Aufgaben zur Experimentalphysik II: Thermodynamik

Transkript

1 Aufgaben zur Experimentalphysik II: Thermodynamik Lösungen William Hefter - 5// Durchmesser der Stahlstange nach T : D s D s (1 + α Stahl T) Durchmesser der Bohrung im Ring nach T : D m D m (1 + α Messing T) D s D m T. Benötigte Wärme: Q mc w (1 C 15 C) mc w 85K Leistung durch Schütteln: P E f mgh f, wobei f, 5Hz D s D m α m D m α s D s 335 C T 5 C C 36 C t Q P c w85k gh f, s, 8 Tage 3. Es gibt drei Möglichkeiten: a) Das Eis erreicht gerade den Schmelzpunkt und schmilzt nicht. b) Ein Teil des Eis schmilzt und es stellt sich eine Temperatur von C ein c) Das ganze Eis schmizt und es stellt sich eine Temperatur oberhalb von C ein. a) Wärme, die dem Eis zugeführt wird: Q Eis m e c e (T End T Eis ) Wärme, die dem Wasser entzogen wird: Q w m w c w (T End T w ) Q Eis Q w T End m ec e T Eis + m w c w T w m e c e + m w c w 16, 6 C Liegt über dem Schmelzpunkt von Eis; also muss mindestens ein Teil vom Eis geschmolzen sein, die Rechnung berücksichtigt das nicht und ist falsch. b) Ein Teil des Eises schmilzt: m < m e Q eis m e c e ( C T eis ) + ml w, mit L w : Latente Schmelzwärme von Wasser Q w m w c w ( C T w ) m w c w T w Q eis Q w m c wm w T w + c e m e T eis L w 53g Also: Es ist genug Eis vorhanden, um das Wasser auf C runterzukühlen, aber nicht gefrieren zu lassen, da nur ein Teil des Eises schmilzt. Das ist die gesuchte Lösung. c) Dieser Fall tritt ein, wenn nur ein Eiswürfel verwendet wird: Es sind weniger als 53g Eis vorhanden, also schmilzt das ganze Eis und das Gemisch erreicht eine Temperatur oberhalb von C. Q w m w c w (T End T w ) Q eis c e m e ( T eis ) + c w m w (T eis ) + m e L w Q w Q eis T f c wm w T w + c e m e T eis m e L w c w (m w + m e ), 5 C 4. Im Gleichgewicht: D D (1 + α Cu (T f )) D (1 + α Cu T f ) d d (1 + α Al (T f 1 C)) d (1 + α Al (T f T a )) sind beide Durchmesser gleich, also: D (1 + α Cu T f ) d (1 + α Al (T f T a )) T f d D T a α Al d α Cu D α Al d 5, 38C Der Ring absorbiert also Q c m c c Cu T f und die Kugel gibt Q k m k c Al (T f T a ) ab. Q c Q k m k m cc Cu T f 8, 71g c Al (T a T f )

2 5. 1. Hauptsatz: U Q + W, wobei Q, W positiv bei Zufuhr iaf: Q ia f 5J, W ia f J U ia f 3J a) U ia f U ib f U ib f Q ib f + W ib f mit Q ib f 36J W ib f 6J b) U f i 3J U ia f Q f i U f i W f i 43J c) U f U i + 3J 4J d) U b J: Volumen konstant, also W b f Q b f U f U b 18J U ib 1J Q ib + W }{{ ib Q } ib 18J 6J 6. d() 5cm, T w C, T e 1 C. Mit der Wärmeleitungsgleichung: dq dt λa T Heiss T Kalt L λa T w T e d(t) Und der Wärmemenge, die nötig ist, um dm an Wasser gefrieren zu lassen, also dq L w dm Man stellt nach d () um und erhält: λa T d(t) L dm w dt L wρ e Ad (t) d () λ T L w ρ e d() 39, 5cm h 7. Die Wärmemenge, die das Wasser abstrahlen muss, um zu gefrieren, entspricht der Summe der abgegebenen Wärme bis zum Erreichen von C und der latenten Schmelzwärme, die es abgeben muss, um zu gefrieren, also: Q m w c w ( 6 C) + ( m w L w ) 1499J Das Wasser strahlt mit dem Emissionsgrad ɛ, 9 und der Temperatur T 6 C, der Nachthimmel wirkt als perfekter Strahler der Temperatur T h 3 C, mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz erhält man: P Q t σɛat4 h σɛat4 σɛa(t 4 h T4 ) t m w(l w + T w c w ) σɛa(t 4 h T4 ) 5, 9h Was weniger als einer Nacht entspricht. Diese Methode wurde in einigen Teilen der Welt vor der Erfindung von entsprechenden Maschinen tatsächlich verwendet.. 1. Wichtig: nr sowie nr p V V p ( ( a) 1 : Isothermer Prozess, also gilt U sowie W nr ln V p1 ln p ). Überdruck bedeutet Druck über Luftdruck, also ist p + 1, Pa, Pa und p ist gerade p, also: W J )

