Taschenbuch der Statistik

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1 Tachenbuch der Statitik von Werner Voß 2., verbeerte Auflage Haner München 2003 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN Zu Inhaltverzeichni chnell und portofrei erhältlich bei beck-hop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 CARL HANSER VERLAG Werner Voß Tachenbuch der Statitik

3 5 Bivariate Statitik 5. Übericht In den Kapiteln 3 und 4 wurden Möglichkeiten gezeigt, die Auprägungen eine einzelnen Merkmal darzutellen und tatitich zu analyieren. Typicherweie werden in tatitichen Unteruchungen edoch mehrere Merkmale e tatiticher Einheit erhoben. Wir befinden un dann in dem Fall mehrdimenionaler Merkmale bzw. Häufigkeitverteilungen. Die verchiedenen Merkmale werden zwar durchau ioliert unterucht (mit univariaten Methoden), doch in vielen Fällen oll fetgetellt werden, ob e einen Zuammenhang bzw. eine Abhängigkeit zwichen den gemeinam auftretenden Merkmalen gibt. In dieem Kapitel bechränken wir un auf die Dartellung von Methoden für die Unteruchung de Zuammenhang zwichen zwei Merkmalen (bivariate Statitik). Generell werden bei der Analye mehrdimenionaler Merkmale üblicherweie drei Geichtpunkte angeprochen: a) Beteht überhaupt ein Zuammenhang? b) Wie tark it dieer Zuammenhang? c) Durch welche funktionale Form kann der Zuammenhang bechrieben werden? Die Frage a) wird im Rahmen der dekriptiven Statitik anhand von Maßzahlen und teilweie auch Diagrammen behandelt. Eine tatitich befriedigende Antwort kann allerding nur auf Grundlage der Wahrcheinlichkeitrechnung gegeben werden. Die entprechenden Methoden befinden ich demgemäß in den Kapiteln, die zum Gebiet der chließenden Statitik gehören. Die Beantwortung der Frage b) erfolgt (wiederum innerhalb der dekriptiven Statitik) durch Berechnung von ogenannten Korrelation- und Aoziationmaßen, und zwar in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Merkmale. Maße für die Stärke de Zuammenhang heißen bei quantitativen Merkmalen Korrelationkoeffizienten und Betimmtheitmaße, bei Rangmerkmalen Rangkorrelationkoeffizienten und bei qualitativen Merkmalen Aoziation- owie Kontingenzkoeffizienten.

4 70 5 Bivariate Statitik Au dieer Untercheidung nach dem Skalenniveau leitet ich im übrigen die Gliederung diee Kapitel ab. Eine weitere Differenzierung ergibt ich au der Untercheidung zwichen Einzeldaten und gruppiertem Datenmaterial, wobei letztere häufig au Sekundärtatitiken tammt. So liegt ingeamt eine Vielzahl von Maßzahlen vor, die hier nur in Auwahl dargetellt werden können. Die Frage c) it nur innvoll für quantitative (metrich meßbare) Merkmale. Sie wird im Rahmen der Regreionrechnung beantwortet. Unabhängig von den verchiedenen Methoden und Maßzahlen tellt ich in edem Fall da Problem der achlichen Interpretation der berechneten Zuammenhänge. Angeprochen it damit die Untercheidung von formaler Logik und Sachlogik. Inbeondere ollte beachtet werden, daß Kaualbeziehungen nicht rein formal (tatitich) aufgepürt bzw. gedeutet werden können. Zudem gilt inbeondere für die Anwendung dekriptiver Verfahren, daß ich alle darau gewonnenen Auagen immer nur auf den zugrunde liegenden Datenatz beziehen. Mögliche Verallgemeinerungen erlauben ert die Verfahren der chließenden Statitik. 5.2 Zweidimenionale Häufigkeitverteilungen 5.2. Grundbegriffe Die Notation und die tabellariche Dartellung bei zweidimenionalen Merkmalen gechieht in Analogie zur univariaten Statitik. Augangpunkt eien die Merkmale X und Y, die an denelben Merkmalträgern (tatitichen Einheiten) erhoben werden. E gelte folgende Schreibweie: Damit gilt: x i : i te Merkmalauprägung de Merkmal X, i =,2,..., r y : te Merkmalauprägung de Merkmal Y, =,2,..., f i : abolute Häufigkeit der Auprägungkombination ( x i, y ) n : Anzahl der Merkmalträger (beobachtete Wertepaare) f ' : relative Häufigkeit der Wertepaare x, y ) ( f ' f n ) i ( i i = i

