Optimale Vorbereitung auf die Mathematik-Prüfung

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1 Ott Rosner Optimale Vorbereitung auf die Mathematik-Prüfung zur Fachhochschulreife (am Berufskolleg) Verständliche Zusammenfassungen und Basisübungen Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Stefan Rosner Lehrer an der aufm. Schule in Schwäbisch Hall Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Coverbild (Joker): fotomaedchen - Fotolia.com * * * * *. Auflage 8 7 b MERUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. G, 75 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 I. Grundlagen Analsis. Parabel schneidet die -Achse, eine Gerade bzw. eine weitere Parabel Hierdurch erhält man stets eine quadratische Gleichung, welche durch die abc- oder pq-formel gelöst wird. abc-formel : Dabei wird der Term unter der Wurzel als Diskriminante (D) bezeichnet. pq-formel : Deren Vorzeichen entscheidet über die Anzahl an Lösungen der Gleichung und damit über die Anzahl der Schnittstellen. Parabel und - Achse (im Fall D > ) Beispiel: Ansatz : ( für einsetzen) abc-formel oder pq-formel 4 / / 4 a p p q b b a c (,5) (,5) 9(D>),5,5 (D > ),5,5 ; ( Lösungen), 5,5;,5,5 Parabel und Gerade (im Fall D = ) Beispiel:, 5 (Parabel);, 5 (Gerade) Ansatz:,5,5 (gleichsetzen) abc-formel oder pq-formel 4 / / / (D=) (D=) ( Lösung) Parabel und weitere Parabel (im Fall D < ) Beispiel:, 5;, 75 Ansatz :, 5, 75 (gleichsetzen) 4 abc-formel oder pq-formel,5 ( 4) ( 4) 4 / /,5 4 8(D<) 4 ( Lösungen),5 (D < ) / 4

4 Übersicht: Gegenseitige Lage in Abhängigkeit von der Diskriminante (D) Parabel und -Achse I. Grundlagen Analsis Parabel und Gerade Parabel und weitere Parabel D Lösungen, Schnittstellen D Lösung, Schnittstelle (Berührstelle) D Lösungen, Schnittstellen Hinweis: Umrahmt ist jeweils die auf der Vorseite berechnete Situation. 5

5 I. Grundlagen Analsis. Funktionen. Ganzrationale Funktionen (Polnome). Grades (Geraden). Grades (Parabeln) Hauptform : mb Allg.: f a b c Vorgehen zum Einzeichnen: hoch / runte r -Achsen - rechts abschnitt Steigung aus Punkten: m Steigungswinkel aus Steigung bestimmen: m tan Parallele Geraden: m m (gleiche Steigung) Senkrechte (orthogonale) Geraden: Steigungen sind negative ehrwerte voneinander: m bzw. m m m Scheitelpunkt-Ansatz: f a ( s) s mit S( s s) a : nach oben geöffnet bzw. Verlauf von II nach I a : nach unten geöffnet bzw. Verlauf von III nach IV Schnittpunkt mit -Achse: S ( c) Bei Smmetrie zur -Achse: f a c (nur gerade Hochzahlen). Winkelhalbierende: ( m). Winkelhalbierende: ( m) g j h h - - i i - - g f: g: : (. Winkelhalbierende) h :,5 :,5 i j f: f g : g : h h : i,5 i 6

6 I. Grundlagen Analsis. Grades 4. Grades Allg.: f a b c d a : Verlauf von III nach I a : Verlauf von II nach IV Allg.: 4 f a b c d e a : Verlauf von II nach I a : Verlauf von III nach IV Schnittpunkt mit -Achse: S ( d ) Schnittpunkt mit -Achse: S ( e ) Ansatz bei Smmetrie zum Ursprung: f a c (nur ungerade Hochzahlen) Ansatz bei Smmetrie zur -Achse: f a c e 4 (nur gerade Hochzahlen) g g h - - h f f : 9 g : g 4 4 h : h 5 7 : f f 4 g : g,5 4 h : h 4 Tipp (für alle ganzrationalen Funktionen) a : Verlauf von... nach I ( endet oben ) a : Verlauf von... nach IV ( endet unten ) Die Quadranten II I III IV 7

