Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel
|
|
|
- Sven Bieber
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Elemente, Buch I Stefan Witzel
2 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden.
3 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS.
4 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat.
5 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat. Ein Drachenviereck PQRS hat PQ = PS und QR = RS.
6 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat. Ein Drachenviereck PQRS hat PQ = PS und QR = RS. Das Viereck PQRS ist ein Trapez wenn PQ RS.
7 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat. Ein Drachenviereck PQRS hat PQ = PS und QR = RS. Das Viereck PQRS ist ein Trapez wenn PQ RS. Das Viereck PQRS ist eine Raute wenn alle Seiten gleich lang sind.
8 Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente QR und PS schneiden. Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm wenn PQ RS und QR PS. Ein Viereck ist ein Rechteck wenn es nur rechte Winkel hat. Ein Drachenviereck PQRS hat PQ = PS und QR = RS. Das Viereck PQRS ist ein Trapez wenn PQ RS. Das Viereck PQRS ist eine Raute wenn alle Seiten gleich lang sind. Das Viereck ist ein Quadrat wenn es ein Rechteck und eine Raute ist.
9 Polygone Punkte P 1,..., P n bilden ein n-eck P 1... P n, mit Ecken P i und Kanten P i P i+1 wenn sich nur benachbarte Kanten schneiden und das nur in den Ecken.
10 Polygone Punkte P 1,..., P n bilden ein n-eck P 1... P n, mit Ecken P i und Kanten P i P i+1 wenn sich nur benachbarte Kanten schneiden und das nur in den Ecken. Ein n-eck P 1... P n ist regelmäßig wenn alle Seiten P i P i+1 zueinander kongruent sind (also gleich lang) und alle Winkel P i 1 P i P i+1 zueinander kongruent sind (also gleiches Winkelmaß haben).
11 Dreieck mit gegebenen Kantenlängen Problem. Seien a = A 1 A 2, b = B 1 B 2 und c = C 1 C 2 Segmente, deren Längen die drei Dreiecksungleichungen erfüllen, also A 1 A 2 B 1 B 2 + C 1 C 2, B 1 B 2 A 1 A 2 + C 1 C 2, C 1 C 2 A 1 A 2 + C 1 C 2. Konstruiere ein Dreieck PQR mit PQ = A 1 A 2, QR = B 1 B 2 und PR = C 1 C 2.
12 Dreieck mit gegebenen Kantenlängen Problem. Seien a = A 1 A 2, b = B 1 B 2 und c = C 1 C 2 Segmente, deren Längen die drei Dreiecksungleichungen erfüllen, also A 1 A 2 B 1 B 2 + C 1 C 2, B 1 B 2 A 1 A 2 + C 1 C 2, C 1 C 2 A 1 A 2 + C 1 C 2. Konstruiere ein Dreieck PQR mit PQ = A 1 A 2, QR = B 1 B 2 und PR = C 1 C 2. Konstruktion. Wähle P = A 1, Q = A 2 und R als den Schnittpunkt von P C1 C 2 und Q B1 B 2. Folgerung. Drei Längen A 1 A 2, B 1 B 2 und C 1 C 2 sind genau dann die Kantenlängen eines Dreiecks, wenn sie die drei Dreiecksungleichungen erfüllen.
13 Gerade und Parallelen, 1 Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei Geraden g und h geschnitten wird und 1. die wechselseitigen Winkel α und β gleich sind oder 2. die Stufenwinkel δ und β gleich sind oder 3. die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen 180 messen, dann ist g parallel zu h. g α P δ h Q β γ f
14 Gerade und Parallelen, 1 Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei Geraden g und h geschnitten wird und 1. die wechselseitigen Winkel α und β gleich sind oder 2. die Stufenwinkel δ und β gleich sind oder 3. die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen 180 messen, dann ist g parallel zu h. Beweis. Nebenwinkelsatz, Gegenwinkelsatz: die drei Bedingungen sind äquivalent. Angenommen es gäbe einen Schnittpunkt R, dann wäre PQR ein Dreieck mit Winkelsumme 180.
