Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet SS 2017 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

2 Vorlesung 7 (Lecture 7) Differentialrechnung differential calculus Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

3 Differenzierbarkeit (derivability) Differenzierbarkeit Die Funktion f : D R (D R) sei auf einem offenen Intervall D definiert. f heißt differenzierbar an einer Stelle x 0 D, falls der Grenzwert: f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h := f (x 0 ) existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als erste Ableitung von f in x 0 und schreibt dafür f (x 0 ) (Sprechweise f Strich von x 0 ) oder df dx (x 0). f heißt differenzierbar auf dem Intervall D, wenn f an jedem x 0 D differenzierbar ist. Bsp.: f : R R, x x 2 x 0 R, lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = lim x x0 x 2 x 2 0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 ) (x + x 0 ) x x 0 = 2x 0 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

4 Geometrische Interpretation (Geometrical interpretation) Geometrische Interpretation der Ableitung (siehe Tafel) f (x 0 ) ist die Steigung der Tangente an f im Punkt P = (x 0, f (x 0 )). Tangentengleichung (t P (x) = m x + b) an f im Punkt P = (x 0, f (x 0 )) mit m = f (x 0 ) und t p (x 0 ) = f (x 0 ). t P (x) = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) Bsp.: f (x) = x 2, x 0 = 3. t P (x) =?. t P (x) = f (2) (x 2) + f (2). Mit f (2) = 2 3 = 6, f (2) = 9 gilt für die Tangentengleichung: t P (x) = 6 (x 2) + 9 = 6x = 6x 3. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

5 Differenzierbarkeit und Stetigkeit (Derivability and continuity) Satz: Die Funktion f : D R sei auf einem offenen Intervall D definiert. Ist f an der Stelle x 0 D differenzierbar, dann ist f in x 0 stetig. f ist in x 0 differenzierbar f ist in x 0 stetig f ist auf dem intervall D differenzierbar, dann ist f stetig auf D. Bemerkung: Ist f in x 0 nicht stetig, dann ist f in x 0 nicht differenzierbar. Bsp.: f : R R, x x, f ist stetig in x 0 = 0, aber sie ist nicht differenzierbar an der Stelle x 0 = 0. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

6 Ableitungsregeln (Derivative rules) Ableitungsregeln Seien f, g zwei Funktionen, D R, D R, differenzierbar auf D 1 Ableitung von Summen: (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f + g) = f + g 2 Produktregel: (f g) (x) = f (x) g(x) + g (x) f (x) (fg) = f g + g f 3 Quotientregel ( x D, g(x) 0): ( ) f (x) = f (x) g(x) g (x) f (x) g (g(x)) 2 ( ) f = f g g f g g 2 Beweis: siehe Tafel. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

7 Wichtige Ableitungen (Derivatives) f (x) f (x) f (x) f (x) c (c R) 0 x n (n N) n x n 1 1 x 1 x 2 1 x 2 x e x ln(x) cos(x) sin(x) e x 1 x sin(x) cos(x) x α (α R) α x α 1 tan(x) 1 + tan 2 (x) Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

8 Beispiel (Example) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen (siehe Tafel für die Lösung): f (x) = 4x 4 + 3x 3 + 2x f (x) = x ln(x) f (x) = ln(x) x f (x) = sin(x) + cos(x) f (x) = x 2 e x f (x) = 1 x 3 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

9 Kettenregel (Chain rule) Satz: Ist f an der Stelle x 0 differenzierbar und g an der Stelle f (x 0 ) differenzierbar, dann ist (g f ) an der Stelle x 0 differenzierbar. Es gilt: (g f ) (x 0 ) = f (x 0 ) }{{} g (f (x 0 )) }{{} innere Ableitung außere Ableitung Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

10 Beispiel (Example) Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen (siehe Tafel für die Lösung): h(x) = (2x + 1) 3 h(x) = sin(x 2 ) x h(x) = (1 + x 2 ) 4 h(x) = ln(1 + x 4 ) ( ) 1 h(x) = ln x h(x) = e x2 h(x) = a x (a > 0, a 1, a R) Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

