Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2014 Mathematik 12 Technik - A II - Lösung. f a ( x) = 1. x 2 in der jeweils

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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 04 Mathematik Technik - A II - Lösung Teilaufgabe.0 ( a) a Gegeben sind mit a IR die reellen Funktionen f a mit f a ( ) in der jeweils ( a) größtmöglichen Definitionsmenge D IR \ { 0 ; a }. fa Teilaufgabe. (3 BE) Zeigen Sie, dass gilt: f a ( ) ( a) ( a). ( a) ( a) a f a ( ) ( a) ( a) ( a) a [ ( a) ] a a a ( a) a ( a) ( a) ( a) ( a) Teilaufgabe. (4 BE) Begründen Sie, warum der Graph von f a für a IR \ {} nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung sein kann, und untersuchen Sie für a den Graphen von f auf Symmetrie zum Koordinatensystem. f a ( ) enthält im Nenner gerade und ungerade Potenzen von, die Nullstellen liegen nicht symmetrisch. f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f a ( ) Symmetrie zur y-achse Teilaufgabe.3 (8 BE) Bestimmen Sie Lage und Art der Definitionslücke von f a in Abhängigkeit von a. Zähler: z( a) ( a) ( a) Nenner: n ( a) ( a) f( a) ( a) ( a) ( a) Nullstellen des Zählers: a a Nullstellen des Nenners: n ( a) 0 auflösen 0 a AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite von 9

2 Nullstelle des Zählers in den Nenner einsetzen: n( aa) 0 a( a ) 0 auflösen a 0 na ( a) 0 a 0 auflösen a 0 f( a) ( a) ( a) ( a) a 0 f( 0) ( ) 0 stetig behhebbare Def.lücke Polstelle a f stetig behebbare Definitionslücke 0 einfache Polstelle a f( ) ( ) ( ) 0 zweifache Polstelle a IR \ { 0 ; ; } 0 a jeweils einfache Polstelle AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite von 9

3 Teilaufgabe.4.0 Für a 3erhält man die Funktion f 3, die im Folgenden mit f bezeichnet wird, d. h. 9 f( ) f 3 ( ). Teilaufgabe.4. (8 BE) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte für f( ) für und in der Nähe der Definitionslücken von f. Geben Sie auch die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von f an. f( ) 9 f( ) 9 D f IR \ { 0 ; } 9 9 lim 0 9 lim senkrechte Asymptote mit VZW lim 9 lim 9 senkrechte Asymptote mit VZW lim 9 lim 9 y waagrechte Asymptote mit VZW 0 0 AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 3 von 9

4 Teilaufgabe.4. (0 BE) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f und ermitteln Sie damit Art und Lage der Etrempunkte des Graphen von f. Runden Sie dabei die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. 8 8 [ Mögliches Teilergebnis: f' ( ) ] f' a ( ) f' a ( ) 9 ( ) f' a ( ) 8 8 Waagrechte Tangenten: f' ( ) auflösen Zähler neg neg pos pos neg Nenner pos pos pos pos pos f'() neg neg pos pos neg G f smf smf sms sms smf TP HP AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 4 von 9

5 G f ist streng monoton fallend in ] ; 0 [, streng monoton fallend in ] 0 ;.5 ], streng monoton steigend in [.5 ; [, streng monoton steigend in ] ; 7.85 ] und streng monoton fallend in [ 7.85 ; [ f (.5) 7.85 TP( ) f ( 7.85).5 HP( ) Teilaufgabe.4.3 (6 BE) Geben Sie die Nullstellen von f an und zeichnen Sie mit Hilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse und geeigneter, zusätzlich berechneter Funktionswerte den Graphen der Funktion f mit seinen Asymptoten für 5 0 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: LE cm. Nullstellen: f( ) auflösen 3 3 y-achse P 3 4 -Achse AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 5 von 9

6 Teilaufgabe.4.4 (4 BE) Zeigen Sie, dass für 0 die Funktion F mit F ( ).5ln( ) 4.5ln( ) mit D F ] ; 0 [ eine Stammfunktion der Funktion f ist. F' ( ).5 ( ) 4.5 ( ) ( ).5 4.5( ) ( ).5 9 ( ) ( ) 9 ( ) 9 f( ) Teilaufgabe.4.5 (5 BE) Der Graph von f schneidet die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten im Punkt P. Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens näherungsweise die Koordinaten des Punktes P. Beginnen Sie mit dem Startwert 0.5 und führen Sie zwei Näherungsschritte durch. Runden Sie das Ergevnis auf drei Nachkommastellen. [ Ergebnis: P(.46 /.46 ) ] f( ) Differenzfunktion: d ( ) f( ) 9 Ableitungsfunktion: d' ( ) d d d ( ) 5 9 ( ) 0.5 d 0 0 d' d d'.4599 gerundet:.46 Koordinaten Punkt P: P.460 y P.460 AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 6 von 9

7 Teilaufgabe.4.6 (6 BE) Der Graph der Funktion f, die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten und die -Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück im Schaubild der Aufgabe.4.3 und berechnen Sie seine auf zwei Nachkommastellen gerundete Flächenmaßzahl des Ergebnisses aus Aufgabe.4.5. P. Teilfläche: A f( ) d A A F( 3) F P Teilfläche: A A.067 Gesamtfläche: A ges A A A ges.84 Teilaufgabe.0 Der Verlauf einer Hochspannungsleitung zwischen den Punkten Q und R wird für [ 0 ; 0 ] näherungsweise durch die Gleichung y 333e e 658 beschrieben (siehe Skizze). Der Hang wird in der Skizze durch die Gerade OE mit der Gleichung y 0. begrenzt. Auf das Mitführen der Einheit Meter kann bei den Berechnungen verzichtet werden. Alle Ergebnisse sind auf eine Nachkommastelle zu runden, sofern nicht anders angegeben. Q 30 y-achse E S 5 R Hang O -Achse F AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 7 von 9

8 Teilaufgabe. (4 BE) Berechnen Sie die Masthöhen EQ und FR f( ) 333 e e 658 g ( ) 0. EQ f ( 0) g( 0) EQ 6.3 FR f ( 0) FR 0.7 Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie die Größe des Winkels φ, den die Hochspannungsleitung mit dem Mast im Punkt Q einschließt. [ Mögliches Teilergebnis: y' ( ) e 666 e 666 ] f' ( ) d d f( ) e e m f' ( 0) 0.43 α atan( m) φ 90 α Teilaufgabe.3 (6 BE) Der Punkt S ist derjenige Punkt der Leitung, der die geringste Entfernung vom Hang hat. Die Leittung hat dort die gleiche Steigung wie der Hang (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die -Koordinate von S. Runden Sie das Ergebnis auf eine Nachkommastelle [ Hinweis: Benutzen Sie die Substitution u e ] Wähle einen Punkt P G f : P(u/f(u)) Die Tangente in P hat die Steigung m Hang 0 f' ( ) 50 e 666 e f' ( ) 0 50 e 666 e Substitution: u e AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 8 von 9

9 u u auflösen u Lösung keine Lösung Resubstitution: e S e auflösen ln S Zu den Aufgaben.3 und.4 45 Tangente in Q y-achse α φ Tangente in S Q α 30 E S 5 R Hang O -Achse F AP 04, Mathematik Technik. Klasse, A II - Lösung Seite 9 von 9