5 5.2 Zweidimenionale Häufigkeitverteilungen 7 r () fi = n i= = r (2) f ' = i= = i Die Geamtheit aller Kombinationen von Merkmalauprägungen der Merkmale X und Y mit den dazugehörigen aboluten oder relativen Häufigkeiten heißt zweidimenionale Häufigkeitverteilung. Die tabellariche Dartellung einer zweidimenionalen Häufigkeitverteilung heißt zweidimenionale Häufigkeittabelle und läßt ich für die aboluten Häufigkeiten folgendermaßen chreiben: Merkmal X Hierbei gilt: Merkmal Y y y 2... y... y x f f 2... f... x 2 f 2 f f 2... Σ f f f 2 f x i f i f i2... f i... f i f i f... f r... r f x r f r r2 Σ f f 2... f r f... f n r r i i i i = = i= i= = (3) f = f f = f f = f n Für die relativen Häufigkeiten gilt analog: r r (4) f ' i = f ' i f ' = f ' i f ' i = f ' = = i= i= =

6 72 5 Bivariate Statitik Im Falle zweier metrich oder ordinal meßbarer Merkmale wird die Tabelle Korrelationtabelle genannt. Im Falle zweier nominal meßbarer Merkmale heißt ie Kontingenztabelle Randverteilungen Die Ränder der zweidimenionalen Häufigkeittabelle, die die Zeilenbzw. Spaltenummen enthalten, zeigen die eindimenionalen Verteilungen der beiden Merkmale. Die eindimenionale Verteilung de Merkmal X (Y ), bei der die e de Merkmal Y ( X ) unberückichtigt bleiben, heißt Randverteilung oder marginale Verteilung von X ( Y ). f i ( f ' i ) bezeichnet die Randverteilung der aboluten (relativen) Häufigkeiten von X und f ( f ' ) die Randverteilung der aboluten (relativen) Häufigkeiten von Y. Beipiel Tabelle 5. enthält die Angaben von 50 Prüflingen über da ihrer Prüfung und den eweiligen. Tabelle 5.: Beipiel Summe Betanden Nicht betanden Summe Prüflinge haben bei A nicht betanden: f 2 = 0 ; 55 haben bei C betanden: f 3 = 55 uw. Beondere Bedeutung hat im Falle von zweidimenionalen Häufigkeitverteilungen die Frage, ob da Auftreten betimmter Auprägungen de Merkmal X von der Realiation betimmter Auprägungen de Merkmal Y (bzw. umgekehrt) abhängt. Die führt zum Begriff der bedingten Verteilung und der Unabhängigkeit von Merkmalen Bedingte Verteilung Die bedingte (konditionale) Verteilung de Merkmal X ( Y ) für gegebene y x ) it die Häufigkeitverteilung de Merkmal X ( Y ), die i ( i

7 5.2 Zweidimenionale Häufigkeitverteilungen 73 ich für einen betimmten Wert y i ( x i ) de Merkmal Y ( X ) ergibt. Für klaierte Material teht y i ( x i ) für die Klaenmitte. Die eweilige bedingte Verteilung der aboluten Häufigkeiten wird gechrieben al f x Y = y ) bzw. f y X = x ) oder kurz f x i y ) bzw. ( i ( i f y x ) für ( i =,2,..., r; =,2,..., ) ( i ( und kann unmittelbar au der zweidimenionalen Häufigkeittabelle abgeleen werden. Die bedingten relativen Häufigkeiten ergeben ich durch Diviion der eweiligen bedingten aboluten Häufigkeiten durch den zugehörigen Wert der Randverteilung: (5) f ( xi y ) f '( xi y ) = bzw. f f '( y x ) = i f ( y x ) f i i für ( i =,2,..., r; =,2,..., ) Hinwei Der Begriff der bedingten Verteilung it im Rahmen der dekriptiven Statitik nur für gruppierte Material (im Unterchied zu Einzeldaten) innvoll. Auch hierzu ein Beipiel, augehend von dem vorangegangenen Beipiel: Die bedingten (relativen) Verteilungen f '( x i y ) geben für eden der drei die Anteile der Prüflinge an, die betanden bzw. nicht betanden haben, und ind folgender Tabelle zu entnehmen: Tabelle 5.2: Bedingte Verteilung (Beipiel ) Ingeamt Betanden 0,833 0,643 0,786 0,750 Nicht betanden 0,67 0,357 0,24 0,250 Summe,000,000,000,000

