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Meike Möller
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Kursarbeit Nr.1 LK Mathematik 7. 10. 2004 1. Bestimmen Sie eine Stammfunktion F zur angegebenen Funktion f! a) f :R R, f x =1 1 x 100 b) f :R R, f x =sin 2 x 5 x c) f :R R, f x = x 5 x 3 2 2 x 2 2.

1 Kursarbeit Nr.1 LK Mathematik Bestimmen Sie eine Stammfunktion F zur angegebenen Funktion f! a) f :R R, f x =1 1 x 100 b) f :R R, f x =sin 2 x 5 x c) f :R R, f x = x 5 x x 2 2. Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche! f x =2 1 2 x g x = x 3. Gegeben ist die Funktion f a x =ax 2 mit a 0. Zwischen dem Graph der Funktion und der x-achse ist eine Fläche der Breite B und der Höhe H begrenzt. Zeigen Sie : Für den Flächeninhalt A dieser Fläche gilt : A= 1 3 B H. B H 4. Gegeben ist die Funktionenschar f a x =ax 2 x 3 mit a 0. a a) Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte der Schar. b) Geben Sie die Gleichung der Kurve an, auf der sämtliche Wendepunkte der Schar liegen. 5. Ein amerikanischer Briefkasten hat die im Bild dargestellte Form. Der obere Teil ist dabei parabelförmig gebogen. a) Bestimmen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Kastens. (Tipp : Verwenden Sie die dargestellten Hilfslinien als Koordinatensystem und bestimmen Sie

2 für den oberen Teil eine geeignete quadratische Funktion. Berechnen Sie anschließend den oberen Flächeninhalt per Integration). b) Berechnen Sie das Volumen des Postkastens in Litern! Schrägbild : Querschnitt Vorderseite : 35 cm 8 cm 6 cm 15 cm

3 Kursarbeit Nr.1 LK Mathematik Nachtermin Bestimmen Sie eine Stammfunktion F zur angegebenen Funktion f! a) f :R R, f x =x 1 x b) f :R R, f x =cos 1 2 x x c) f :R R, f x = x 8 x x 2 2. Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche! f x =2 1 2 x 2 g x = x 3. Gegeben ist H 0 und die Funktion f :R R, f x =H x 2 sowie die Gerade g : y= H 2. Der Graph der Funktion f und die x-achse schließen eine Fläche A ein, die von der Geraden g in zwei Teile zerlegt wird. a) Erstellen Sie eine Skizze und markieren Sie die Teilfläche von A oberhalb der Geraden g. b) Welcher prozentuale Anteil von A befindet sich oberhalb der Geraden g? 4. Gegeben ist die Funktionenschar f a x =ax 2 x 3 mit a 0. a a) Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte der Schar. b) Geben Sie die Gleichung der Kurve an, auf der sämtliche Wendepunkte der Schar liegen. 5. Ein amerikanischer Briefkasten hat die im Bild dargestellte Form. Der obere Teil ist dabei parabelförmig gebogen. a) Bestimmen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Kastens. (Tipp : Verwenden Sie die dargestellten Hilfslinien als Koordinatensystem und bestimmen Sie

4 für den oberen Teil eine geeignete quadratische Funktion. Berechnen Sie anschließend den oberen Flächeninhalt per Integration). b) Berechnen Sie das Volumen des Postkastens in Litern! 35 cm Schrägbild : Querschnitt Vorderseite : 8 cm 6 cm 15 cm

5 Kursarbeit Nr.2 LK Mathematik Gegeben ist die Funktion f :[0 ;5] R, f x = 3 x 2. a) Die x-achse, die Gerade x=5 und der Graph von f begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche. Diese Fläche wird um die x-achse rotiert. Skizzieren Sie den Graph sowie den Rotationskörper und bestimmen Sie das Volumen des Drehkörpers. b) Dem Rotationskörper wird ein Zylinder einbeschrieben, dessen Drehachse ebenfalls die x-achse ist. Welchen Radius und welche Höhe besitzt der Zylinder mit dem maximalen Volumen? 2. Gegeben ist die Funktionenschar f a x =a x e 2a x mit a 0. a) Alle Wendepunkte der Schar liegen auf einer Geraden. Geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an. b) Diskutieren Sie die Funktion f :R R, f x =x e 2 x. c) Der Graph der Funktion und die x-achse begrenzen im 1. Quadranten eine unendlich ausgedehnte Fläche. Überprüfen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt besitzt. 3. Berechnen Sie die folgenden Integrale : 4 a) x dx ; Substitution y=1 2 x b) ln 2 0 e 4 x e 2 x 3 dx 4. Gegeben ist die Funktion f a x = 1 ln a a x 2 x mit a 1. Zeigen Sie : Alle Tiefpunkte der Schar liegen auf der Ursprungsgeraden y= 2 ln 2 x 0,885 x. ln 2 Hinweis : Schreiben Sie a x mit Hilfe der e-funktion um!