3 b) 3: Isobarer Prozess, die Arbeit entspricht gerade p V. Benötigt wird also V, was nach der Anfangsbemerkung gerade V p, also W 3 p ( V ) p ( p ) (p ) 1, J Also entspricht die Gesamtarbeit gerade W W 1 + W 3 5, 6kJ. Der Faktor nr im idealen Gasgesetz ist in beiden Fällen gleich, also folgt durch Gleichsetzen: p V T V T p (p + ρg 4m) p (73K + K) (73K + 4K) (cm3 ) 13cm 3 3. Ähnlich wie bei der Transformation der Planck schen Strahlungskurve gilt: Der Wert des Integrals muss gleich bleiben. In unseren Fall heisst das: P(E) P(v)dv. Mit folgt dv mv dv mv me P(E) P(v)dv ( ) m 3/ ( ) mv v exp dv π k b T k b T m 3/ ( E π (k b T) 3/ m exp m E k b T m ( E π (k b T) 3/ exp E ) k b T ( E π(kb T) 3/ exp E k b T ) ) me Interessant ist, dass die Geschwindigkeitsverteilung nicht mehr von der Masse abhängt, sondern tatsächlich nur von der Temperatur. Dies folgt nicht aus der Gleichung für die innere Energie, sondern ist der Grund dafür, wie die nächste Aufgabe zeigt. 4. Vgl. Vorlesung: Die mittlere Geschwindigkeit eines Systems von Teilchen, das durch die Maxwell-Verteilung beschrieben wird, ist gegeben durch Analog ist die mittlere Energie dann v vp(v)dv E EP(E) ( π(kb T) 3/ E 3/ exp E ) k B T Wir benutzen nun die Substition und erhalten E x E k b T E xk bt dx 1 k b T dxk bt ( π(kb T) 3/ x 3/ (k b T) 3/ exp E ) k k B T b Tdx

4 k b T x 3/ exp( x)dx π 3 πkb T π 4 3 k bt Das ist die mittlere kinetische Energie eines Moleküls in einem Maxwell-System. Für alle N Moleküle ergibt sich dann E N 3 k bt 3 nrt 3RT 5. Die rms-geschwindigkeit ist lt. Vorlesung v rms M. Die Fluchtgeschwindigkeit leitet sich aus der Gesamtenergie eines Teilchens auf der Erdoberfläche E mgr e + 1 mv und der Tatsache, dass diese Energie im Unendlichen gerade sein muss, her, also folgt v f gr e, wobei R e 637km ist. 3RT M die molare Masse von molekularem Wasser- a) Es muss also g gr e gelten, wobei M, stoff ist. Auflösen nach T ergibt T gr em 3R mol 1 4 K b) Analog mit Sauerstoff, wobei M 3 g mol T 1, K c) Die mittlere Temperatur des Wasserstoffs entspricht in etwa der Temperatur in den höheren Schichten, also können die schnellsten Moleküle, entsprechend dem rechten Anteil der Maxwell-Kurve, entweichen. Die neue Verteilung enthält wieder einen Anteil an Wasserstoff, der schnell genug ist und entweicht usw. Daher gibt es in der Erdatmosphäre kaum Wasserstoff. Sauerstoff dagegen ist viel zu schwer, was der Grund ist, warum unser Sauerstoff zum Atmen nicht entweicht. 6. Zweiatomiges ideales Gas: 3 translatorische + Rotationsfreiheitsgrade 5 Freiheitsgrade, also C v 5 R, C p C v + R 7 R. a) Q nc p T 4mol 7 R 6K 6, 98kJ b) U nc v T 4mol 5 T 6K 4, 99kJ c) W U Q 1, 99kJ d) Nur translatorische Energie! K 3 nr T, 99kJ 7. Analog zu 6): C v 5 R, C p 7 R γ C p C v 1, 4 (Adiabatenkoeffizient) a) Adiabatengleichung für Druck: V γ 1 p ( V1 ) γ p γ, 67bar Adiabatengleichung für Temperatur: V γ 1 1 T V γ 1 T γ 1 36K b) Hier gilt das ideale Gasgesetz, also / T V V, 38l 8. Zur Erinnerung: U nc v T gilt immer für alle Prozesse. Einatomiges ideales Gas: C v 3 R, C p 5 R a)

