Lösungen zu Aufgabenblatt 10P
|
|
- Katrin Feld
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester Juni 05 Lösungen zu Aufgabenblatt 0P Aufgabe (Funktionsgrenzwerte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: cos(x) x cos( x ) cos(x) x log(x) ( sin(x) x ) Lösung: Wir ermitteln die Grenzwerte mit der Regel von L Hospital. Bei den Grenzwerten der linken Spalte müssen wir dabei die Regel von L Hospital jeweils zweimal anwenden. cos(x) x = sin(x) x cos( x ) cos(x) = sin( x) sin(x) = cos(x) = = cos( x) 4 cos(x) = 4 Um die Grenzwerte der rechten Spalte zu ermitteln, müssen wir vor der Anwendung der Regel von L Hospital den Term in eine geeignete Form bringen. log(x) x log(x) = x ( sin(x) ) x sin(x) = x x sin(x) = = x x 3 = ( ) x = 0 cos(x) sin(x) + x cos(x) = sin(x) cos(x) x sin(x) = 0 Aufgabe (Konvexität) (a) Es sei f(x) = e (x a). Wo ist die Funktion konvex, wo ist sie konkav? Berechnen Sie auch die Wendepunkte. Hinweis: x 0 heißt Wendepunkt einer Funktion f, wenn ein ɛ > 0 existiert, so dass f im Intervall (x 0 ɛ, x 0 ) konvex und im Intervall (x 0, x 0 + ɛ) konkav ist, oder umgekehrt. (b) Es sei f : R R eine zweimal differenzierbare konvexe Funktion. Zeigen Sie, dass dann auch die Funktion g(x) := e f(x) konvex ist.
2 (c) Zeigen Sie: Für alle a, b R 0 gilt: a + b a + b. Lösung: (a) Wir berechnen die zweite Ableitung von f(x). f(x) = e (x a) f (x) = (x a)e (x a) f (x) = (e (x a) (x a) e (x a)) = ( (x a) ) e (x a) = ( 4(x a) ) e (x a) Wir berechnen die Nullstellen der zweiten Ableitung: ( 4(x a) ) e (x a) = 0 Daraus folgt: Auf (, a auf (a auf (a + ( 4(x a) ) = 0 (x a) = x = a ± ) gilt f (x) > 0, also ist f dort (streng) konvex,, a + ) gilt f (x) < 0, also ist f dort (streng) konkav und, ) gilt f (x) > 0, also ist f dort wieder (streng) konvex. Die Wendepunkte sind damit a und a + (b) Wir berechnen einfach wieder die zweite Ableitung von g(x) = e f(x). In Kurzform Es gilt nun: g = e f f. g = e f f f + e f f = e f ( (f ) + f ) e f > 0 nach Eigenschaft der Exponentialfunktion, (f ) 0 wegen x 0 für alle x R und f 0, da nach Voraussetzung f konvex ist. Also g = e f ( (f ) + f ) 0, womit g konvex ist.
3 Die Funktion f(x) = x ist streng konkav, denn f (x) = x f (x) = 4 x 3 = 4 x 3 < 0 Wähle λ =. Dann gilt nach Definition für eine konkave Funktion f: ( ) a + b f(a) + f(b) f a + b a + b. Aufgabe 3 (Taylorpolynome) (a) Berechnen Sie 0 mit dem 3. Taylorpolynom von x bei x 0 = (vgl. Beispiel 5.48). Schätzen Sie auch den Fehler ab. (b) Geben Sie für die Funktion cos(x) ein Taylorpolynom T n (x) bei x 0 = 0 an, so dass für alle x [, ] ist. (c) Finden Sie a 0,..., a 3 mit cos(x) T n (x) < 0 7 4x 3 x + 6x 7 = a 3 (x ) 3 + a (x ) + a (x ) + a 0. (d) Geben Sie für f(x) = x exp(x) die Taylorreihe um x 0 = an. Hinweis: Die Ableitungen von f haben wir in Blatt 9P ermittelt. Lösung: (a) Sei f(x) = x. Dann gilt: f (x) = x = x, f (x) = 4 x 3, f (x) = 3 8 x 5 und f (4) (x) = 5 6 x 7. Daraus folgt: T 3 (x) = x 0 + x 0 (x x 0 ) 8 x 3 0 (x x 0 ) + 6 x 5 0 (x x 0 ) 3 = + (x ) 8 (x ) + 6 (x )3. Wir wollen 0 approximieren und gehen dafür wie in Beispiel 5.48 vor: ( 0 = 9 + = 9 + ) =
