Man erhält: An dieser Stelle ist immer noch nicht geklärt, ob es sich bei den Punkten (-2 6) und (4-6) tatsächlich um Extrempunkte handelt, denn es besteht noch die Möglichkeit, dass eine Funktion so verläuft, dass ihre Steigung mehr und mehr abnimmt (zunimmt), den Wert Null erreicht, und dann wieder abnimmt (zunimmt). In diesem Fall spricht man von einem Sattelpunkt! Um eine Aussage darüber machen zu können, welcher Fall vorliegt, muss man also das Monotonieverhalten betrachten. Wenn der Vorzeichenvergleich der Steigungen in der Nähe von Nullstellen der Ableitungsfunktion von positiv nach negativ wechselt, handelt es sich um einen Hochpunkt, ändert sich das Vorzeichen der Steigung von negativ nach positiv, liegt ein Minimum vor und wenn sich das Vorzeichen der Steigung nicht ändert, handelt es sich um einen Sattelpunkt. (Vorzeichenwechselkriterium, hinreichende Bedingung)

28 Extremstellen ganzrationaler Funktionen Diese Untersuchung kann wie bei der Untersuchung des Monotonieverhaltens sehr übersichtlich in einer Tabelle dargestellt werden: An der Stelle x=-2 erfolgt ein Vorzeichenwechsel von + nach -, hier liegt ein Hochpunkt. An der Stelle x=4 erfolgt ein Vorzeichenwechsel von - nach +, hier liegt ein Tiefpunkt.

29 Extremstellen ganzrationaler Funktionen Wenn der Vorzeichenvergleich der Steigungen in der Nähe von Nullstellen der Ableitungsfunktion von positiv nach negativ wechselt, handelt es sich um einen Hochpunkt, ändert sich das Vorzeichen der Steigung von negativ nach positiv, liegt ein Minimum vor und wenn sich das Vorzeichen der Steigung nicht ändert, handelt es sich um einen Sattelpunkt. (Vorzeichenwechselkriterium, hinreichende Bedingung) Für die hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Extremstellen untersucht man demnach das Monotonieverhalten der Ableitungsfunktion. Dieses Verhalten wird verdeutlicht, wenn man diese Funktion ableitet. Man bildet also die Ableitung der Ableitungsfunktion: f ' (f '(x)) Hierfür schreibt man kürzer: f ''(x) und spricht von der 2. Ableitung. Wenn die Ableitungsfunktion in der Umgebung ihrer Nullstelle monoton fällt, wenn also die Ableitung der Ableitungsfunktion negativ ist (wenn die 2. Ableitung negativ ist) findet ein Vorzeichenwechsel von + nach statt. Wenn die Ableitungsfunktion in der Umgebung ihrer Nullstelle monoton steigt, wenn also die Ableitung der Ableitungsfunktion positiv ist (wenn die 2. Ableitung positiv ist) findet ein Vorzeichenwechsel von nach + statt. Als hinreichendes Kriterium für eine Extremstelle kann also auch formuliert werden: An der Stelle x liegt ein Maximum vor, wenn f '(x) = 0 und f ''(x) < 0 An der Stelle x liegt ein Minimum vor, wenn f '(x) = 0 und f ''(x) > 0

30 Extremstellen ganzrationaler Funktionen

31 Extremstellen ganzrationaler Funktionen

32 Extremstellen ganzrationaler Funktionen Unter bestimmten Umständen versagt diese 2. Methode aber. Obwohl f'(0)=0 und f''(0)=0 liegt an der Stelle 0 ein Tiefpunkt vor, wie der Graph zeigt:

33 Extremstellen ganzrationaler Funktionen Konkret bedeutet das: Wenn für eine Funktion f an der Stelle x gilt, dass f'(x)=0 und f''(x)=0, muss mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums überprüft werden, ob an der Stelle x wirklich kein Extrempunkt vorliegt.