5 b) 1 : isochor W U Q nc v (T ) 3, 74kJ 3: adiabatisch Q W U nc v (T 3 ) 1, 81kJ 3 1: isobar Q nc p ( T 3 ) 3, kj U nc v ( T 3 ) 1, 93kJ W U Q 1, 9kJ Gesamter Prozess: Q 3, 74kJ 3, kj 5J U (Kreisprozess!) W U Q 5J c) : nr nr, 46 1 m 3 1 ist isochor, also bleibt das Volumen konstant, und p nrt 3 1 ist isobar, also p 3 und V nrt 3 3, 73 1 m 3, 1 5 Pa Entropie a) Zunächst wird die Gleichgewichtstemperatur bestimmt: T f c wm w T w + c Al m Al T Al c w m w + c Al m Al 57 C b) Allg. ist die Entropieänderung S ˆ dq T ˆ mcdt T mc ln T Für das Aluminium ergibt sich: S Al m Al c Al ln T f T Al c) Analog für das Wasser: S w 4, 9 J K, 1 J K d) Die Entropie für das Gesamtsystem ist einfach die Summe der Teilentropien, also S, 8 J K ; und die ist positiv, wie sie sein sollte.. Die Entropiezunahme für den Würfel besteht aus drei Teilen: Die Wärmeaufnahme des Eises bis C, der Schmelzvorgang bei C und der Wärmeaufnahme bis 15 C. Die Temperatur des Sees kann als annähernd konstant betrachtet werden, wenn man sich die Massenverhältnisse klarmacht. Also, für den Eiswürfel: S eis mc eis ln 73K 63K + mc w ln 88K 73K + ml w 73K 15, 7 J K Die Entropie für den See is einfach S see dq T see, wobei dq die dem Würfel übertragene Wärmemenge ist. S see mc eis( ( 1 C)) + ml w + mc w (15 C ) 88K 14, 51 J K Die gesamte Änderung der Entropie ist damit S S eis + S see, 76 J K Die Unordnung hat also im Einklang mit dem. Hauptsatz zugenommen. 3. Für den dargestellten Kreisprozess:

6 a) Wärme wird nur im Prozess ab zugeführt (isochore Expansion). Hier ist W und Q ab nc v (T b T a ). Die Temperaturen erhalten wir über das ideale Gasgesetz: T b p bv b nr, T a p av b nr, eingesetzt erhält man Q ab nc v nr V b(p b p a ) 3 V b(p b p a ) Wir benötigen noch p a. Wir erkennen, dass bc ein adiabatischer Prozess ist, also p a V γ a p b V γ b p a p b ( 1 8) γ, Pa Alle weiteren Werte für Q ab sind bekannte, es folgt Q ab 1, 47kJ b) bc ist adiabatisch, also Q bc. Wärme wird nur im Prozess ca abgegeben, gemäß Q ca nc p (T a T c ), T c erhält man wieder über das ideale Gasgesetz und Q ca 5 p a(v b 8V b ) 7 5 p av b 554J c) Für einen Umlauf ist U gerade gleich Null und die Arbeit erwartungsgemäß die Differenz zwischen aufgenommener und abgegebener Wärme, also W ( Q) ( Q ac + Q ca ) 918J. d) Die Effizienz ist ɛ bekommen gezahlt 4. Gegeben sind γ,, p 3, V, V 3 V 4 4 und. W Qab, 64 a) 1 : nr :p 3, T 3 nr 3( ) 3 :p V γ p 3V γ γ 3 p 3 3p V1 ( γ, ( 3p1 4) analog T ) γ 1 ) γ 1 4 : V γ 1 p 4V γ 4 p ( 4 γ ( 1 4), T4 1 4 b) Der Wirkungsgrad ist W ɛ W 3 + W 41 Q rein Q nc v (T 3 T + T 4 ) 1 nc v (T ) 1 4 γ Die innere Energie berechnet sich ja immer über U 3 nrt. In diesem Fall setzt sich n aus den beiden einzelnen Stoffmengen der beiden Volumina. Man berechnet also zuerst: n 1 3pV RT n pv RT Also ist n n 1 + n 7 pv RT und damit U 3 1 nrt pv Das System ist thermisch isoliert und die beiden Gase haben dieselbe Temperatur, also ändert sich die Temperatur auch nicht. Die innere Energie ändert sich auch nicht, also erhalten wir für p : U 3 nrt 3 p 3V 9 p V 1 pv p 7 3 p

7 Zur Entropie: Hier liegt ein isothermer Prozess vor, also ist U dq dw pdv nrt V dv dq T nr dv V S nr ln V Das gilt für eine Seite; die Gesamtänderung der Entropie ist folglich die Summe S n 1 R ln V + n R ln V V Überlegung: Das große Volumen hatte 6mal so viele Moleküle wie das kleine, trägt also 6mal so viel zum Volumen bei, also ist 6V. Weiter bekannt: + V 3V. Zwei Gleichungen für zwei Unbekannte: 6V 18 7 V. Zusammen: S n 1 R ln n R ln 3 7 pv T pv T (6 ln 9 6 ln 7 + ln 3 ln 7) (13 ln 3 7 ln 7), 66 pv T. Diskussion des Carnot-Zyklus a) Hier Skizze Besteht aus 1 : Isotherme Expansion, System nimmt Wärme vom Wärmebad auf und gibt Arbeit ab; dq >, dw < 3: Adiabatische Expansion, System gibt Arbeit ab; dw < 3 4: Isotherme Kompression, System gibt Wärme an das Wärmebad ab; dq <, dw > 4 1: Adiabatische Kompression, es wird Arbeit am System geleistet; dw > b) du, dq, dw für jeden Teilprozess i. Isotherm: du dq dw nr ln V ii. Adiabatisch: dq dw du nc v (T ) iii. Isotherm: du dq dw nrt ln V 3 V iv. Adiabatisch: dq dw du nc v ( T ) c) Wirkungsgrad: ɛ bekommen gezahlt dw ges T heiss T kalt 1 T T heiss dq 1