4 Bleibt die Abschätzung von + mit dem Taylorpolynom bei x 9 0 =. + 9 = ( ) ( ) 3 9 = Welchen Fehler haben wir für + 9 gemacht? Um dies zu ermitteln, wenden wir den Satz von Taylor an. R 4 ( + 9 ) = 5 6 4! ξ 7 ( ) 4 9 ) Der Gesamtfehler für die Abschätzung von 0 = 3 + müsste also sein. Probe mit bc. 3*(+/8-/648+/664) sqrt(0) *(+/8-/648+/664) - sqrt(0) ( 9 (b) Für cos(x) bei x 0 = 0 besteht T 0 (x) aus den Summanden der Potenzreihe bis zur Potenz n = 0, also T 0 (x) = x! + x4 4! x6 6! + x8 8! x0 0!. Wie groß ist der Fehler auf dem Intervall [, ]? Nach dem Satz von Taylor gilt R (x) = cos() (ξ) x.! Es gilt cos () (x) = sin(x). Wegen sin(x) und x folgt für x [, ]. R (x)! < (c) Natürlich können wir die Frage beantworten, wenn wir die rechte Seite vollständig ausmultiplizieren und dann einen Koeffizientenvergleich durchführen. Mit der Taylorreihe geht es aber einfacher. 4
5 Es sei f(x) = 4x 3 x + 6x 7. Damit ist f (n) (x) = 0 für n 4, also ab der vierten Ableitung ist der Term f (n) (x 0 ) stets gleich null. Insbesondere ist damit auch der Restterm n! null und die Taylorreihe konvergiert gegen die Funktion f(x). Wir bilden die erste bis dritte Ableitung: Wir wählen x 0 = und erhalten damit f (x) = x 4x + 6 f (x) = 4x 4 f (x) = 4. f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 6 f (x 0 )(x x 0 ) 3 = + 4(x ) + 0(x ) + 4(x ) 3. Sie können sich durch ausmultiplizieren selbst davon überzeugen, dass gilt. 4x 3 x + 6x 7 = + 4(x ) + 0(x ) + 4(x ) 3 (d) Von Blatt 9P wissen wir: Die n-te Ableitung von f(x) = x e x ist Für x 0 = haben wir dementsprechend Daher lautet die Taylorreihe f (n) (x) = (x + nx + n(n ))e x. f(x 0 ) = (n + n + )e. n=0 e(n + n + ) (x ) n. n! Die Taylorreihe konvergiert gegen die Funktion f. Hierzu schauen wir uns den Restterm nach dem Satz von Taylor an: R n+ (x) = eξ (ξ + (n + )ξ + n(n + )) (x ) n+ (n + )! Für genügend großes n (z.b. n > ξ) und eine geeignete Konstante C (z.b. C > 4e ξ ) gilt n(n + ) R n+ (x) C (n + )! x n+ x n = C x (n )! für n, weil die Faktoren in (n )! immer größer werden. 0 5
e x e x x e x + e x (falls die Grenzwerte existieren), e x e x 1 e 2x = lim x 1
Aufgabe a Hier kann man die Regel von de l Hospital zweimal anwenden (jeweils und die Ableitung des Nenners ist für hinreichend große x ungleich. Dies führt auf e x e x e x + e x e x + e x e x e x e x
MehrAufgabe 1. Multiple Choice (4 Punkte). Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an.
Analysis I, WiSe 2013/14, 04.02.2014 (Iske), Version A 1 Aufgabe 1. Multiple Choice (4 Punkte). Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an. a) Welche der folgenden Aussagen über Folgen sind sinnvoll und
MehrVorlesung Analysis I WS 07/08
Vorlesung Analysis I WS 07/08 Erich Ossa Vorläufige Version 07/12/04 Ausdruck 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Elementare Logik.................................. 1 1.1.A Aussagenlogik................................