11 Ableitungsregel (Derivative rule) Satz: Ist f bijektiv und an der Stelle x 0 differenzierbar mit f (x 0 ) 0, so ist auch ihre Umkehrfunktion f 1 an der Stelle f (x 0 ) differenzierbar, und es gilt: ( f 1 ) (x 0 ) = 1 f ( f 1 (x 0 )) Bsp.: Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

12 Höhere Ableitungen(higher order derivatives) Höhere Ableitungen: Sei f : D R in x 0 D differenzierbar und ist die erste Ableitung f in x 0 differenzierbar, d.h. existiert: f (x 0 + h) f (x 0 ) lim h 0 h := f (x 0 ) so heißt f zweimal differenzierbar in x 0 und f (x 0 ) die zweite Ableitung von f in x 0. Analog definiert man höhere Ableitungen. Bsp.: Bestimmen Sie die drei ersten Ableitungen der folgenden Funktionen: f (x) = ln(1 + x), f (x) = x 3 + 2x 2 1, f (x) = x e x. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

13 Extremwerte(Extreme values) Extremwerte: Seien f : D R, x 0 D. Die Funktion f hat an der Stelle x 0 ein globales Maximum bzw. Minimum, wenn für alle x D \ {x 0 } gilt: f (x) f (x 0 ) bzw. f (x) f (x 0 ). Sei I D ein offenes Intervall, I =]x 0 δ, x0 + δ[\{x 0 }, δ > 0, die Funltion f hat an der Stelle x 0 ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, wenn für alle x I gilt: f (x) f (x 0 ) bzw. f (x) f (x 0 ). Hat die Funktion f in x 0 ein lokales Maximum bzw. Minimum, dann ist x 0 eine lokale Extremstelle von f. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

14 Notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle Satz: Sei D ein offenes Intervall und f : D R ist differenzierbar auf D. Ist x 0 D eine lokale Extremstelle von f, dann gilt f (x 0 ) = 0. x 0 ist eine lokale Extremstelle f (x 0 ) = 0 Bemerkung: notwendige Bedingung aber nicht hinreichende Bedingung. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

15 Bedingungen für eine lokale Extremstelle Bedingungen für eine lokale Extremstelle Seien D ein offenes Intervall und f : D R zweimal differenzierbar auf D, und es gilt: 1 Vorzeichen der zweiten Ableitung: f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0 x 0 ist ein lokales Minimum von f f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0 x 0 ist ein lokales Maximum von f f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0 keine Aussage 2 Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung: von nach lokales Maximum von nach lokales Maximum keinen Vorzeichenwechsel kein Extremum Bsp.: Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen lokale Extremstelle besitzen: f (x) = 2 3 x3 3x 2 8x f (x) = x 3 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

16 Sätze der Differentialrechnung. (Theorems of differential calculus) Satz von Rolle Seien a < b und f : [a, b] R eine stetige Funktion, die auf dem offenen Intervall ]a, b[ differenzierbar ist. Ist f (a) = f (b), so gibt es mindestens eine Stelle x 0 ]a, b[ mit f (x 0 ) = 0. Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Mean value theorem) Seien a < b und f : [a, b] R eine stetige Funktion, die auf dem offenen Intervall ]a, b[ differenzierbar ist. Es gibt mindestens ein x 0 ]a, b[, so dass gilt. f (x 0 ) = f (b) f (a) b a Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

17 Monotonie. (Monotonicity) Monotonie Seien a < b und f : [a, b] R eine stetige Funktion auf [a, b], die auf dem offenen Intervall ]a, b[ differenzierbar ist. 1 x ]a, b[ f (x) 0 f ist monoton wachsend 2 x ]a, b[ f (x) 0 f ist monoton fallend 3 x ]a, b[ f (x) = 0 f ist konstant 4 x ]a, b[ f (x) > 0 f ist streng monoton wachsend 5 x ]a, b[ f (x) < 0 f ist streng monoton fallend Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