7 I. Grundlagen Analsis. Der Nullstellenansatz und die Vielfachheit von Nullstellen Beispiele g h : f =,5 ( + 5) ( + ) : g =,8 ( + ) ( ) : h = ( 4) f g h Aufbau des Nullstellenansatzes (am Beispiel) g =,8 + Verlauf von III nach IV = // =+ ist einfache ist dreifache Nullstelle Nullstelle Übersicht (für ganzrationale Funktionen) Vielfachheit Nullstelle Faktor im Nullstellenansatz Skizze Beschreibung Einfache Nullstelle: f =... ( )... Schaubild schneidet -Achse (mit Vorzeichenwechsel VZW) Doppelte Nullstelle: f =... ( )... Schaubild berührt -Achse (ohne VZW) Dreifache Nullstelle: f =... ( )... Schaubild schneidet und berührt -Achse (mit VZW) 8

8 I. Grundlagen Analsis 4. Differenzialrechnung 4. Ableitungsregeln Nr. Beispiel Vorgehen Elementarregeln 5 f = f = 5 = f = f = ( = ) f = = f = = = Eponent f = f = Eponent (Potenzregel) Eponent 4 f = e f = e f = sin f = cos f = cos f = sin Abschreiben cos sin cos sin ( Im Uhrzeigersinn! ) Vorgehensregeln 5 f = f = = 6 Zahlen mit oder : bleiben (Faktorregel) 6 f = + f = Zahlen mit + oder verschwinden 7 f = 4 f = 4 + und Zeichen unterteilen die Funktion in Teilfunktionen, welche einzeln abgeleitet werden (Summenregel) 4

9 I. Grundlagen Analsis Nr. Beispiel Vorgehen Anwendungen der ettenregel 8 9 f = e f = e f = sin f = cos f = cos f = sin k f = e f = k e k f = sin( k) f = k cos( k) f = cos( k) f = k sin( k) Die allgemeine ettenregel, aus welcher sich die Regeln 8- ergeben, lautet: f = u v f = u v v Äußere Ableitung Innere Ableitung 5

10 I. Grundlagen Analsis 4. Tangente. Aufgabentp (Tangente im urvenpunkt) Gegeben ist die Funktion f mit f = +,5. Bei dem -Wert wird eine Tangente und an das Schaubild angelegt. Berechnen Sie deren Gleichung. t P (...) Vorgehen: Ermittlung einer Tangente im urvenpunkt (geg. f und -Wert des urvenpunktes). -Wert des urvenpunktes berechnen (Einsetzen in f) f = + = (),5,5 P,5. Tangentensteigung berechnen (Einsetzen in f ) f = f () = = ( = mt ). Tangentengleichung berechnen (Einsetzen in = m + b) = mt + b, 5 = + b, 5 = + b,5= b Tangente: =,5 Alternative: Durch Einsetzen in die nachfolgende Punkt-Steigungs-Form (siehe Merkhilfe) kann alles in einem Schritt ausgeführt werden: Formel (allg.): = f ( u) ( u) + f( u) (mit u als Berührstelle) Einsetzen : = f () ( ) + f() = ( ) +,5 =,5 (Tangente) 6

11 I. Grundlagen Analsis 5. Flächen zwischen Schaubild und -Achse. Fläche oberhalb der -Achse Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit f = +. Welchen Inhalt besitzt die schraffierte Fläche? Ansatz b b A = f d = F = F( b) F( a) a [ ] a Lösung A = ( + ) d= + = + ( ) + ( ), FE Rechte Grenze nach oben, linke nach unten aufleiten Rechte und linke Grenze in Stammfunktion einsetzen, voneinander subtrahieren rechte Grenze A = linke Grenze Merkregel (Funktionsterm) d. Fläche unterhalb der -Achse Unterschied A = f d Minuszeichen beachten! Sonst : negatives Ergebnis Hinweis: Falls Sie für das Integral ein negatives Ergebnis erhalten, können Sie für den Wert des Flächeninhaltes einfach den entsprechenden positiven Wert nehmen. 5