8 74 5 Bivariate Statitik Die bedingten (relativen) Verteilungen f '( y xi ) geben an, wie ich die Prüflinge, die betanden ( x = betanden) bzw. nicht betanden ( x2 = nicht betanden) haben, auf die verteilen: Tabelle 5.3: Bedingte Verteilung 2 (Beipiel ) Summe Betanden 0,333 0,300 0,367,000 Nicht betanden 0,200 0,500 0,300,000 Ingeamt 0,300 0,350 0,350, Unabhängigkeit von Merkmalen Der Fall einer (empirichen) Unabhängigkeit zwichen den Merkmalen X und Y kann nun über die bedingten Verteilungen formuliert werden: Da Merkmal X it vom Merkmal Y empirich unabhängig, wenn die bedingten Verteilungen der relativen Häufigkeiten f '( x i y ) für alle Spalten =,2,..., übereintimmen. Mit anderen Worten, bei unabhängigen Merkmalen gibt e keine Unterchiede in den bedingten relativen Häufigkeitverteilungen eine Merkmal. Hinwei Die bedingten Verteilungen der aboluten Häufigkeiten werden bei Unabhängigkeit im allgemeinen nicht übereintimmen (ie ind vielmehr proportional) und kommen daher für die Unteruchung der Unabhängigkeit von Merkmalen nicht in Betracht. Eigenchaften a) Die Unabhängigkeit it eine ymmetriche Beziehung. It da Merkmal X vom Merkmal Y unabhängig, o auch Y von X. Damit timmen die bedingten Verteilungen f y x ) für alle i =,2,..., r überein. ( i fi f b) Bei Unabhängigkeit gilt fi = bzw. f i f i f n ' = ' ' für ( i =,2,..., r; =,2,..., )

9 5.2 Zweidimenionale Häufigkeitverteilungen 75 c) Im Falle der Unabhängigkeit entprechen die bedingten relativen Häufigkeitverteilungen den eweiligen Randverteilungen: f ( x y ) f '( x y für i =,2,..., r bzw. i i ) = = f ' i f f ( y xi ) f '( y xi ) = = f ' für =,2,..., f i fi f Für da obige Prüfungbeipiel würde folgende, über fi = n berechnete Häufigkeitverteilung eine empiriche Unabhängigkeit de Prüfungergebnie vom dartellen: Tabelle 5.4: Verteilung bei Unabhängigkeit (Beipiel ) Summe Betanden 45 52,5 52,5 50 Nicht betanden 5 7,5 7,5 50 Summe 60 70,0 70,0 200 Für die bedingten (relativen) Häufigkeiten f '( x i y ) ergeben ich dann identiche Werte: Tabelle 5.5: Relative Verteilung bei Unabhängigkeit (Beipiel ) Ingeamt Betanden 0,75 0,75 0,75 0,75 Nicht betanden 0,25 0,25 0,25 0,25 Summe,00,00,00,00 Der Begriff empiriche Unabhängigkeit oll darauf hinweien, daß die Unabhängigkeit (oder Abhängigkeit) nur für einen vorliegenden Datenatz gilt und nicht zwangläufig allgemein. Die nachfolgenden Abchnitte bechäftigen ich, in Abhängigkeit vom Skalenniveau der Variablen, mit tatitichen Maßzahlen, die Hinweie auf da Vorhandenein und die Stärke der empirichen Abhängigkeit zwichen Merkmalen geben können.