Mehrfache Lineare Regression 1/9

Transkript

1 Mehrfache Lineare Regression 1/9 Ziel: In diesem Fallbeispiel soll die Durchführung einer mehrfachen linearen Regressionsanalyse auf der Basis vorhandener Prozessdaten (Felddaten) beschrieben werden. Nach der Durcharbeitung der Fallstudie können Sie selbständig solche Regressionsanalysen durchführen und können die Ergebnisse anhand verschiedener Kenngrößen und Grafiken beurteilen. Wichtig: Um die beschriebenen Funktionalitäten zur Verfügung zu haben, wählen Sie bitte das Programmmodul Verfahren (Menübefehl: Modul Regressions- /Varianzanalyse). Schwerpunkte: Durchführen einer Regressionsanalyse Vorkenntnisse: Grundlagen der Regression MODUL REGRESSIONS- VARIANZANALYSE Ausgangssituation: Ammoniumsulfat wird in Säcke gefüllt. Dabei treten häufig Verklumpungen auf, die die Füllanlage blockieren. Die Beobachtung (Messung) möglicher Ursachen soll Hinweise geben, von welchen Einflussgrößen die Zielgröße Durchflussrate der Füllanlage abhängt. Folgende potentielle Einflussgrößen wurden untersucht: x1 = Feuchte des Ammoniumsulfats (in 0,01%), x2 = Verhältnis Länge/Breite der Kristalle und x3 = Verunreinigung des Ammoniumsulfats (in 0,01%) Insgesamt wurden 48 Datensätze erhoben. Aufgabe: Die erhobenen Daten sollen mittels einer mehrfachen linearen Regressionsanalyse untersucht werden, um die Bedeutung der einzelnen Einflussgrößen zu bestimmen. Vorgehensweise: 1. Wählen Sie den Menübefehl Datei Öffnen und öffnen Sie die Datei DURCHFLUSSREG.DFQ 2. Wählen Sie im Menü ANALYSE / VERFAHREN die REGRESSIONSANALYSE aus und markieren Sie MEHRFACHE REGRESSION / LINEARE REGRESSION. Hinweis: Die Daten finden Sie in der Datei DURCHFLUSSREG.DFQ Alternativ legen Sie die Datei mit der Datentabelle am Ende dieses Beispiels an REGRESSIONSANALYSE

2 2/9 Mehrfache Lineare Regression Icon Weiter 3. Durch einen Mausklick auf lineare Regression oder auf das Icon Weiter gelangen Sie in ein Auswahlmenü. Hier müssen Sie die Zielgröße und die Einflussgrößen durch Mausklick ankreuzen. Die Interpretation der Ergebnisse wird im Folgenden besprochen. Dabei wird im Fallbeispiel nur auf die wichtigsten Sachverhalte eingegangen. Parameterschätzung Die ersten Ergebnisse sind die Schätzungen für die Regressionskoeffizienten. Das Bestimmtheitsmaß ist mit B=57,493% nicht sehr hoch. Es gibt an, wie gut die Streuung der Zielgröße durch die Einflussgrößen erklärt werden kann. Doku-Nr.: S-FB 154 D 2008 Q-DAS GmbH & Co. KG, Weinheim Version: 1

3 Mehrfache Lineare Regression 3/9 Nach den Bezeichnungen der Ziel- und Einflussgrößen werden die Regressionskoeffizienten und deren Vertrauensbereiche (b i ) ausgegeben. Für die Beurteilung der Koeffizienten wird deren Standardabweichung (s ci ) und die t-statistik ausgegeben. Die Balkengrafik zeigt analog den t-werten, ob die Wirkung der Einflussgröße signifikant ist. Zusätzlich werden die VIF-Werte als Maße für die gegenseitige Abhängigkeit der einzelnen Einflussgrößen ausgegeben. Die Einflussgrößen erklären die Streuung vom Durchfluss nur zu 57,5 %. Somit wurden wichtige Effekte außer Acht gelassen. Die Verunreinigung ist die wichtigste Einflussgröße, gefolgt von dem Verhältnis Länge zu Breite. Modellbeurteilung Die nächsten Ergebnisse dienen der Beurteilung des gesamten Regressionsansatzes. Es wird geprüft, ob grundlegende Forderungen an das Modell erfüllt sind. Der erste Test dient der Überprüfung des (quasi-) linearen Zusammenhangs des gewählten Ansatzes. Der zweite Test prüft, ob die Einflussgrößen gemeinsam signifikant auf die Zielgröße wirken.