6 Kursarbeit Nr.2 LK Mathematik Nachtermin Gegeben ist die Funktion f :[0 ;5] R, f x = 1 4 x a) Die y-achse, die Gerade y= f 5 und der Graph von f begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche. Diese Fläche wird um die y-achse rotiert. Skizzieren Sie den Graph sowie den Rotationskörper und bestimmen Sie das Volumen des Drehkörpers. b) Der in a) beschriebene Drehkörper wird parallel zur kreisförmigen Grundfläche in halber Höhe ( = Abstand 1/1 zur Grundfläche) geteilt. Wie groß ist das Volumen der unteren Hälfte? 2. Gegeben ist die Funktionenschar f a x = a x 2 1 e a x mit a 0. a) Bestimmen Sie die Funktion der Schar, deren Graph die y-achse unter einem Winkel von 45 schneidet. b) Diskutieren Sie die Funktion f : D R, f x = x 2 1. e x c) Bestimmen Sie mit Hilfe der partiellen Integration eine Stammfunktion F zur Funktion f. c) Der Graph der Funktion und die x-achse schließen zusammen eine Fläche unterhalb der x- Achse ein und begrenzen ferner eine unendlich ausgedehnte im 1. Quadranten. 4 Zeigen Sie : Beide Flächen haben den gleichen Flächeninhalt e. 3. Berechnen Sie die folgenden Integrale : ln 4 e a) 2 x ln 3 e x 2 dx ; Substitution y=e x 2 3 e b) 1 1 ln x dx 10 x 4. Gegeben ist die Funktion f a x = 1 ln a a x 2 x mit a 1. Zeigen Sie : Alle Tiefpunkte der Schar liegen auf der Ursprungsgeraden y= 2 2ln 2 x 0,885 x. ln 2 Hinweis : Schreiben Sie a x mit Hilfe der e-funktion um!

7 Kursarbeit Nr.3 LK Mathematik Gegeben ist die Funktion f a : D max R, f a x = ax 2 6 x 3 a x 2 ; a R *. a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge, die Asymptote der Funktion sowie sämtliche Polstellen. 6 2 x 3a b) Zeigen Sie : f a ' ' x = x 4 c) Bestimmen Sie sämtliche Hoch- und Tiefpunkte der Schar. d) Jede Kurve der Schar besitzt genau zwei Nullstellen. Bestimmen Sie diese und zeigen Sie, dass für den Abstand D a der Nullstellen gilt : 9 3 a2 D a =2 a Welchen Abstand erhält man für a? e) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f 3 für x, y [ 6 ;6]. An den Stellen x 1 =1 und x 2 = 3 werden die Tangenten t 1 bzw. t 2 an den Graph gelegt. Zusammen mit der x-achse begrenzen diese Tangenten eine Dreiecksfläche. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt. 2. Gegeben sind die Punkte A 8/4/4, B 7/4/2 und C 4/5/3. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D, so dass ABCD ein Parallelogramm ist. (zur Kontrolle : D 5/5/5 ) b) Durch das Einzeichnen der Strecke AC wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke geteilt. Dabei sei S der Schwerpunkt von ABC und T der Schwerpunkt von ACD. Bestimmen Sie den Verbindungsvektor ST.. 3. Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung : Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks mit den jeweils benachbarten Mittelpunkten, so erhält man ein Parallelogramm! 4. Gegeben sind zwei Zahlen x, y 0 mit x y=40. Wie muss man die Zahlen wählen, so dass die Summe S=3 x 4 y möglichst groß wird?

8 Kursarbeit Nr.3 LK Mathematik Gegeben ist die Funktion f a : D max R, f a x = ax 2 4 x 3 a x 2 ; a R *. a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge, die Asymptote der Funktion sowie sämtliche Polstellen. 2 4 x 9a b) Zeigen Sie : f a ' ' x = x 4 c) Bestimmen Sie sämtliche Hoch- und Tiefpunkte der Schar. d) Jede Kurve der Schar besitzt genau zwei Nullstellen. Bestimmen Sie diese und zeigen Sie, dass für den Abstand D a der Nullstellen gilt : D a =2 4 3a2 a Welchen Abstand erhält man für a? e) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f 2 für x, y [ 6 ;6]. An den Stellen x 1 =1 und x 2 = 3 werden die Tangenten t 1 bzw. t 2 an den Graph gelegt. Zusammen mit der x-achse begrenzen diese Tangenten eine Dreiecksfläche. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt. 2. Gegeben sind die Punkte A 3/2/10, B 1/2/6 und C 0/7/7. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D, so dass ABCD ein Parallelogramm ist. (zur Kontrolle : D 2/7/11 ) b) Durch das Einzeichnen der Strecke AC wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke geteilt. Dabei sei S der Schwerpunkt von ABC und T der Schwerpunkt von ACD. Bestimmen Sie den Verbindungsvektor TS.. 3. Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung : Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks mit den jeweils benachbarten Mittelpunkten, so erhält man ein Parallelogramm! 4. Gegeben sind zwei Zahlen x, y 0 mit x y=30. Wie muss man die Zahlen wählen, so dass die Summe S=4 x 3 y möglichst groß wird?

9 Kursarbeit Nr.4 LK Mathematik a) Zeigen Sie, dass der Vektor 10 a= 1 eine Linearkombination der Vektoren 1 1, b= c= 0 und 4 3 ist t 1 2 b) Für welche t R sind die Vektoren t 2, 0 und 2 linear unabhängig? 2. Gegeben sind die Einheitsvektoren u, v, w, die paarweise einen Winkel von 60 einschließen. Berechnen Sie den Betrag des Vektors s= u v w! 3. Gegeben ist ein Rechteck ABCD. Der Punkt X teilt die Strecke BC im Verhältnis m: n. Die Strecken BD und AX schneiden sich im Punkt S. Zeigen Sie : Der Punkt S teilt die Strecke AX im Verhältnis = m n m 4. Für k R sind die Punkte A 1/0/1, B 2/k /1 und C k 2/0/ 3 die Ecken für die dreieckige Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S 2/0/k 1. a) Für welche Werte von k ist die Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck? (Hinweis : Beachten Sie, dass der rechte Winkel in einer beliebigen der 3 Ecken auftreten kann.) b) Berechnen Sie für k=2 das Volumen der Pyramide. c) Berechnen Sie allgemein das Volumen V der Pyramide in Abhängigkeit von k. d) Für welche k ist das Volumen der Pyramide minimal?

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