Planungsblatt für die 4C

Transkript

1 Planungsblatt für die 4C nfang: 26 oder 27 Mai Ende: Wird bekannt gemacht Stoff Die Zahl π spielt in er Mathematik eine wichtige Rolle. Daher - we proudly present - ein rbeitsblatt über diese Zahl. Wenn möglich werde ich etwas Geschichte und so weiter dazu erzählen. Wichtig!!! Nach diesem rbeitsblatt verstehst du: (a) was man mit π machen kann! Schulübungen. (a) nach einer kleinen Einleitung geht es mit dem rbeitsblatt los! Hausaufgaben Für jedes nächste Mal: Mache mit dem rbeitsblatt weiter. edenke, dass ich mir erwarte, dass du auch daheim weiter arbeitest, und dass ich das kontrolliere! Ich werde mir das Heft von jeder Person mal anschauen und bewerten! Die letzte ufgabe ist von jedem ZUGEEN: Das rbeitsblatt Die Zahl π entziffern muss dan zuerst fertig sein. Schreibe einen leserlichen und lesbaren Text mit etwa 10 Sätzen, in dem du beschreibst, was du jetzt über π weißt. Wann dies abzugeben ist - der Deadline -, werde ich bekanntmachen. Die, die früher fertig sind, können früher mit dem nächsten rbeitsblatt weitergehen. 1

2 rbeitsblatt Die Zahl π entziffern chtung: Formuliere immer deine ntwort mittels eines oder mehrerer Vollsätze! Wir haben die Zahl π schon einmal gesehen; der Imkreis eines Kreises mit Radius r ist 2πr und der Flächenhalt desselben Kreises beträgt πr 2. Da Kreise überall in der Mathematik wieder zurückkommen, findet man die Zahl π auch fast überall zurück. Sogar die zahlentheoretische Formeln Ramanujans, mit denen er Eigenschaften von Primzahlen beschrieb, zeigen oft die Zahl π, aber auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung - bei der Normalverteilung, oder auch wohl der Gaussischen Verteilung - zeigt diese Zahl π sich. Mathematik ist eine interdisziplinäre Wissenschaft, was heißt, dass sie in anderen Wissenschaften eine gewichtige Rolle spielt, und dass mathematische Fragen oft aus anderen Wissenschaften kommen. us diesem Grund findet man die Zahl π auch in anderen Wissenschaften zurück. So habe ich als Physiker ein paar mal die Formeln für Volumina mehrdimensionaler Kugeln gebraucht, und rate mal, welche Zahl da immer erscheint? lso, Zeit diese Zahl ein wenig kennenzulernen, und ein wenig die Mystik um diese Zahl wegzunehmen. ufgabe 1. [Eine erste grobe nnäherung von π] etrachte die folgende unterstehende Figur, in der der Radius des Kreises eins ist: F E D G C H Das Ziel dieser ufgabe ist, die Fläche und den Umkreis einzuschränken; wir werden dann eine obere Schranke und eine untere Schranke finden. (a) Wie groß ist die Distanz zwischen und? (b) Was ist der Umkreis des großen Quadrats? (c) Wie lange ist die Strecke C? (Hinweis: Pythagoras; zeichne die Strecken E und GC ein.) (d) Was ist der Umkreis des kleinen Quadrats? (e) Was ist der Flächeninhalt des großen Quadrats? (f) Was ist der Flächeninhalt des kleinen Quadrats? (g) Wenn der Umkreis eines Kreises mit Radius r durch 2πr gegeben ist, benutze deine obigen Ergebnisse für eine obere und untere Schranke von π. (Hinweis: der Umkreis des großen Quadrats ist größer als der Umkreis des Kreises.) (h) Wenn der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r durch πr 2 gegeben ist, benutze deine obigen Ergebnisse für eine obere und untere Schranke von π. (Hinweis: der Flächeninhalt des großen Quadrats ist größer als der Flächeninhalt des Kreises.)

3 ufgabe 2. [eine zweite nnäherung von π] etrachte folgende Figur, in der der Radius des Kreises, der von innen und von außen umgeben ist durch zwei Sechsecke, eins ist: Ziel dieser ufgabe ist es, davon ausgehend, dass der Umkreis des gegebenen Kreises 2π ist und sein Flächeninhalt durch π gegeben ist, obere und untere Schranken für π zu finden. (a) Wissend, dass der Radius des Kreises eins ist, leite ab, wie groß eine Kante des kleinen Sechsecks ist. (Hinweis: verbinde zwei gegenüberliegende Eckpunkte.) (b) Für den Radius des großen Sechsecks müssen wir etwas mehr arbeiten; du solltest dein Wissen über gleichseitige Dreiecke benutzen. Zeichne ein gleichseitiges Dreieck C und zeichne die Höhenlinie h c ein, und sei D der Fußpunkt der Höhenlinie, sodass D = D. Wenn = 1, wie lange ist dann h c? Und umgekehrt, wie viel länger ist als h c? (c) etrachte die folgende Skizze C D und benutze sie, die Länge der Kanten des großen Sechsecks zu finden. (Hinweis: wie hängen gleichseitige Dreiecke und Sechsecke zusammen?) 3

