Grundlagen der Informatik Übungen 1. Termin Zahlensysteme

Transkript

1 Grundlagen der Informatik Übungen 1. Termin Zahlensysteme M. Sc. Yevgen Dorozhko

2 Kurzvorstellung M. Sc. Yevgen Dorozhko Ausbildung: 2008: M. Sc. Systemprogrammieren, Nationale technische Universität Donezk, Ukraine. Kontakt:

3 Organisatorisches Termine der Übungen WS 2013 Raum V57.03, 14:00-15:30 Uhr Webseite für Übungen: Fragen: Sprechstunde WS 2013 Nobelstrasse 19 Mittwoch , Uhr Mittwoch , Uhr Mittwoch , Uhr 3

4 Abonnieren von Benachrichtigungen Sie können sich eine Benachrichtigung per schicken lassen (z.b. sobald Termine feststehen, Ergebnisse aushängen etc.): Als RSS Benachrichtigungen und Nachrichten bekommen: 4

5 Installation Java-Plattform Die Übungen werden Programmieraufgaben enthalten, die mit der Programmiersprache Java zu lösen sind. Installieren sie daher für die kommenden Übungen die Java Entwicklungsumgebung auf ihrem Rechner. Hierzu gehören: Das Java Development KIT (JDK): Enthält den Java Compiler sowie die Java Runtime und Java-Klassenbiblliothek. Java SE 7 ist kostenlos über den folgenden Link erhältlich: Die Eclipse Entwicklungsumgebung (oder einen anderen Editor ihrer Wahl) Nähere Informationen zur Installation finden sie auf der Homepage zu den Übungen: gen/uebungen_jdk_eclipse.pdf 5

6 Step1: Wissensfragen Es bietet sich die Möglichkeit Ihren Wissenstand zu prüfen. Für jedes Kapitel werden Multiple Choice Fragen und Testaufgaben angelegt. Step2: Termin auswählen 6

7 Step3: Multiple Choice Fragen auswählen Step 4: Viel Glück 7

8 ZAHLENSYSTEME UND UMRECHNUNG 8

9 Positionssystem (Stellenwertsystem) In einem Positionssystem wird eine Zahl n durch die Folge von Symbolen (Ziffern) a i dargestellt: a N a 2 a 1 a 0 (Z.B ) Die Stelle i gibt dabei die Wertigkeit in Bezug auf die i-te Potenz der Basis B an Die Folge steht für die Zahl n N i 0 a i * B i 9

10 Dezimalzahlen Eine (N+1) stellige Dezimalzahl ist eine Folge von N+1 Ziffern a N a 2 a 1 a 0, die alle zwischen 0 und 9 liegen. Der dezimale Wert dieser Zahl beträgt a N *10 N + + a 2 * a 1 * a 0 *10 0 Basis: 10 Symbole: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Beispiel: (968) 10 = =(968) 10 10

11 Binärzahlen Eine (N+1) stellige Binärzahl ist eine Folge von N+1 Ziffern a N a 2 a 1 a 0, die alle zwischen 0 und 1 liegen. Der dezimale Wert dieser Zahl beträgt a N *2 N + + a 2 *2 2 + a 1 *2 1 + a 0 *2 0 Basis: 2 Symbole: 0,1 Beispiel: (1001) 2 = = = (9) 10 ( ) 2 = = (115) 10 ( ) 2 = = (968) 10 11

12 Hornerschema Zur schnelleren Berechnung des Wertes einer Zahl (a N a 2 a 1 a 0 ) B n N i 0 a i i * B (...(( a B a ) B a ) B... a ) B a N N 1 N Hierbei wird der Rechenaufwand drastisch reduziert, indem die Berechnung der Potenzen der Basis für jede einzelne Stelle vermieden wird. Man erhält das Hornerschema durch wiederholtes Ausklammern des Faktors B auf der linken Seite: (10101) 2 = ((((1 2+ 0) 2 + 1) 2 + 0) 2 +1) = (21) 10 12

13 Aufgabe 1 Berechnen Sie die dezimalen Werte der folgenden Binärzahlen 1)m= )m= )m= )m=

14 Lösung 1 1) m= = ) m= = ) m= = ) m= =

15 Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Binärzahl Verfahren: Man dividiere Zahl durch 2 und notiere den Rest bei der Division. Man dividiere das Divisionsergebnis durch 2 und notiere wieder den Rest bei dieser Division. Man wiederhole den letzten Schritt, bis als Divisionsergebnis der Wert 0 auftritt. Man schreibe die aufgetretenen Reste in der umgekehrten Reihenfolge ihres Auftretens als Binärzahl. Die ermittelte Binärzahl ist dann die binäre Darstellung von Dezimalzahl. 15

16 Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Binärzahl. Beispiel m=13 (1) Teile die Zahl mit Rest durch 2. (2) Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). (3) Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig, andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl und wiederhole ab (1). 13 : 2 = 6 Rest: 1 6 : 2 = 3 Rest: 0 3 : 2 = 1 Rest: 1 1 : 2 = 0 Rest: 1 Resultat: = = = =

17 Aufgabe 2 Berechnen Sie die Binärdarstellung 1.m= m= m=

18 Lösung 2 1. m= m= m= : 2 = 139 Rest: : 2 = 69 Rest: 1 69 : 2 = 34 Rest: 1 34 : 2 = 17 Rest: 0 17 : 2 = 8 Rest: 1 8 : 2 = 4 Rest: 0 4 : 2 = 2 Rest: 0 2 : 2 = 1 Rest: 0 1 : 2 = 0 Rest: 1 Resultat: : 2 = 78 Rest: 0 78 : 2 = 39 Rest: 0 39 : 2 = 19 Rest: 1 19 : 2 = 9 Rest: 1 9 : 2 = 4 Rest: 1 4 : 2 = 2 Rest: 0 2 : 2 = 1 Rest: 0 1 : 2 = 0 Rest: 1 Resultat: : 2 = 13 Rest: 1 13 : 2 = 6 Rest: 1 6 : 2 = 3 Rest: 0 3 : 2 = 1 Rest: 1 1 : 2 = 0 Rest: 1 Resultat:

