Exemplar für Prüfer/innen

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1 Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung 14 Angabe für Prüfer/innen

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

3 Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

4 Aufgabe 1 Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck Gegeben ist folgende Abbildung eines rechtwinkeligen Dreiecks: C x z A Aufgabenstellung: y B Stellen Sie die angegebenen Winkelfunktionen in Abhängigkeit von den gegebenen Seitenlängen dar! sin(α) = cos(β) = Leitfrage: Zeichnen Sie in obiger Darstellung die Höhe h auf die Seite x ein! In einem Schulheft fi ndet sich folgende Berechnung: sin(α) = h y h = y sin(α) r 2 + h 2 = y 2 r 2 + (y sin(α)) 2 = y 2 r = y 2 (y sin(α)) 2 Geben Sie an, wo sich im gegebenen Dreieck die hier berechnete Streckenlänge befi ndet! Geben Sie einen weiteren möglichen Term zur Ermittlung von r an! Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

5 Lösung zur Aufgabe 1 Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: sin(α) = z x cos(β) = z x Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Terme richtig aufgestellt werden. Äquivalente Terme sind ebenfalls als richtig zu werten. Lösungserwartung zur Leitfrage: C x r h z A y B Durch die Größe r wird der Abstand des Höhenfußpunktes der Höhe h vom Eckpunkt A beschrieben. Weitere mögliche Terme: r = y cos(α) h r = tan(α) r = h tan(90 α) r = y sin(90 α) Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Höhe h korrekt eingezeichnet wird, die Größe r richtig ausgewiesen wird und ein weiterer Term zur Berechnung von r angegeben wird. Äquivalente Terme sind ebenfalls als richtig zu werten. Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

6 Aufgabe 2 Lineare Funktion Die Gleichung 2 x + 3 y = 5 beschreibt eine Gerade, die auch als lineare Funktion f in der Form f(x) = k x + d angegeben werden kann. Aufgabenstellung: Zeichnen Sie den Graphen dieser linearen Funktion f in das vorgegebene Koordinatensystem ein und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Bestimmen Sie die Parameter k und d und stellen Sie diese in Ihrer Zeichnung dar! 4 f(x) x Leitfrage: Um die Lagebeziehung des Punktes P = ( 2,5 3,5) zum Funktionsgraphen zu untersuchen, zeichnet eine Schülerin / ein Schüler diesen Punkt im Koordinatensystem ein. Erklären Sie, warum diese Vorgehensweise noch keinen eindeutigen Schluss über die Lagebeziehung zulässt und welche Möglichkeit es gibt, exakt zu überprüfen, ob dieser Punkt P auf dem Graphen der Funktion liegt! Führen Sie diese Überprüfung für den gegebenen Punkt P durch! Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

7 Lösung zur Aufgabe 2 Lineare Funktion Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: k = 2 3 d = 5 3 f 4 3 f(x) x 1 2 Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Gerade korrekt eingezeichnet wird (d. h., sie muss annähernd durch die Punkte (1 1) und (2,5 0) gehen), die Parameter k und d richtig angegeben werden sowie ein korrektes Steigungsdreieck und der Ordinatenabschnitt richtig eingezeichnet werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Konstruktive Lösungen sind mit Ungenauigkeiten behaftet. Eine Rechnung zeigt eindeutig, ob der Punkt auf der Geraden liegt oder nicht. Die Koordinaten von P müssen die Gleichung 2 x + 3 y = 5 erfüllen, oder man überprüft, ob das Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung f( 2,5) = 3,5 eine wahre Aussage liefert. 2 ( 2,5) + 3 3,5 = 5,5 5, also liegt der Punkt P nicht auf der Geraden. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein Argument für die Unzulänglichkeit von konstruktiven Lösungen angegeben und eine rechnerische Überprüfung korrekt durchgeführt wird. Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

8 Aufgabe 3 Nullstellen und Extremstellen der Sinusfunktion Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = a sin(b x) mit den Parametern a R +, b N und b 0. Aufgabenstellung: Erklären Sie den Einfluss der Parameter a und b auf den Verlauf des Graphen der Funktion f und geben Sie an, welche Auswirkungen eine Verdoppelung des Parameters a im Hinblick auf die Anzahl und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen der Funktion f im halboffenen Intervall [0; 2π) hat! Leitfrage: Erklären Sie den Einfluss der Parameter a und b auf die Anzahl der Nullstellen der Funktion f im Intervall [0; 2π) und beschreiben Sie die Periodizität der Funktion f in Abhängigkeit von den Parametern! Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