15
16 Gerade und Parallelen, 2 Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei parallelen Geraden g und h geschnitten wird, dann 1. sind die wechselseitigen Winkel α und β gleich und 2. sind die Stufenwinkel δ und β gleich und 3. messen die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen 180. g α P δ h Q β γ f
17 Gerade und Parallelen, 2 Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei parallelen Geraden g und h geschnitten wird, dann 1. sind die wechselseitigen Winkel α und β gleich und 2. sind die Stufenwinkel δ und β gleich und 3. messen die beiden innen liegenden Winkel β und γ zusammen 180. Beweis. Wenn h die Gerade ist, deren Winkel β zusammen mit γ genau 180 misst, dann wissen wir, dass g h. Aus dem Parallelenaxiom folgt jetzt, dass h = h, also β = β.
18 Parallelogramme Proposition. Wenn PQRS ein Parallelogramm ist, dann ist PQ = RS und QR = PS.
19 Parallelogramme Proposition. Wenn PQRS ein Parallelogramm ist, dann ist PQ = RS und QR = PS. Beweis. Da PS und QR parallel sind, sind PSQ und SQR wechselseitige Winkel und deshalb kongruent. Genauso sind PQS und SQR wechselseitige Winkel und damit kongruent. Die beiden Dreiecke PQS und RQS haben somit eine gleichlange Seite, die von zwei kongruenten Winkeln eingeschlossen wird. Nach dem Kongruenzsatz WSW sind sie also kongruent. Es folgt PQ = RS und PS = QR.
20 Parallele Segmente Segmente PQ und RS sind parallel, wenn PQ RS und PQ = RS. Proposition. Wenn Segmente PQ und RS parallel sind, dann ist PQRS ein Parallelogramm.
21 Parallele Segmente Segmente PQ und RS sind parallel, wenn PQ RS und PQ = RS. Proposition. Wenn Segmente PQ und RS parallel sind, dann ist PQRS ein Parallelogramm. Beweis. Weil PQ RS sind die wechselseitigen Winkel PSQ und RQS kongruent. Außerdem sind die Seiten PQ und RS gleich lang. Nach dem Kongruenzsatz SWS folgt, dass PSQ RQS. Insbesondere ist PSQ RQS. Das sind aber die wechselseitigen Winkel der Geraden PS und RQ, also sind diese parallel.
22 Flächeninhalt Wir definieren den Flächeninhalt von geradlinig umrandeten Figuren mit folgenden Regeln: Kongruente Figuren haben gleichen Flächeninhalt.
23 Flächeninhalt Wir definieren den Flächeninhalt von geradlinig umrandeten Figuren mit folgenden Regeln: Kongruente Figuren haben gleichen Flächeninhalt. Wenn man von Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mit gleichem Flächeninhalt entfernt, haben die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt.
24 Flächeninhalt Wir definieren den Flächeninhalt von geradlinig umrandeten Figuren mit folgenden Regeln: Kongruente Figuren haben gleichen Flächeninhalt. Wenn man von Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mit gleichem Flächeninhalt entfernt, haben die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt. Wenn man zu Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mit gleichem Flächeninhalt hinzufügt, haben die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt.
25 Flächeninhalt Wir definieren den Flächeninhalt von geradlinig umrandeten Figuren mit folgenden Regeln: Kongruente Figuren haben gleichen Flächeninhalt. Wenn man von Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mit gleichem Flächeninhalt entfernt, haben die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt. Wenn man zu Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mit gleichem Flächeninhalt hinzufügt, haben die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt. Wenn eine Figuren f aus m Figuren g 1,..., g m mit gleichem Flächeninhalt besteht, dann ist der Flächeninhalt von f der m-fache Flächeninhalt der g i.