MehrÜbersicht. 1. Motivation. 2. Grundlagen
Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg elementarer Funktionen Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R. Dann gilt: f(x) f (x) 1 ln x x 1 log a x x ln a e x e
MehrAnalysis I. 8. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I 8. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 9, 207 Grenzwerte Korollar 5.2.2 (Bernoulli-de l Hôpital) Seien f, g : [a, b] R stetig und differenzierbar
MehrDefinition: Differenzierbare Funktionen
Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ
MehrPolynomiale Approximation. und. Taylor-Reihen
Polynomiale Approximation und Taylor-Reihen Heute gehts um die Approximation von glatten (d.h. beliebig oft differenzierbaren) Funktionen f nicht nur durch Gerade (sprich Polynome vom Grade 1) und Polynome
MehrTaylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen
Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der
Mehr10 Differenzierbare Funktionen
10 Differenzierbare Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h
MehrBrückenkurs Rechentechniken
Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige
Mehrg(x) := (x 2 + 2x + 4) sin(x) für z 1 := 1 + 3i und z 2 := 1 + i. Geben Sie das Ergebnis jeweils
. Aufgabe Punkte a Berechnen Sie den Grenzwert n + n + 3n. b Leiten Sie die folgenden Funktionen ab. Dabei ist a R eine Konstante. fx : lnx e a, gx : x + x + 4 sinx c Berechnen Sie z z und z z in der Form
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
MehrThema 5 Differentiation
Thema 5 Differentiation Definition 1 Sei f : D R. Dann ist f im Punkt x 0 differenzierbar, falls f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 auf der Menge D \ {x 0 } existiert. Der Limes ist dann die Ableitung von f im Punkt
MehrÜbungen Analysis I WS 03/04
Blatt Abgabe: Mittwoch, 29.0.03 Aufgabe : Beweisen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n ( ) n (x + y) n = x i y n i, i (b) n ν 2 = ν= i=0 n(n + )(2n + ), 6 (c) 2 3n ist durch 7 teilbar. Aufgabe
MehrNachklausur Analysis 2
Nachklausur Analysis 2. a) Wie ist der Grenzwert einer Folge in einem metrischen Raum definiert? Antwort: Se (a n ) n N eine Folge in dem metrischen Raum (M, d). Diese Folge besitzt den Grenzwert g M,
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 08.0.06 Höhere Mathemati für die Fachrichtung Physi Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt
MehrDer Satz von Taylor. Kapitel 7
Kapitel 7 Der Satz von Taylor Wir haben bereits die Darstellung verschiedener Funktionen, wie der Exponentialfunktion, der Cosinus- oder Sinus-Funktion, durch unendliche Reihen kennen gelernt. In diesem
MehrLösungen zu Aufgabenblatt 7P
Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 205 9. Mai 205 Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Aufgabe (Stetigkeit) (a) Für welche a, b R sind die folgenden Funktionen stetig in x 0
MehrANALYSIS 2 VERSION 26. Juni 2018
ANALYSIS VERSION 6 Juni 018 LISIBACH ANDRÉ 6 Potenzreihenentwicklung 61 Einleitung Die Linearisierung einer Funktion f(x an der Stelle x ist die Funktion L(x f( + df dx ((x Die Linearisierung ist ein Polynom
MehrÜbungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM
TUM, Institut für Informatik WS 2003/2004 Prof Dr Thomas Huckle Andreas Krahnke, MSc Dipl-Inf Markus Pögl Übungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM 1 Bestimmen Sie die Darstellung von 1 4
MehrDifferentialrechnung
Differentialrechnung Um Funktionen genauer zu untersuchen bzw. sie zu analysieren, ist es notwenig, etwas über ihren Verlauf, as qualitative Verhalten er Funktion, sagen zu können. Das heisst, wir suchen
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 9
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x
Mehr( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )
64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den
MehrNachklausur Analysis I
SS 008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Nachklausur Analysis I 07.0.008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. Dezember 2011)
MehrTaylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.
Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Betrachte die Exponentialfunktion f(x) = exp(x). Zunächst gilt: f (x) = d dx exp(x) = exp(x). Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 die
MehrÜbungen zu Einführung in die Analysis
Übungen zu Einführung in die Analysis (Nach einer Zusammengestellung von Günther Hörmann) Sommersemester 2011 Vor den folgenden Aufgaben werden in den ersten Wochen der Übungen noch jene zur Einführung
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 6. (n+1)!. Daraus folgt, dass e 1/x < (n+
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 6 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Für alle ganzen Zahlen n 1 gilt... (a) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (b) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (c)
MehrAnalysis I Lösung von Serie 14. Um die Inhomogene DGl zu lösen, müssen wir partikuläre Lösungen finden. (a) Wir machen den Ansatz:
d-infk Lösung von Serie 4 FS 07 4.. Inhomogene Lineare Differentialgleichungen Das charakteristische Polynom der homogenen DGl y (4) + y + y = 0 ist λ 4 + λ + = (λ + ). Seine Wurzeln sind ±i und jede hat
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure (Wintersemester 2008/09) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 9. November 2008) Die
MehrHöhere Mathematik für Physiker II
Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei
MehrMathematik zum Mitnehmen
Mathematik zum Mitnehmen Zusammenfassungen und Übersichten aus Arens et al., Mathematik Bearbeitet von Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth
MehrAnalysis 1. Torsten Wedhorn. f(x) f( x) x x. (2) Die Funktion f heißt auf D differenzierbar, falls f in jedem Punkt x D differenzierbar ist.