34 Sattelpunkte ganzrationaler Funktionen Bisher nicht berücksichtigt wurde, dass beim Vorhandensein einer Nullstelle der Ableitungsfunktion auch ein Sattelpunkt vorliegen kann. In diesem Fall ändert sich das Monotonieverhalten der Ableitungsfunktion in der Umgebung ihrer Nullstelle nicht (VZW-Kriterium). Auch hier kann alternativ die 2. Ableitung herangezogen werden. An einem Sattelpunkt nähert sich die Steigung dem Wert Null an um anschließend wieder zu steigen oder zu fallen. Die Ableitungsfunktion hat an dieser Stelle also ein Maximum oder ein Minimum. Die notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt lautet also: f '(x)=0 und f ''(x)=0 Als hinreichende Bedingung für die Existenz eines Maximums der Ableitungsfunktion muss deren 2. Ableitung (also insgesamt die 3. Ableitung) ungleich Null sein. Die hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt lautet also: f '(x)=0 und f ''(x)=0 und f '''(x) 0

35 Sattelpunkte ganzrationaler Funktionen Auch hier ist zu beachten: Wenn für eine Funktion f an der Stelle x gilt, dass f '(x)=0 und f ''(x)=0 und f '''(x)=0, muss mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums überprüft werden, ob an der Stelle x wirklich kein Sattelpunkt vorliegt. Obwohl die Funktion an der Stelle 0 einen Sattelpunkt hat, gilt:

36 Wendepunkte ganzrationaler Funktionen Bisher haben wir Funktionsgraphen mit dem Verlauf einer Straße verglichen und diese dabei nur in der Profilansicht betrachtet. Eine ganz andere Perspektive ergibt sich, wenn man den Verlauf von oben betrachtet: Bei dieser Betrachtung fällt nicht so sehr in's Auge, wo sich Hoch- oder Tiefpunkte befinden, statt dessen unterscheidet man zwischen Linksund Rechtskurven.

37 Wendepunkte ganzrationaler Funktionen Ein Wendepunkt ist ein Punkt in der Kurve, in dem sich die Richtung der Kurve ändert. In der Abbildung ändert sich die zunächst nach rechts gekrümmte Kurve in einen Bereich, in der die Kurve linksgekrümmt ist, etwas später erfolgt eine Änderung von rechts- nach linksgekrümmt und noch später wieder von rechts nach links.

38 Wendepunkte ganzrationaler Funktionen Betrachtet man zunächst eine Rechtskurve, dann fällt auf, dass in einer solchen Kurve die Steigung immer weiter abnimmt, während in einer Linkskurve die Steigung immer mehr zunimmt. Im Bereich der Rechtskurve ist die Steigung erst positiv, dann nimmt sie ab, bis sie den Wert 0 hat, um dann weiter abzunehmen, also negativ wird. Im Bereich der Linkskurve ist die Steigung zunächst negativ, nimmt zu, erreicht den Wert 0 und nimmt (inzwischen positiv) immer größere Werte an. Mit Hilfe der Ableitungsfunktion ausgedrückt heißt das: Wenn f rechtsgekrümmt ist, ist f ' in diesem Intervall streng monoton fallend, wenn f linksgekrümmt ist, ist f 'in diesem Intervall monoton steigend.

39 Wendepunkte ganzrationaler Funktionen Im Wendepunkt muss die Ableitungsfunktion der Ableitungsfunktion demnach einen Extremwert besitzen. Bei einem Rechts-Links-Wechsel handelt es sich um ein Minimum, Bei einem Links-Rechts-Wechsel um ein Maximum. Notwendiges Kriterium für Wendepunkte: f ''(x)=0 Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte: f ''(x)=0 und an der Stelle x findet ein Vorzeichenwechsel statt. Genauer: Vorzeichenwechsel von positiv nach negativ Links-Rechts-Wendestelle Vorzeichenwechsel von negativ nach positiv Rechts-Links-Wendestelle Dies kann auch mit Hilfe der dritten Ableitung ausgedrückt werden: Ff ''(x)=0 und f '''(x) 0 Genauer: f '''(x)>0 Links-Rechts-Wendestelle f '''(x)<0 Rechts-Links-Wendestelle