19 Oktalzahlen Basis 8 Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7. Anwendung in der Computertechnik: Jede Ziffer einer Oktalzahl kann durch drei Bit dargestellt werden. Umgekehrt kann aus einer Binärzahl durch Gruppierung von jeweils drei Bit eine Oktalzahl erzeugt werden. Oktalzahlen werden heute noch bei der Darstellung von Dateizugriffsrechten unter Unix verwendet, wo je drei Bit die Rechte einer Benutzerklasse darstellen. Beispiel: (1275) 8 = = =(701) 10 (1710) 8 = 0+8+7* = (968) 10 19

20 Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Oktalzahl Beispiel: m= (1) Teile die Zahl mit Rest durch 8. (2) Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). (3) Falls der (ganzzahlige) Quotient < 8 ist, bist du fertig, andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl und wiederhole ab (1). 132 : 8 = 16 Rest: 4 16 : 8 = 2 Rest: 0 2 : 8 = 0 Rest: 2 Resultat:

21 Aufgabe Berechnen Sie die dezimalen Werte der folgenden Oktalzählen 1. m= m= m= Berechnen Sie die Oktaldarstellung 1. m= m= m=

22 Lösung 3.1 1) m= = ) m= = ) m= =

23 Lösung m= m= m= : 8 = 34 Rest: 6 34 : 8 = 4 Rest: 2 4 : 8 = 0 Rest: 4 Resultat: : 8 = 19 Rest: 4 19 : 8 = 2 Rest: 3 2 : 8 = 0 Rest: 2 Resultat: : 8 = 3 Rest: 3 3 : 8 = 0 Rest: 3 Resultat:

24 Hexadezimalzahlen Basis 16 Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F Anwendung in der Computertechnik: Das Hexadezimalsystem eignet sich sehr gut, um Folgen von Bits darzustellen. Vier Stellen einer Bitfolge (ein Tetrade) werden wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems, da 16 die vierte Potenz von 2 ist. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben. Beispiel: (1B2) 16 = = =(434) 10 (3C8) 16 = = (968) 10 24

25 Zahlen dezimal oktal binär hexa A B C D E F 10 25

26 Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl Beispiel: m= (1) Teile die Zahl mit Rest durch 16. (2) Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). (3) Falls der (ganzzahlige) Quotient < 16 ist, bist du fertig, andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl und wiederhole ab (1). 1532: 16 = 95 Rest: : 16 = 5 Rest: 15 5 : 16 = 0 Rest: 5 Resultat: 5FC = = =

27 Aufgabe Berechnen Sie die dezimalen Werte der folgenden Hexadezimalzählen 1. m= m=2c5e m=a Berechnen Sie die Hexadezimaldarstellung 1. m= m= m=

28 Lösung 4.1 1) m= = ) m=2c5e * *4096 = ) m=a =

29 Lösung m= m= m= : 16 = 17 Rest: 6 17 : 16 = 1 Rest: 1 1 : 16 = 0 Rest: 1 Resultat: : 16 = 9 Rest: 12 9 : 16 = 0 Rest: 9 Resultat: 9C : 16 = 1 Rest: 11 1 : 16 = 0 Rest: 1 Resultat: 1B 16 29

30 Umwandlung von Binärzahlen in Oktalzahlen Man erhält den oktalzahlen Wert einer Binärzahl, indem man sie von rechts nach links in Dreiergruppen zusammenfasst und die Werte dieser Dreiergruppen aufschreibt. Umgekehrt erhält man die Binärdarstellung einer Oktalzahl, indem man die einzelnen oktalen Ziffern in binäre Dreiergruppen auflöst = = = = = = = =

31 Umwandlung von Binärzahlen in Hexadezimalzahlen Man erhält den hexadezimalen Wert einer Binärzahl, indem man sie von rechts nach links in Vierergruppen(Tetrade) zusammenfasst und die hexadezimalen Werte dieser Vierergruppen aufschreibt. Umgekehrt erhält man die Binärdarstellung einer Hexadezimalzahl, indem man die einzelnen hexadezimalen Ziffern in binäre Vierergruppen auflöst = =3FF = =67D 16 4FA 16 = A 16 = 10= F 16 = 15= = 4=

32 Umwandlung zwischen Hexadezimalzahlen in Oktalzahlen Um Zahlen zwischen Oktalsystem und Hexadezimalsystem umzuwandeln, ist es zweckmäßig, den Zwischenschritt über das Binärsystem zu gehen. Die Hexadezimalzahl/Oktalzahl wird in eine Folge von Binärziffern umgewandelt. Die Vierergruppen/Dreiergruppen in Dreiergruppen/Vierergruppen umwandeln. Anschließend wird die Binärfolge in eine Oktalfolge/Hexadezimalfolge übersetzt. Beispiel: FA23 16 = = 001'111'101' '011 2 = = 010'010'101'111'001 2 = =

33 Hausaufgabe 1 Fühlen Sie folgende Tabelle aus 10 dezimal ??? 8 oktal? 1547? 723? 16 hexadezimal?? 1AE? 24D 2 Finden Sie Max( , , 532 8, ) 3 Finden Sie Min( 52 10, 36 16, 30 8, ) 4 Berechnen Sie Berechnen Sie Clip art licensed from the Clip Art Gallery on DiscoverySchool.com 33

34 Fragen? 34