26 Flächeninhalt Wir definieren den Flächeninhalt von geradlinig umrandeten Figuren mit folgenden Regeln: Kongruente Figuren haben gleichen Flächeninhalt. Wenn man von Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mit gleichem Flächeninhalt entfernt, haben die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt. Wenn man zu Figuren mit gleichem Flächeninhalt Figuren mit gleichem Flächeninhalt hinzufügt, haben die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt. Wenn eine Figuren f aus m Figuren g 1,..., g m mit gleichem Flächeninhalt besteht, dann ist der Flächeninhalt von f der m-fache Flächeninhalt der g i. Ein Rechteck mit Kantenlängen 1 und m hat Flächeninhalt m.
27 Flächeninhalt von Dreieck und Parallelogramm Proposition. Wenn ABCD eine Parallelogramm ist, dann sind die Dreiecke ABD und CDB kongruent und haben deshalb den halben Flächeninhalt des Parallelogramms.
28 Parallelen und Flächeninhalt Proposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EBCF Parallelogramme mit A, D, E, F g und B, C h. Dann haben ABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt.
29 Parallelen und Flächeninhalt Proposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EBCF Parallelogramme mit A, D, E, F g und B, C h. Dann haben ABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt. Beweis (Fall ADEF). Es ist AD = BC = EF und AB = CD und BE = CF. Sei G der Schnittpunkt von BE und CD. Nach dem Kongruenzsatz SSS ist ABE DCF. Entfernen DGE ergibt, dass ABGD und EGCF flächengleich sind. Durch Hinzufügen von BCG sehen wir, dass ABCD und EBCF flächengleich sind.
30 Parallelen und Flächeninhalt Proposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EBCF Parallelogramme mit A, D, E, F g und B, C h. Dann haben ABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt. Folgerung. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EFGH Parallelogramme mit A, D, E, H g, B, C, F, G h und BC = FG. Dann haben ABCD und EFGH den gleichen Flächeninhalt.
31 Parallelen und Flächeninhalt Proposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EBCF Parallelogramme mit A, D, E, F g und B, C h. Dann haben ABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt. Folgerung. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EFGH Parallelogramme mit A, D, E, H g, B, C, F, G h und BC = FG. Dann haben ABCD und EFGH den gleichen Flächeninhalt. Beweis. Aus der Proposition folgt, dass ABCD und EBCH den gleichen Flächeninhalt haben und, dass EBCH und EFGH den gleichen Flächeninhalt haben.
32 Parallelen und Flächeninhalt Proposition. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EBCF Parallelogramme mit A, D, E, F g und B, C h. Dann haben ABCD und EBCF gleichen Flächeninhalt. Folgerung. Seien g und h parallele Geraden und seien ABCD und EFGH Parallelogramme mit A, D, E, H g, B, C, F, G h und BC = FG. Dann haben ABCD und EFGH den gleichen Flächeninhalt. Folgerung. Wenn g und h parallele Geraden sind und ABC und DEF Dreiecke mit A, D g, B, C, E, F h und BC = EF, dann haben ABC und DEF gleichen Flächeninhalt.
33 Kathetensatz Satz (Kathetensatz). Sei ABC ein Dreieck und BAC ein rechter Winkel. Sei M der Fußpunkt des Lots von M auf BC. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge AB ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen BM und BC. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge AC ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen MC und BC. G H F A K B M C D L E
34 Kathetensatz Satz (Kathetensatz). Sei ABC ein Dreieck und BAC ein rechter Winkel. Sei M der Fußpunkt des Lots von M auf BC. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge AB ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen BM und BC. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge AC ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen MC und BC. G H F D B L M A E C K Folgerung (Satz des Pythagoras). Wenn ABC ein Dreieck mit rechtem Winkel BAC ist, dann ist der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge BC gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate mit Kantenlänge AB und AC.