Analysis Torsten Wedorn 8 Differentiation (A) Differenzierbare Funktionen (B) Recenregeln für die Ableitung (C) Lokale Extrema und Mittelwertsatz (D) Ableitung und Monotonie (E) Der Satz von l Hospital
MehrLösung zur Serie 8. x + 2x 2 sin(1/x), falls x 0, f(x) := 0, falls x = 0. = lim
Lösung zur Serie 8 Aufgabe 40 Wir zeigen in dieser Aufgabe, dass die Voraussetzung dass die Funktion in einer kleinen Umgebung injektiv sein muss, beim Satz über die Umkehrfunktion notwendig ist. Hierzu
MehrKompetenz: Verinnerlichung des Mittelwertsatzes Daraus ergibt sich leicht der wichtige Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
16 Mittelwertsätze und Anwendungen 71 16 Mittelwertsätze und Anwendungen Lernziele: Konzepte: Konvexität und Konkavität Resultate: Mittelwertsätze der Differentialrechnung Methoden: Regeln von de l Hospital
MehrTangente als Näherung
Mathematik I für Informatiker Satz von Taylor Taylorreihen p. 1 Tangente als Näherung Weil sich anschaulich die Tangente anschmiegt, ist die Tangentenfunktion p 1 (x) eine Näherung für f(x): f(x) p 1 (x)
MehrMathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau
Mathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Sommersemester 2012 7. Differentialrechnung einer Veränderlichen 7.2. Differentialquotient und Ableitung
MehrFerienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
Mehr1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen
1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09
MehrMusterlösungen zu Blatt 15, Analysis I
Musterlösungen zu Blatt 5, Analysis I WS 3/4 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 85: Konvergenzradien Aufgabe 86: Approimation von ep() durch Polynome Aufgabe 87: Taylorreihen von cos 3 und sin Aufgabe 88: Differenzenquotienten
Mehr27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen
136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen
MehrFreie Universität Berlin Wintersemester 11/12 Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke
Freie Universität Berlin Wintersemester / Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Dr. A. Linke Musterlösung zum. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik für Physiker I Differenzierbarkeit,
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
Mehr8. Differentiation. f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) lim
8. Differentiation Sei I R ein Intervall. Eine Funktion f : I R eißt in x 0 I differenzierbar (Steno: diffbar), wenn der für x I, x x 0 erklärte Differenzenquotient f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) nac x 0 stetig
MehrAnalysis I. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 20 Konvexe Funktionen Eine konvexe Teilmenge. Eine nichtkonvexe Teilmenge. Definition 20.1. Eine Teilmenge T R n heißt konvex, wenn mit
MehrKlausur - Analysis 1
Prof. Dr. László Széelyhidi Analysis I, WS 22 Klausur - Analysis Lösungen Aufgabe. i Punt Definieren Sie, wann x n eine Cauchyfolge ist. Lösung : x n heisst Cauchyfolge wenn es zu jedem ε > ein N N gibt,
MehrNEXTLEVEL im WiSe 2011/12
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani NEXTLEVEL im WiSe 2011/12 Vorlesung 5, Teil 2 Linearisierung, einige Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Die ins Netz gestellten Kopien
Mehr1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen. g = lim. n=0. n=0 a n sei konvergent und schreibt. a n = g. (2) n=0
1 Taylor-Entwicklung 1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen Gegeben sei eine unendliche Folge a 0,a 1,a,... reeller Zahlen a n R. Hat der Grenzwert g = lim k a n (1) einen endlichen Wert g R, so sagt
MehrAnalysis I. Guofang Wang , Universität Freiburg
Universität Freiburg 10.1.2017, 11.1.2017 Definition 1.1 (Ableitung) Die Funktion f : I R n hat in x 0 I die Ableitung a R n (Notation: f (x 0 ) = a), falls gilt: f(x) f(x 0 ) lim = a. (1.1) x x 0 x x
MehrIntegraldarstellung des Restgliedes; Lagrangesche Restgliedformel;
Kapitel Der Satz von Taylor. Taylor-Formel und Taylor-Reihe (Taylor-Polynom; Restglied; Integraldarstellung des Restgliedes; Lagrangesche Restgliedformel; die Klasse C ; reell analytische Funktionen) In
MehrÜbungsaufgaben Folgen und Reihen
Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Folgen und Reihen. Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz (geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an): inverse Fakultäten:,,
MehrAnalysis I. 3. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 3. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine Abbildung F von einer Menge L in eine
MehrStetigkeit von Funktionen
Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte
MehrBeispiel. Die Reihe ( 1) k k + 1 xk+1 für 1 < x < 1 konvergiert auch für x = +1. Somit ist nach dem Abelschen Grenzwertsatz insbesondere die Gleichung
Beispiel. Die Reihe log + x) = ) k k + xk+ für < x < konvergiert auch für x = +. Somit ist nach em Abelschen Grenzwertsatz insbesonere ie Gleichung log + ) = gültig. Daraus folgt ie Darstellung log2) =
MehrAnalysis I Lösung von Serie 9
FS 07 9.. MC Fragen: Ableitungen (a) Die Figur zeigt den Graphen einer zweimal differenzierbaren Funktion f. Was lässt sich über f, f und f sagen? Nichts Die Funktion f ist positiv. Die Funktion f ist
MehrDifferentiation und Taylorentwicklung. Thomas Fehm
Differentiation und Taylorentwicklung Thomas Fehm 4. März 2009 1 Differentiation in R 1.1 Grundlagen Definition 1 (Ableitung einer Funktion) Es sei f eine Funktion die auf dem Intervall I R definiert ist.