4 4/9 Mehrfache Lineare Regression Der gewählte lineare Zusammenhang für die Problemstellung kann verwendet werden. Die Hypothese des linearen Zusammenhangs wird nicht verworfen (grüne Farbe). Der gemeinsame Einfluss aller Einflussgrößen auf die Zielgröße ist signifikant (rote Farbe). Der gewählte Regressionsansatz ist also sinnvoll. Übersicht Funktion 3D Eine anschauliche grafische Interpretation des Zusammenhangs ist mit Hilfe dieser grafischen Darstellung möglich. Die Grafik zeigt den Einfluss zweier Einflussgrößen auf die Zielgröße unter der Bedingung der anderen Einflussgrößen. Die Abbildung zeigt die Wirkung der Feuchte [%] und dem Länge zu Breite Verhältnis [%] unter der gegebenen Verunreinigung von ca. 2 %. Je nach Variation der Verunreinigung [%] ändert sich die Fläche. Bei der gewählten Einstellung ist der höchste Durchfluss oben links (rot) zu erkennen. Doku-Nr.: S-FB 154 D 2008 Q-DAS GmbH & Co. KG, Weinheim Version: 1

5 Mehrfache Lineare Regression 5/9 Einflussgrößen Übersicht In der Einflussgrößen Übersicht ist erkennbar, welche Einflussgrößen wie wirken und mit welchem Prognosewert für eine vorgegebene Einstellung der Einflussgrößen zu rechnen ist. Bei den gewählten Einstellungen für die Einflussgrößen (Rote Linien) ist mit einem Durchfluss von ca. 4 zu rechnen, mit einem Vorhersageintervall von ± 1,7, das die Genauigkeit der Prognose wiedergibt. Analyse der Residuen Anhand der Residuen (Abweichung zwischen berechnetem und gemessenem Wert für die Zielgröße) lässt sich grafisch beurteilen, ob wichtige Annahmen des Regressionsansatzes erfüllt sind.

6 6/9 Mehrfache Lineare Regression 1. Der Werteverlauf der Residuen (Abbildung oben) soll zeigen, wie sich die Residuen über die Wertenummern verhalten. Im Idealfall verlaufen die Residuen zufällig. 2. Das Wahrscheinlichkeitsnetz (Abbildung unten links) dient der Beurteilung der Annahme der Normalverteilung der Residuen. 3. Die Abbildung unten rechts stellt die Residuen und die geschätzten Werte (gefittete Werte) in einem Streuungsdiagramm gegenüber. Im Idealfall liegen diese zufällig im Koordinatensystem. Die Residuen scheinen zumindest ab dem 35-igsten Wert nicht mehr zufällig. Hier sollte z.b. geprüft werden, ob sich während der Datenerhebung etwas Besonderes ereignet hat. Die Annahme der Normalverteilung der Residuen lässt sich anhand des Wahrscheinlichkeitsnetzes nicht widerlegen. Das Streuungsdiagramm zwischen den gefitteten Werten und den Residuen weist ebenfalls keine Besonderheiten auf. Doku-Nr.: S-FB 154 D 2008 Q-DAS GmbH & Co. KG, Weinheim Version: 1

7 Mehrfache Lineare Regression 7/9 Weitere grafische Beurteilungen des Modells Leverage Der Leverage gibt an, wie weit die einzelnen Werte der Einflussgrößen von ihrem Mittelpunkt (Mittelwertvektor) entfernt sind. Das Maß dient der Überprüfung, ob einzelne Wertesätze der Einflussgrößen als Ausreißer interpretiert werden können. Bei geringen Stichprobenumfängen können extreme Werte die Berechnung der Regressionskoeffizienten stark beeinflussen. Die Werte Nummer 22, 35 und 42 können als Ausreißer betrachtet werden und die Berechnungen beeinflussen. Zur Überprüfung könnte die Regression ohne diese Werte berechnet und mit dem bereits vorhandenen Ansatz verglichen werden. Dies würde im vorliegenden Fall zu einem etwas geringeren Bestimmtheitsmaß führen, die Bedeutung der Einflussgrößen würde sich aber nicht ändern. Cook-Distanzen Die Cook-Distanzen beurteilen die Bedeutung einzelner Datensätze für die Schätzung der Modellparameter. Geprüft wird, wie sich die Schätzung der Zielgröße ändert, wenn ein Wertesatz aus der Stichprobe entfernt wird. Werden die Cook-Distanzen den Leverage-Werten in einem Streuungsdiagramm gegenübergestellt, wird

8 8/9 Mehrfache Lineare Regression ersichtlich, ob bestimmte Ausreißer der Einflussgrößen für die Schätzung der Parameter verantwortlich sind. Hier sind keine Auffälligkeiten zu erkennen. Die einzelnen Cook-Distanzen sind gering. Der extremen Ausreißer (hoher Lerverage-Wert: Datensätze 22, 35 und 42) haben eine relativ hohe Cook- Distanz und damit einen wichtigen Einfluss auf die Schätzung der Modellparameter. Datensätze: Nr. Durchfluss Feuchte Länge zu Breite Verunreinigung 1 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0 Doku-Nr.: S-FB 154 D 2008 Q-DAS GmbH & Co. KG, Weinheim Version: 1

9 Mehrfache Lineare Regression 9/9 Nr. Durchfluss Feuchte Länge zu Breite Verunreinigung 16 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,20 2