35 Kathetensatz Satz (Kathetensatz). Sei ABC ein Dreieck und BAC ein rechter Winkel. Sei M der Fußpunkt des Lots von M auf BC. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge AB ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen BM und BC. G H F A K B M C D L E
36 Kathetensatz Satz (Kathetensatz). Sei ABC ein Dreieck und BAC ein rechter Winkel. Sei M der Fußpunkt des Lots von M auf BC. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge AB ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen BM und BC. G H F A K B M C D L E
37 Kathetensatz Satz (Kathetensatz). Sei ABC ein Dreieck und BAC ein rechter Winkel. Sei M der Fußpunkt des Lots von M auf BC. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge AB ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen BM und BC. Beweisskizze. Es sind BCF BDA sind nach dem Kongruenzsatz SWS. Die Dreiecke BAD und BLD sind flächengleich und BLD hat den halben Flächeninhalt von BMLD. Die Dreiecke BCF und BGF sind flächengleich und BGF hat den halben Flächeninhalt von BAGF.
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Elemente, Buch I Stefan Witzel Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Elemente, Buch I Stefan Witzel Gerade und Parallelen, 2 Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei parallelen Geraden g und h geschnitten wird,
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Elemente, Buch I Stefan Witzel Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Rückblick. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Rückblick Stefan Witzel Outline Grundlagen, Axiome Euklid I Bewegungen Verhältnisse, Ähnlichkeiten Kreise Fundamentale Objekte und Eigenschaften
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Rückblick. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Rückblick Stefan Witzel Outline Grundlagen, Axiome Euklid I Bewegungen Verhältnisse, Ähnlichkeiten Kreise Fundamentale Objekte und Eigenschaften
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Rückblick. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Rückblick Stefan Witzel Outline Grundlagen, Axiome Euklid I Bewegungen Verhältnisse, Ähnlichkeiten Kreise Fundamentale Objekte und Eigenschaften
Skript zur Vorlesung Elementare Geometrie
Skript zur Vorlesung Elementare Geometrie Stefan Witzel Sommersemester 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Punkte, Geraden,.......................... 2 1.2 Kreise...............................
Elemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematik - Sommer 06 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 8 Aufgabe 7 (8 Punkte). Ein Parallelogramm ist ein Rechteck ABCD mit Seiten a, b, c, d wie unten dargestellt, mit
6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? Haus der Vierecke. Dr.
Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 40 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? 2 / 40 Wir betrachten nur
6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
Lösungen zu den Aufgaben 7. Klasse
Lösungen zu den Aufgaben 7. Klasse Beachte: Einheit bei allen Geometrieaufgaben: 1 Kästchenlänge 1 cm 1. Achsen- und Punktsymmetrie Achsenspiegelung: Punktspiegelung: 1 Lösungen zu den Aufgaben 7. Klasse
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Geraden am Kreis. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Geraden am Kreis Stefan Witzel Segmente und Geraden am Kreis Sei k ein Kreis. Eine Sekante ist eine Gerade, die k in zwei Punkten schneidet.
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Geraden am Kreis. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Geraden am Kreis Stefan Witzel Segmente und Geraden am Kreis Sei k ein Kreis. Eine Sekante ist eine Gerade, die k in zwei Punkten schneidet.
Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist
7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d
Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck. Haus der Vierecke. Dr. Elke Warmuth. Sommersemester 2018
Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 39 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck 2 / 39 Wir betrachten nur konvexe Vierecke:
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Grundlagen. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Grundlagen Stefan Witzel Punkte, Abstand Die Euklidische Ebene E 2 besteht aus Punkten. Zwei Punkte P, Q E 2 haben einen Abstand PQ 0. Axiome
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Grundlagen. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Grundlagen Stefan Witzel Punkte, Abstand Die Euklidische Ebene E 2 besteht aus Punkten. Zwei Punkte P, Q E 2 haben einen Abstand PQ 0. Axiome
4.15 Buch I der Elemente
4.15 Buch I der Elemente Das erste Buch der Elemente beginnt mit 23 Definitionen, 5 Postulate und einige Axiomen (von denen man in späteren Ausgaben bis zu 9 findet). Die ersten fünf Definitionen lauten
Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
1 Begriffe und Bezeichnungen
1 Begriffe und Bezeichnungen Verbindet man vier Punkte A, B, C, D einer Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, der Reihe nach miteinander, können unterschiedliche Figuren entstehen: ein
3 Geometrisches Beweisen
22 3 Geometrisches Beweisen 3.1 Axiome Durch empirische Untersuchungen werden immer wieder Gesetzmäßigkeiten gefunden, die man versucht durch logische Schlüsse zu begründen. Irgendwann am Ende einer Schlusskette
Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kopiervorlagen Geometrie (2) - Planimetrie
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Kopiervorlagen Geometrie (2) - Planimetrie Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Hinweise zur Arbeit mit den Kopiervorlagen
Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012
Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte
Lösungen V.1. Pfeile bedeuten ist auch ein. (Lambacher-Schweizer Geometrie 2, S. 150)
Lösungen V.1 I: Trapez (zwei parallele Seiten; keine Symmetrie) II: gleichschenkliges Trapez (zwei parallele Seiten, die anderen beiden gleich lang; achsensymmetrisch) III: Drachen(viereck) (jeweils zwei
Beweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck.
Beweise 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. (a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an! (b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig,
Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze
Kapitel 3 Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis Anwendungen & bekannte Sätze 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Im Folgenden werden Maßzahlen für Winkelgrößen
Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie
Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin Geometrie Aufgabe G.1 Berechne die Innenwinkelsumme eines n-ecks. Aufgabe G.2 Zeige, dass
1 Zahlen und Funktionen
1 Zahlen und Funktionen 1.1 Variablen Variablen sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge. Bsp.: a IN, b Z oder x QI Betrag einer Variablen a falls a 0 a = Bsp.: 7 = 7; -5 = -(-5) =
Vierecke Kurzfragen. 2. Juli 2012
Vierecke Kurzfragen 2. Juli 2012 Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben? Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben? Ecken: Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben?
Elementare Geometrie Vorlesung 10
Elementare Geometrie Vorlesung 10 Thomas Zink 24.5.2017 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck eine Folge von drei Punkten ABC in E, die nicht
Kongruenz, Vierecke und Prismen
Kongruenz, Vierecke und Prismen Kongruente Figuren Ziele: Begriff: Kongruenz, Kongruenzsätze für Dreiecke Schrittfolgen für Konstruktionen beschreiben, über Eindeutigkeit entscheiden kongruente Teilfiguren
Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe
ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und
Ausführliche Lösungen
Ausführliche Lösungen 11.1 Die Aussage gilt für a) Rechteck, Quadrat b) Raute, Quadrat, Drachen c) Parallelogramm, Raute, Rechteck, Quadrat d) Rechteck, Quadrat e) Parallelogramm 11.2 Bei einem Parallelogramm
Das Parallelenproblem
Proseminar zur Linearen Algebra und Elementargeometrie Das Parallelenproblem Wintersemester 2016/17 von: Yann-Martin Jeannès yanniymj@gmx.net Prof. Dr. L. Schwachhöfer Technische Universität Dortmund V.
Themen: Geometrie (Kongruenzabbildungen, Winkelsätze, Flächenberechnungen)
Klasse 7 Mathematik Vorbereitung zur Klassenarbeit Nr. 4 im Mai 2019 Themen: Geometrie (Kongruenzabbildungen, Winkelsätze, Flächenberechnungen) Checkliste Was ich alles können soll Ich kenne den Begriff
Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke
edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke
Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung
Vektoren - Skalar- und Vektorprodukt ================================================================== 1. Gegeben sind die Punkte A 1 2 3 und B 3 4 1 bzgl. eines kartesischen Koordina- tensystems mit
Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke
Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,
Aufgaben Ähnlichkeit:
Aufgaben Ähnlichkeit: 1. Berechne die gesuchten Zahlwerte, beziehungsweise z. a) 8 21 14 α 18 β α β b) 40 α 16 12 α 22 β β c) d) e) Geometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.doc A.Räz Seite 23 2. Berechne die
Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Achsensymmetrie Der Punkt P und sein Bildpunkt P sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre Verbindungsstrecke [PP ] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird. Zueinander symmetrische......strecken
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Gruppen, Bewegungen. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Gruppen, Bewegungen Stefan Witzel Gruppen Eine Menge G von Bijektionen X X ist eine Gruppe, wenn 1. die Identität id: X X in G liegt, 2. für
20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen.