4 (d) erechne die Umkreise der Sechsecke und finde damit eine obere und eine untere Schranke für π. (e) Der Flächeninhalt eines Sechsecks kann man ausrechnen, wenn man der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit vorgegebenen Seitenlänge weiss. erechne für ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a den Flächeninhalt. (f) enutze das vorige Ergebnis um obere und untere Schranken für π zu finden. ufgabe 3. Eine erste nwendung: wissend, dass der Umkreis der Erde so ungefähr Kilometer ist, was ist der Radius der Erde? Vergleiche mit Daten aus einem tlanten. ufgabe 4. Wenn wir den Radius eines Kreises um einen Faktor 2, 3, 4 oder 5 vergrößern, was passiert dann mit (a) dem Umkreis, (b) dem Flächeninhalt? Ist das logisch? Kannst du ein rgument finden? ufgabe 5. [onus] Zeichne einen Kreis. Teile den Kreis in Sektoren ein - nimm etwas 12 Sektoren (so wie beim Torteschneiden). Du kannst die Sektoren nebeneinander liegen; den einen mit Spitze nach oben, den nächsten mit der Spitze nach unten, den nächsten dann wieder mit der Spitze nach oben,... usw. Du bekommst eine Figur, die einem Viereck ähnlich ist. Leite aus der Formel für den Umkreis, die Formel für den Flächeninhalt ab, indem du immer kleinere Sektoren nimmst. (Es handelt sich hier um einen Grenzprozess; wir nehmen immer feinere Verteilungen und sehen, dass wir immer bessere Vierecke bekommen...) ufgabe 6. Stell dir eine meise vor, die über den Rand eines Kreises läuft. Wenn der Winkel zwischen nfangspunkt und Endpunkt 60 o beträgt, welche Distanz hat der meise dann zurückgelegt? Und wenn der Winkel x Grad beträgt? ufgabe 7. Eratosthenes war ein Grieche, der 200 Jahr bevor nfang des christlichen Kalenders in lexandrien wohnte. Er ist bekannt geworden, weil wir von ihm wissen, dass er den Umkreis der Erde gemessen hat - oder besser gesagt, aus den vorliegenden Daten abgeschätzt. Da die Legende verschiedene Versionen hat, werden wir nie genau wissen, wie er das machte. Trotzdem sind einige Sachen uns bekannt; er benutzte, dass in einem Dorf Syene (mehr oder weniger das heutige swan (auch wohl ssouan)) irgendwann im Jahr die Sonne senkrecht über Syene steht. In lexandrien stand die Sonne dann nicht senkrecht über lexandrien und mit einem Stab (oder mit einem aum, Gebäude,...) maß er den Winkel zwischen Sonne und zimuth (das ist der Punkt am Himmel, der senkrecht über uns steht). Siehe im ild hier unten: Q R P (a) Erkläre, wie es möglich ist, mithilfe eines Stabs und seines Schattens den Winkel zwischen Sonne und zimuth zu messen. 4

5 (b) Schau dir die nächste Skizze an, in welcher für lexandrien Steht, für Syene und M für den Mittelpunkt der Erde: M und erkläre, dass der Winkel, den Eratosthenes in lexandrien maß, dem Winkel M gleicht. (c) Mit dem Winkel M und mit der Distanz Syene-lexandrien, die damals bekannt war, berechnete Eratosthenes den Umkreis der Erde. Erkläre, wie man aus diesen Daten den Umkreis der Erde berechnen kann. ufgabe 8. Es gibt noch mehr Formeln mit π, die hin und wieder nutzvoll sind. Zum eispiel, der Flacheninhalt einer Sphäre beträgt 4πr 2, wobei r der Radius ist. Das Volumen einer Kugel mit Radius r beträgt 4 3 πr3. Es fällt also auf, dass das Volumen mit der dritten Potenz und der Flächeninhalt mit der zweiten Potenz des Radius wächst. (a) In welchen Einheiten messen wir Flächeninhalte? (b) In welchen Einheiten messen wir Volumina? (c) Ist es logisch, dass Volumen von der dritten Potenz des Radius abhängt? (d) Die Wärmeproduktion eines Tieres ist proportional zur Masse, also grob gesagt, zum Volumen. Die Wärmeverlust ist proportional zum Oberflächeninhalt. Erkläre warum dies so ist! (e) Erkläre dann jetzt, warum kleine Tiere größere Schwierigkeiten haben, sich warm zu halten, als große Tiere. (f) Erkläre, warum es biologisch betrachtet spannend ist, wenn man ganz kleine gleichwarme (hom ootherme) Tiere, z Saugetiere, findet. ufgabe 9. Der Radius der Erde ist etwa 6265 Kilometer. erechne bzw. schätze folgende Größen ab: (1) den Umkreis, (2) der Oberflächeninhalt, (3) das Volumen, (4) das Gewicht, wenn es gegeben ist, dass ein Kubikmeter im Durchschnitt etwa 6000 Kilogramm wiegt. ufgabe 10. [Deadline wird bekanntgemacht; früher abgeben kann auch.] Schreibe in einem ericht von etwa 10 Zeilen, was du mit diesem rbeitsblatt gelernt hat. VON JEDER PERSON MUSS ICH DIES SEHEN! 5