18 Krümmungsverhalten (concavity) Krümmungsverhalten Seien f : D R eine reelle Funktion, I D ein Intervall, 1 f heißt konvex (links gekrümmt) auf I, falls für alle a, b I und für alle t [0, 1] gilt: f (t a + (1 t) b) t f (a) + (1 t) f (b) 2 f heißt konkav (rechts gekrümmt) auf I, falls für alle a, b I und für alle t [0, 1] gilt: f (t a + (1 t) b) t f (a) + (1 t) f (b) Veranschaulichung: f heißt konvex (links gekrümmt) (bzw. konkav, rechts gekrümmt) auf [a, b], wenn die Sekante zwischen den Punkten (a, f (a)) und (b, f (b)) oberhalb (bzw. unterhalb) der Funktion f liegt. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

19 Krümmungsverhalten (concavity) Krümmungsverhalten Seien f : D R eine reelle Funktion, I D ein Intervall, 1 f heißt genau dann konvex auf I, falls für alle a I und für alle x, y I \ {a} gilt: f (x) f (a) f (y) f (a) x y x a y a 2 f heißt genau dann konkav auf I, falls für alle a I und für alle x, y I \ {a} gilt: f (x) f (a) f (y) f (a) x y x a y a Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

20 Krümmungsverhalten (concavity) Krümmungsverhalten Sei f : D R eine reelle Funktion, die auf dem offenen Intervall I D differenzierbar ist, f heißt genau dann konvex (konkav) auf I, wenn f in I monoton wachsend (fallend) ist. Ist f zweimal differenzierbar, dann ist f auf I genau dann konvex (konkav), wenn gilt: x I f (x) 0 (f (x) 0) Veranschaulichung: f ist konvex (konkav): Der Graph von f bleibt oberhalb (unterhalb) jeder Tangente an f. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

21 Wendepunkt (Inflection point) Wendestelle Sei f : D R eine reelle Funktion, ein Punkt x 0 D heißt Wendestelle von f, wenn die Funktion an dieser Stelle ihr Konvexitätsverhalten wechselt. Der Punkt (x 0, f (x 0 )) heißt Wendepunkt von f. Notwendige Bedingung für eine Wendestelle Sei D ein offenes Intervall und f : D R ist zweimal differenzierbar auf D. Ist x 0 D eine Wendestelle von f, dann gilt f (x 0 ) = 0. x 0 ist eine Wendestelle f (x 0 ) = 0 Bemerkung: notwendige aber nicht hinreichende Bedingung. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

22 Bedingungen für eine Wendestelle (Condition for an inflection point) Bedingungen für eine Wendestelle Seien D ein offenes Intervall und f : D R dreimal differenzierbar auf D: 1 Vorzeichen der dritten Ableitung: f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0 x 0 ist eine Wendestelle von f (Rechts-Links Wendepunkt) f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0 x 0 ist eine Wendestelle von f (Links-Rechts Wendepunkt) f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0 keine Aussage 2 Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung: von nach (Links-Rechts Wendepunkt) von nach (Rechts-Links Wendepunkt) keinen Vorzeichenwechsel keine Wendestelle Bemerkung: Eine Wendestelle x 0 von f mit f (x 0 ) = 0 heißt Sattelstelle. Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

23 Beispiel (Example) Bsp.: Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen Wendestellen besitzen: f (x) = x 3 x f (x) = 1 12 x4 2x 2 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

24 Kurvendiskussion (curve sketching) 1 Maximaler Definitionsbereich 2 Symmetrie 3 Asymptotisches Verhalten (Grenzwerte) 4 Nullstelle 5 Monotonieverhalten und Extrema 6 Krümmungsverhalten und Wendepunkt Skizze Bsp. : Führen Sie die Kurvendiskussion für folgende Funktionen durch: f (x) = x x f (x) = 12x 4 4x Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25

25 Regel von de l Hospital (Hospital s rule) Regel von de l Hospital Seien f und g zwei auf dem offenen Intervall I differenzierbare reelle Funktionen. Für ein x 0 I, sind f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0 und g (x 0 ) 0. Dann gilt: f (x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Bemerkung: Eine analoge Regel gilt in dem Fall lim f (x) = lim g(x) =. x x0 x x0 Bsp.: sin(x) lim x 0 lim x x ln(x) e x Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS / 25