Flächeninhalte von Vielecken Parallelogramm Übungen - 9 20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen.
Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Gruppen, Bewegungen. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Gruppen, Bewegungen Stefan Witzel Gruppen Eine Menge G von Bijektionen X X ist eine Gruppe, wenn 1. die Identität id: X X in G liegt, 2. für
1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)
Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus
Vorwort: Farbe statt Formeln 7
Inhaltsverzeichnis Vorwort: Farbe statt Formeln 7 1 Die Grundlagen 11 1.1 Vom Geodreieck zum Axiomensystem................ 11 1.2 Erste Folgerungen aus den Axiomen................. 24 1.3 Winkel.................................
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2005/2006 DES LANDES HESSEN
3. RUNDE LÖSUNGEN DER AUFGABENGRUPPE A 1. a) x 2 (1 x 2 ) > (x 2 + 7) (x 2 7) L = {8, 9, 10, } c { 8, 9, 10, } b) (x 4 16) (x + 3) (x 2 + 25) = 0 L = { 3, 2, 2} c) (x 3 4) 2 16 > 0 L = Z ( {0, 1, 2} d)
Grundwissen 7 Bereich 1: Terme
Bereich 1: Terme Termwerte 1.1 S1 T (1) = 6 T (2) = 7 T ( 2) 3 = 12 1 4 = 12, 25 1.2 S1 m 2 0, 5 0 1 2 1 3 6 6 2 A(m) 7 11 5 0 1 Setzt man die Zahl 5 ein, so entsteht im Nenner die Zahl 0. Durch 0 zu teilen
Qualiaufgaben Konstruktionen
Qualiaufgabe 2008 Aufgabengruppe I Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A (-2/2) und C (1/3) ein. a) Zeichne das gleichseitige Dreieck AMC. b) Ein regelmäßiges Sechseck mit der
( ) ( ) 1 Zahlen und Funktionen ( ) ( ) ( a + b) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
1 Zahlen und Funktionen 1.1 Terme und Variable Buchstaben, die als Platzhalter für eine Zahl stehen, heißen Variable. Terme sind Rechenausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammen bestehen.
Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau
Nr.7 16.06.2016 Die Mittelsenkrechte im deduktiven Aufbau Bisher war die Mittelsenkrechte eine Ortslinie Jetzt wird deduktiv geordnet: - Definition der Mittelsenkrechte - Sätze zur Mittelsenkrechten 1
Geometrie, Einführung
Geometrie, Einführung Punkte, Linien 1. Gib die Längen von 3 Strecken r, s. t an, welche nicht die Seiten eines Dreiecks sein können. Begründe deine Wahl. 2. a) Zeichne Punkte und Geraden, welche folgende
Einfu hrung in die Geometrie
PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilpru fung, Modul Einfu hrung in die Geometrie Abbildung 0: Winkelkreuz Abbildung 0: Spannen von gleichschenkligen Trapezen auf dem Winkelkreuz
Viereck und Kreis Gibt es da etwas Besonderes zu entdecken?
Bekanntlich besitzt ein Dreieck einen Umkreis, dessen Mittelpunkt man konstruieren kann. 1) Zeichne in dein Heft ein beliebiges Dreieck und konstruiere den Außenkreis des Dreieckes nur mit Zirkel und Lineal.
Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie Sekundarstufe
PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Vorprüfung Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie Sekundarstufe Wintersemester 12/13 12. Februar 2013 Aufgabe 8: Definieren Nr.