12 I. Grundlagen Analsis. Zusammengesetzte Fläche 5 Beispiel : Gegeben ist die Funktion f mit f =. Welchen Inhalt besitzt 6 die schraffierte Fläche? Vorgehen (am Beispiel). Nullstellen bestimmen f = = ; = ; =,5 A = f d,56;,5,5. Teilflächeninhalte bestimmen A = f d,8; A = f d,57. Gesamtflächeninhalt bestimmen A = A+ A + A,56 +,8 +,57 = 4,95 Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren! Ansonsten werden positive und negative Integralwerte zu einer Flächenbilanz verrechnet. 4. Interpretation von Flächeninhalten Der Inhalt der markierten Fläche gibt an Beispiel Beispiel welche Wassermenge (in l) innerhalb welche Strecke (in m) innerhalb von 5 s zugeflossen ist. von 5 s zurückgelegt wurde. m Tipp : Einheit Integral( Fläche ) = Einheit Funktion Einheit Variable (z.b. m= s) s 5

13 I. Grundlagen Analsis 5. Flächen zwischen zwei Schaubildern. Einzelfläche Beispiel Gegeben sind die Funktionen mit = + f f und g mit g =. Welchen Inhalt besitzt die schraffierte Fläche? Ansatz b A = f g d a g Lösung Rechte Grenze nach oben, linke nach unten Oberer Funktions - term minus unterer Funktionsterm eventuell vereinfachen aufleiten A = ( + ) ( ) d = + d = + = + + = 4,5 FE Rechte und linke Grenze in Stammfunktion einsetzen, voneinander subtrahieren rechte Grenze linke Grenze Merkregel A = (oberer Funktionsterm unterer Funktionsterm) d Bemerkung (Lage zur - Achse) Bei einer Fläche, die zwischen zwei Schaubildern liegt, ist es hingegen völlig unerheblich, ob sich diese oberhalb oder unterhalb der -Achse befindet. 54

14 II. Basisübungen zur Analsis Aufgabe : Skizzieren Sie die Schaubilder in das oordinatensstem. : f = ( + 7) : g = ( + 5) ( + ) f g h i h : = i : = ( ) ( 4) ( 5) ( 6) Aufgabe Ermitteln Sie die Funktionsgleichung zum nebenstehenden Schaubild mit Hilfe des Nullstellenansatzes. Aufgabe 4 : Untersuchen Sie auf Asmptoten wie im Beispiel. Funktion Asmptote für + für a) f = e = X X b) f = + e c f = e d) f = e + e) f e = e + + ) X X X X X X X X 6

15 II. Basisübungen zur Analsis Aufgabe 5 : Ergänzen Sie die folgenden Sätze. a) Das Schaubild der Funktion g mit g = e entsteht aus dem Schaubild von f mit f = e durch Spiegelung an der -Achse, durch Streckung um den Faktor in -Richtung und durch Verschiebung um nach. b) Das Schaubild der Funktion g mit g = e entsteht aus dem Schaubild von f mit f = e durch Spiegelung an der -Achse und Verschiebung um nach. c) Das Schaubild der Funktion g mit g = 4sin + entsteht aus dem Schaubild von f mit f = sin durch Spiegelung an der -Achse, durch Streckung um den Faktor in -Richtung und durch Verschiebung um nach. d) Das Schaubild der Funktion g mit g = sin + 4 entsteht aus dem Schaubild von f mit f = sin durch Streckung um den Faktor in -Richtung (Periodenlänge = ) und durch Verschiebung um nach. Aufgabe 6 : Ermitteln Sie jeweils eine mögliche zugehörige Funktionsgleichung. a) f( ) = b) f( ) = c) f( ) = 64

