Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet WS 2016/2017 Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

2 Stetigkeit einer Funktion (continuity of a function) Stetigkeit einer Funktion Sei I ein Intervall von R und f : I R eine reelle Funktion: 1 f ist stetig (continuous) in x 0 I, wenn: ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) < ε 2 f ist stetig auf dem Intervall I, wenn f in allen x I stetig ist. f ist an der Stelle x 0 stetig, wenn gilt: lim x x 0 f (x) = lim x x + 0 f (x) = f (x 0 ) Bsp.: Polynom sind stetig auf R, rationale Funktionen sind stetig auf ihren Definitionsbereich, exp-, ln-funktion sind stetig auf ihren Definitionsbereich, abschnittsweise definierte Funktion sind meistens nicht stetig. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

3 Stetigkeit einer Funktion (continuity of a function) Eigenschaften Sei I ein Intervall von R und f, g : I R eine reelle Funktion, seien f und g stetig an der Stelle x 0, dann gilt: 1 f + g ist stetig in x 0 2 f g ist stetig in x 0 3 für g(x 0 ) 0 ist 1 g stetig in x 0 Außerdem gilt: Ist g stetig in x 0 und f stetig in g(x 0 ), so ist f g stetig in x 0. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

4 Hebbare Definitionslücke (removable singularity) Hebbare Definitionslücke Sei I ein Intervall von R, x 0 I und f : I \ {x 0 } R eine stetige Funktion, 1 f ist stetig fortsetzbar in x 0, wenn es eine Zahl l gibt, so dass: lim x x0 = l. 2 f : I { R ist die stetige Fortsetzung von f, es gilt: f f (x) für x I \ {x 0 } (x) = l x = x 0 Bsp.: Untersuchen Sie, ob die Funktion f : R \ {1} R, x x2 1 x 1 bei x = 1 stetig fortgesetzt werden kann Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

5 Zwischenwertsatz(Intermediate value theorem) Zwischenwertsatz Sei f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b], dann es existiert zu jedem y 0 zwischen f (a) und f (b) mindestens eine Stelle x 0 [a, b], so dass f (x 0 ) = y 0 Eine weitere Formulierung: Sei f : I R stetig und I ein Intervall, dann ist f (I) ein Intervall (eventuell einpunktig). Sonderfall: Nullstellensatz Sei f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b], haben f (a) und f (b) verschiedene Vorzeichen, so gibt es mindestens eine Stelle x 0 [a, b] mit f (x 0 ) = 0. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

6 Umkehrfunktion Satz Sei I ein Intervall, I R und f : I R sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist die Bildmenge J = f (I) ein Intervall. f : I J ist bijektiv und die Umkehrfunktion f 1 : J I ist streng monoton wachsend/fallend und stetig. Bsp.: Bestimmen Sie, falls sie existiert, die Umkehrfunktion von f (x) = ln(x 2 2x + 3). Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

7 Vorlesung 8 (Lecture 8) Differentialrechnung differential calculus Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

8 Differenzierbarkeit (derivability) Differenzierbarkeit Die Funktion f : D R (D R) sei auf einem offenen Intervall D definiert. f heißt differenzierbar an einer Stelle x 0 D, falls der Grenzwert: f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h := f (x 0 ) existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als erste Ableitung von f in x 0 und schreibt dafür f (x 0 ) (Sprechweise f Strich von x 0 ) oder df dx (x 0). f heißt differenzierbar auf dem Intervall D, wenn f an jedem x 0 D differenzierbar ist. Bsp.: f : R R, x x 2 x 0 R, lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = lim x x0 x 2 x 2 0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 ) (x + x 0 ) x x 0 = 2x 0 Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

9 Geometrische Interpretation (Geometrical interpretation) Geometrische Interpretation der Ableitung (siehe Tafel) f (x 0 ) ist die Steigung der Tangente an f im Punkt P = (x 0, f (x 0 )). Tangentengleichung (t P (x) = m x + b) an f im Punkt P = (x 0, f (x 0 )) mit m = f (x 0 ) und t p (x 0 ) = f (x 0 ). t P (x) = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) Bsp.: f (x) = x 2, x 0 = 3. t P (x) =?. t P (x) = f (2) (x 2) + f (2). Mit f (2) = 2 3 = 6, f (2) = 9 gilt für die Tangentengleichung: t P (x) = 6 (x 2) + 9 = 6x = 6x 3. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

10 Differenzierbarkeit und Stetigkeit (Derivability and continuity) Satz: Die Funktion f : D R sei auf einem offenen Intervall D definiert. Ist f an der Stelle x 0 D differenzierbar, dann ist f in x 0 stetig. f ist in x 0 differenzierbar f ist in x 0 stetig f ist auf dem intervall D differenzierbar, dann ist f stetig auf D. Bemerkung: Ist f in x 0 nicht stetig, dann ist f in x 0 nicht differenzierbar. Bsp.: f : R R, x x, f ist stetig in x 0 = 0, aber sie ist nicht differenzierbar an der Stelle x 0 = 0. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