3. Mathematikschulaufgabe
Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A (-I1) und B (6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne
Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.
1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets
Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Gruppen, Bewegungen. Stefan Witzel
Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Gruppen, Bewegungen Stefan Witzel Drehungen und Verschiebungen vertauschen nicht Proposition. Wenn τ id eine Verschiebung ist und ρ eine Drehung,
Strahlensätze und Ähnliches
Strahlensätze und Ähnliches Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 27 Zentrische Streckung Strahlensätze Ähnliche Figuren 2 / 27 Was ist hier passiert? 3 / 27 Zentrische Streckung mit Streckungszentrum
zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am
Nachklausur zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am 12.7.17 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Punkte Bearbeiten Sie bitte drei der vier folgenden
Aufgabe 1: Definieren
Aufgabe 1: Definieren a) Definieren Sie den Begriff Mittelpunkt einer Strecke AB. Der Punkt M ist Mittelpunkt der Strecke AB, wenn er zu dieser gehört und AM = MB gilt b) Definieren Sie den Begriff konvexes
Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul 2,
PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul, GHPO I vom.7.00, RPO vom 4.08.00 Einführung in die Geometrie Wintersemester 1/1, 1. Februar 01 Klausur zur ATP, Modul, Einführung
Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Bei allen Aufgaben: Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden! 1.0 Berechne das Volumen der beiden dargestellten Pyramiden 1 und 2. 2.1 Die Spitze S einer dreiseitigen Pyramide ABCS liegt senkrecht
Grundwissen Mathematik - 7. Jahrgangsstufe
Stichworte Termbegriff äquivalente Terme Rechenregeln Grundwissen Mathematik - 7. Jahrgangsstufe 1. Terme Terme sind Rechnungen, die Zahlen und Variable enthalten dürfen. Alle aus der 5. Klasse bekannten
Aufgabe 1. Wie muss? richtig angeschrieben werden?
Aufgabe 1 Wie muss? richtig angeschrieben werden? Aufgabe 1 Wie muss? richtig angeschrieben werden? Aufgabe 2 Wie gross ist die Summe der Innenwinkel im konvexen und konkaven Viereck? Aufgabe 2 Wie gross
Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
Achsensymmetrie. Grundkonstruktionen
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2.
GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Seite 1 Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe: 2. Mai 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle
Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
Geometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie
Geometrie 4.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 4.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-,
Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 3E am
Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 3E am 22.05.2014 SCHÜLERNAME: Gruppe A Lehrer: Dr. D. B. Westra Punkteanzahl : von 24 Punkten NOTE: NOTENSCHLÜSSEL 23-24 Punkte Sehr Gut (1) 20-22 Punkte Gut (2) 16-19
3. Mathematikschulaufgabe
Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A(-I1) und B(6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne
Raumgeometrie - schiefe Pyramide
1.0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit AB = 8 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Seite [AC]. Die Höhe [MS] ist 6 cm lang. 1.1 Zeichne ein Schrägbild
Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote :
GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Konstruktion Dreiecke und Vierecke PRÜFUNG 09 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe:. September 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle
Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel
Lösungen Übung 6 Aufgabe 1. a.) Idee: Gesucht sind p, q mit pq = 6 2 und p + q = 13. Dies entspricht genau der Situation im Höhensatz. Konstruktion: 1. Punkte A, B mit AB = 13 2. Gerade g AB mit dist(g,
M 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind?
M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.
M 7.1. Achsensymmetrie. Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren.
M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.
M 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind?
M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.
M 7.1. Achsensymmetrie. Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren.
M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.
In der Zeichnung unten sind α und β, β und γ, γ und δ, δ und α Nebenwinkel. Scheitelwinkel sind α und γ oder β und δ.
Entdeckungen an Geraden- und Doppelkreuzungen Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel mit Scheitel im Schnittpunkt. Jeweils zwei gleichgroße Winkel liegen sich dabei gegenüber man nennt diese
Aufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks.
Aufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks. (Innenwinkel eines Dreiecks): Sei ABC ein Dreieck. Die Winkel < AB +, AC + ; < BA +, BC + und < CA +,
Übungen aus dem Buch: 65/15; 69/16; 74/8; 97/9a; 101/6c; 101/8; 106/10; 108/Beweise; 116/8a Aufgaben auf S. 151: 1; 2; 3; 4; 5; c Mc.
AB 25, Seite 1 Satz von Thales 8e 08.03.2012 Aus alten Klassenarbeiten: 1) Trapez: Gegeben ist ein Trapez mit den gegenüber liegenden Seiten a und c und der Höhe h a auf a. Erläutere mit einer Skizze,
Sekundarschulabschluss für Erwachsene
SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2011 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2007/2008 DES LANDES HESSEN
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2007/2008 DES LANDES HESSEN 2. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A 1. a) L = { 6; 6; 7} (x 6) (x + 6) = 0 oder (x 7) = 0 b) L = {2; 8} (x 3 7) = 1 (oder (x 3 8) (x 8) = 0) c) L = {...
ÖMO. Geometrie. Grundlagen der. Birgit Vera Schmidt. Österreichische MathematikOlympiade
ÖMO Österreichische MathematikOlympiade Grundlagen der Geometrie 14. 11. 2008 Birgit Vera Schmidt 1 Wiederholung 1.1 Grundlagen 1.1.1 Strecken und Verbindungen Eine Strecke ist eine Verbindung zwischen
Gymnasium Hilpoltstein Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
Wissen / Können 1. Symmetrie Gymnasium Hilpoltstein Grundwissen 7. Jahrgangsstufe Definitionen und Beispiele Achsensymmetrie Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch Umklappen um eine Gerade
Graph der linearen Funktion
Graph der linearen Funktion Im unten stehenden Diagramm sind die Grafen der Funktionen f und g gezeichnet (a) Stelle die Gleichungen von f und g auf und berechne die Nullstellen der beiden Funktionen (b)
Geometrie Strecke, Gerade, Halbgerade
Für einige Aufgaben wird ein beschriftetes Gitternetz folgender Größe benötigt: Rechtsachse (x- Achse): 8 LE Hochachse (y- Achse): 8 LE 1 LE 1 cm 1. Zeichne ohne Gitternetz: a) Die Gerade g ist senkrecht
Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 7. Klasse Seite 1 von 6
Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 7. Klasse Seite 1 von 6 M7 - Algebra: Standardaufgaben Grundwissen M7 Beispielaufgaben mit Lösung 1. Vereinfache so weit wie möglich! Verwende Rechenregeln/-gesetze,
I. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen
I. Symmetrie Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer Halbdrehung um einen Punkt ineinander
7 Ebene Figuren (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1)
Name: Geometrie-Dossier 7 Ebene Figuren (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Inhalt: Fläche und Umfang von Rechteck und Quadrat Dreiecke (Benennung, Konstruktion) Winkelberechnung im Dreieck und
34. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Landesrunde) Klasse 7 Saison 1994/1995 Aufgaben und Lösungen
34. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Landesrunde) Klasse 7 Saison 1994/1995 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 34. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Landesrunde) Klasse 7 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen
Tag der Mathematik 2007
Tag der Mathematik 2007 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Speed-Wettbewerb Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind
PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilpru fung, Modul 2. Einfu hrung in die Geometrie
PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilpru fung, Modul Einfu hrung in die Geometrie Abbildung 01 Abbildung 0 Wintersemester 011/1 10. Februar 01 Abbildung 0 Klausur zur ATP, Modul,
21. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1981/1982 Aufgaben und Lösungen
21. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1981/1982 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 21. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg
4. Kongruenz ohne Parallelen.
4. Kongruenz ohne Parallelen. Den Griechen war bald klar, dass es bei einer solchen fundamentalen Frage, wie der nach der Existenz eines Pentagons, nicht mehr um noch so clevere geometrische Tricks gehen