9 Lösung zur Aufgabe 3 Nullstellen und Extremstellen der Sinusfunktion Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Der Parameter a bestimmt die Amplitude der Funktion f, der Parameter b bestimmt die Periodenlänge der Funktion f. Eine Verdoppelung des Parameters a führt zu einer Verdoppelung der Funktionswerte der Extremstellen und hat keine Auswirkung auf die Anzahl der Extremstellen. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Einfluss der Parameter a und b auf den Verlauf des Graphen von f sinngemäß richtig erläutert wird und die Auswirkungen einer Verdoppelung von a der Lösungserwartung entsprechend angegeben werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Der Parameter a hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Nullstellen. Für b = 1 gibt es im Intervall [0; 2π) zwei Nullstellen, für b = 2 vier Nullstellen, für b = 3 sechs Nullstellen usw. Die Anzahl der Nullstellen der Funktion f ist somit 2 b. Die Periodenlänge ist 2π b und es gilt f(x + 2π ) = f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich. b Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Auswirkungen der Parameter a und b im Hinblick auf die Nullstellen und die Periodenlänge der Lösungserwartung entsprechend angegeben werden, wobei f(x + 2π ) = f(x) auch in Worten beschrieben werden kann. b Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

10 Aufgabe 4 Graph einer Stammfunktion In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades dargestellt. f(x) f x Aufgabenstellung: Skizzieren Sie in der gegebenen Abbildung den Graphen einer Stammfunkton F der Funktion f und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Eine andere Funktion g dritten Grades besitzt an der Stelle x = 0 eine Wendestelle mit g (0) = 0, verläuft durch den Punkt (0 0) und ist im gesamten Verlauf monoton steigend. Geben Sie an, wie sich der Monotonieverlauf des Graphen einer Stammfunktion G der Funktion g von jenem des skizzierten Graphen F unterscheidet! Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13

11 Lösung zur Aufgabe 4 Graph einer Stammfunktion Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: f(x) f x F Die Nullstellen von f sind Extremstellen von F. In Intervallen, in denen f(x) negativ ist, ist F monoton fallend. In Intervallen, in denen f(x) positiv ist, ist F monoton steigend. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Lösung (sinngemäß) der Lösungserwartung entspricht. Dabei müssen die Hoch- und Tiefpunkte von F an den richtigen Stellen eingezeichnet werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Die Stammfunktion G ist eine Polynomfunktion vierten Grades der Art: G(x) = a x 4 + c. Der Graph von G ist im Intervall ( ; 0) streng monoton fallend und im Intervall (0; ) streng monoton steigend. Er wechselt das Monotonieverhalten im Gegensatz zum Graphen von F nur einmal. Ein Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn das unterschiedliche Monotonieverhalten der beiden Graphen der Lösungserwartung (sinngemäß) entsprechend angegeben wird. Dies kann auch anhand einer Skizze erläutert werden. Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

12 Aufgabe 5 Anzahl der Kinder In einem Betrieb wird die jeweilige Anzahl an Kindern je Mitarbeiter/in erhoben. Die Ergebnisse werden mithilfe einer Tabelle dargestellt, wobei k die Anzahl der Kinder und h die jeweils dazugehörige relative Häufigkeit beschreibt. k > 6 h 0,3 a 0,18 0,1 0,07 0,03 0,02 0 Aufgabenstellung: Geben Sie den Wert von a an! Eine Mitarbeiterin/ein Mitarbeiter des Betriebes wird zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person höchstens ein Kind hat! Leitfrage: In einem anderen Betrieb gibt es ausschließlich Mitarbeiter/innen, die höchstens vier Kinder haben, und es ergibt sich folgende Verteilung: Anzahl der Kinder 0,7 0,6 0,6 relative Häufigkeit h 0,5 0,4 0,3 0,2 0,2 0,1 0 0,1 0,04 0, k Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, den Median und den Modus der Anzahl der Kinder in diesem Betrieb! Überprüfen Sie die beiden nachstehenden Aussagen auf ihre Richtigkeit und begründen Sie Ihre Entscheidung! Die meisten Mitarbeiter/innen haben mindestens ein Kind. Durchschnittlich hat jede Mitarbeiterin / jeder Mitarbeiter in diesem Betrieb ein Kind. Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

13 Lösung zur Aufgabe 5 Anzahl der Kinder Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: a = 0,3 P(X = 0) + P(X = 1) = 0,3 + 0,3 = 0,6 = 60 % Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl der Wert von a als auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit korrekt angegeben werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Das arithmetische Mittel beträgt 1,16 Kinder. Der Median beträgt 0 Kinder. Der Modus beträgt 0 Kinder. Die erste Aussage ist falsch, weil 60 % der Mitarbeiter/innen keine Kinder haben. Die zweite Aussage ist richtig, weil das arithmetische Mittel 1,16 beträgt, und da k nur ganzzahlig sein kann, ist es sinnvoll, den Wert von 1,16 auf 1 zu runden. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle drei Mittelwerte korrekt berechnet und die beiden Aussagen (sinngemäß) richtig bewertet werden. Kompensationsprüfung 14 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13