11 Ableitungsregeln (Derivative rules) Ableitungsregeln Seien f, g zwei Funktionen, D R, D R, differenzierbar auf D 1 Ableitung von Summen: (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f + g) = f + g 2 Produktregel: (f g) (x) = f (x) g(x) + g (x) f (x) (fg) = f g + g f 3 Quotientregel ( x D, g(x) 0): ( ) f (x) = f (x) g(x) g (x) f (x) g (g(x)) 2 ( ) f = f g g f g g 2 Beweis: siehe Tafel. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

12 Wichtige Ableitungen (Derivatives) f (x) f (x) f (x) f (x) c (c R) 0 x n (n N) n x n 1 1 x 1 x 2 1 x 2 x e x ln(x) cos(x) sin(x) e x 1 x sin(x) cos(x) x α (α R) α x α 1 tan(x) 1 + tan 2 (x) Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

13 Beispiel (Example) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen (siehe Tafel für die Lösung): f (x) = 4x 4 + 3x 3 + 2x f (x) = x ln(x) f (x) = ln(x) x f (x) = sin(x) + cos(x) f (x) = x 2 e x f (x) = 1 x 3 Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

14 Kettenregel (Chain rule) Satz: Ist f an der Stelle x 0 differenzierbar und g an der Stelle f (x 0 ) differenzierbar, dann ist (g f ) an der Stelle x 0 differenzierbar. Es gilt: (g f ) (x 0 ) = f (x 0 ) }{{} g (f (x 0 )) }{{} innere Ableitung außere Ableitung Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

15 Beispiel (Example) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen (siehe Tafel für die Lösung): h(x) = (2x + 1) 3 h(x) = sin(x 2 ) x h(x) = (1 + x 2 ) 4 h(x) = ln(1 + x 4 ) ( ) 1 h(x) = ln x h(x) = e x2 h(x) = a x (a > 0, a 1, a R) Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

16 Ableitungsregel (Derivative rule) Satz: Ist f bijektiv und an der Stelle x 0 differenzierbar mit f (x 0 ) 0, so ist auch ihre Umkehrfunktion f 1 an der Stelle f (x 0 ) differenzierbar, und es gilt: ( f 1 ) (x 0 ) = 1 f ( f 1 (x 0 )) Bsp.: Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

17 Höhere Ableitungen(higher order derivatives) Höhere Ableitungen: Sei f : D R in x 0 D differenzierbar und ist die erste Ableitung f in x 0 differenzierbar, d.h. existiert: f (x 0 + h) f (x 0 ) lim h 0 h := f (x 0 ) so heißt f zweimal differenzierbar in x 0 und f (x 0 ) die zweite Ableitung von f in x 0. Analog definiert man höhere Ableitungen. Bsp.: Bestimmen Sie die drei ersten Ableitungen der folgenden Funktionen: f (x) = ln(1 + x), f (x) = x 3 + 2x 2 1, f (x) = x e x. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

18 Extremwerte(Extreme values) Extremwerte: Seien f : D R, x 0 D. Die Funktion f hat an der Stelle x 0 ein globales Maximum bzw. Minimum, wenn für alle x D \ {x 0 } gilt: f (x) f (x 0 ) bzw. f (x) f (x 0 ). Sei I D ein offenes Intervall, I =]x 0 δ, x0 + δ[\{x 0 }, δ > 0, die Funltion f hat an der Stelle x 0 ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, wenn für alle x I gilt: f (x) f (x 0 ) bzw. f (x) f (x 0 ). Hat die Funktion f in x 0 ein lokales Maximum bzw. Minimum, dann ist x 0 eine lokale Extremstelle von f. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

19 Notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle Satz: Sei D ein offenes Intervall und f : D R ist differenzierbar auf D. Ist x 0 D eine lokale Extremstelle von f, dann gilt f (x 0 ) = 0. x 0 ist eine lokale Extremstelle f (x 0 ) = 0 Bemerkung: notwendige Bedingung aber nicht hinreichende Bedingung. Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20

20 Bedingungen für eine lokale Extremstelle Bedingungen für eine lokale Extremstelle Seien D ein offenes Intervall und f : D R zweimal differenzierbar auf D, und es gilt: 1 Vorzeichen der zweiten Ableitung: f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0 x 0 ist ein lokales Minimum von f f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0 x 0 ist ein lokales Maximum von f f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0 keine Aussage 2 Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung: von nach lokales Maximum von nach lokales Maximum keinen Vorzeichenwechsel kein Extremum Bsp.: Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen lokale Extremstelle besitzen: f (x) = 2 3 x3 3x 2 8x f (x) = x 3 Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/ / 20