16 II. Basisübungen zur Analsis. Gleichungen Aufgabe 7 Lösen Sie die Gleichungen. a) = 4 b) = c) 6 = d) e = 4 e) cos = f) e ( e ) = e g) = h) 4 = 7 + i) e 7e + 8 = j) = k) e e = e l) = sin,5 5 ( e ) ( ) ( e 7) ( 4) cos,5 m) = n) = o) = Geben Sie bei den trigonometrischen Gleichungen jeweils Lösungen an. Aufgabe 8 Entscheiden Sie, welchem Gleichungstp bzw. Lösungsvorgehen die Gleichungen zugeordnet werden können. Nr. Gleichung = Tp Tp Tp Tp 4 Gegen - operation S. v. Nullpr. abc - bzw. Substitution führt zu pq -Formel... u +... u+... = = = 4 5 = 4 4 = 4 = 7 = + 8 e = 9 e = e e e = 65

17 III. Ausführliche Lösungen c) Schnitt von: Bild rechts = 4 4 und -Achse. Aufgabe Schnitt von: = und 4 Bild links Schnitt von: = und =,5 + + Bild mittig,5 = + h g i Hinweis: In allen Fällen erhält man einen Berührpunkt, da die Diskriminante den Wert hat. Aufgabe 9 f von II nach IV; weder noch = + ; Grad ; S ( ); = + ; Grad ; S ( ); f von III nach I; smm. zum Ursprung 4 = ; Grad 4; S ( ); f von III nach IV; smm. zur -Achse 4 f = + ; Grad 4; S ( ); von III nach IV; smm. zur -Achse Aufgabe Hinweis: Prüfen Sie Grad, Schnittpunkt mit -Achse, Verlauf und Smmetrie. a) A: f B: f6 b) A: f B: f5 C: f C: f 4 6 Aufgabe Ablesen: N ( ); N (4 ); P(,5) // 4 f = a 4 Weiteren Punkt P(,5) einsetzen:,5 = a ( ) ( 4),5 = a ( ) ( 5),5 = 5 a : 5, = a f =, 4 Aufgabe 4 Asmptote für + für a) = b) = c) = d) = + e) = Aufgabe : f = 5 ( + 6) ( + 5) ( + 4) f : f = ( + ) g h : f = ( ) ( 4) : f() = ( 7) i 8

18 III. Ausführliche Lösungen Aufgabe 5 a) Das Schaubild der Funktion g mit g = e entsteht aus dem Schaubild von f mit f = e durch Spiegelung an der -Achse, durch Streckung um den Faktor in -Richtung und durch Verschiebung um nach unten. b) Das Schaubild der Funktion g mit g = e entsteht aus dem Schaubild von f mit f = e durch Spiegelung an der -Achse und Verschiebung um nach unten. c) Das Schaubild der Funktion g mit g = 4sin + entsteht aus dem Schaubild von f mit f = sin durch Spiegelung an der -Achse, durch Streckung um den Faktor 4 in -Richtung und durch Verschiebung um nach oben. d) Das Schaubild der Funktion g mit g = sin + 4 entsteht aus dem Schaubild von f mit f = sin durch Streckung um den Faktor in -Richtung π (Periodenlänge = = π ) und durch Verschiebung um 4 nach oben. Aufgabe 6 f = a sin k + b, f = a cos k + b; a) Man erkennt, dass das Schaubild zu einer an der -Achse gespiegeltensinuskurve gehört. b = Mittellinie auf Höhe,5 + (,5) oder mit = = a =, 5 (ma. Abstand von,5 zur Mittellinie),5 (,5) oder mit = =,5 a< : Spiegelung an -Achse π π b = = = p π f =,5 sin + b) Man erkennt, dass das Schaubild zu einer Sinuskurve gehört. b = Mittellinie auf Höhe + ( ) oder mit = = a = (ma. Abstand von zur Mittellinie) ( ) oder mit = = π π k = = = p π f = sin c) Man erkennt, dass das Schaubild zu einer osinuskurve gehört. b =,5 Mittellinie auf Höhe,5,5 +,5 oder mit = =,5 a = (ma. Abstand von zur,5,5 Mittellinie) oder mit = = π π k = = = π p f = cos π +,5 8