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrAufgabe V1. Ermitteln Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls. n 2n n 3 b) lim. n n 7 c) lim 1 1 ) 3n.
Blatt 1 V 1 Grenzwerte von Folgen Aufgabe V1 Ermitteln Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls. n 2 ( n! a) lim n 2n n 3 b) lim n n 7 c) lim 1 1 ) 3n n n Marco Boßle
MehrMathematik I HM I A. SoSe Variante A
Prof. Dr. E. Triesch Mathematik I SoSe 08 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten
MehrMathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x.
Technische Universität München WS 009/0 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Edenhofer Dipl.-Ing. W. Schultz Übung Lösungsvorschlag Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I Aufgabe
MehrP n (1) P j (1) + ε 2, j=0. P(1) P j (1) + ε 2 < ε. log(1+x) =
Zu ε > 0 gibt es ein N N mit P n (1) P j (1) < ε/2 für j,n > N, also gilt Es folgt (1 x) n 1 j=n+1 und schließlich mit n x j P n (1) P j (1) (1 x) ε 2 P n (1) P n (x) (1 x) P(1) P(x) (1 x) für x hinreichend
MehrVorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Michael Karow Thema: Satz von Taylor Die Taylor-Entwicklung I Satz von Taylor. Sei f : R D R an der Stelle x n-mal differenzierbar. Dann gilt für x D, n f (k) (x )
Mehr2. Teilklausur. Analysis 1
Universität Konstanz FB Mathematik & Statistik Prof. Dr. M. Junk Dipl.-Phys. Martin Rheinländer 2. Teilklausur Analysis 4. Februar 2006 4. Iteration Name: Vorname: Matr. Nr.: Hauptfach: Nebenfach: Übungsgruppen-Nr.:
MehrMathematik IT 3 (Analysis) Probeklausur
Mathematik IT (Analysis) Probeklausur Datum: 08..0, Zeit: :5 5:5 Name: Matrikelnummer: Vorname: Geburtsdatum: Studiengang: Aufgabe Nr. 5 Σ Punkte Soll 5 9 7 Punkte Ist Lösungen ohne begründeten Lösungsweg
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II 2014
Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben
MehrDie Taylorreihe einer Funktion
Kapitel 6 Die Taylorreihe einer Funktion Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedabschätzung für Taylorpolynome. Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist
Mehr11. Anwendungen der Differentialrechnung
122 Andreas Gathmann 11. Anwendungen der Differentialrechnung Im letzten Kapitel haben wir gesehen, wie wir von nahezu allen Funktionen ihre Ableitung berechnen können und welche elementaren Eigenschaften
MehrIV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen
IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 6. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 2 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsblatt Aufgabe 2
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 3. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.e Department Biologie II Telefon: 089-80-74800 Großhaernerstr. Fax:
MehrMathematik IT 3 (Analysis)
Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Mathematik IT 3 (Analysis für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Wintersemester 015/016 Geben
MehrDer Taylorsche Satz Herleitung und Anwendungen
Der Taylorsche Satz Herleitung und Anwendungen Joachim Schneider Juni 2004 Zusammenfassung Es wird ein enfacher Beweis des Taylorsche Satz über die lokale Approximierbarkeit hinreichend glatter Funktionen
MehrMathematik n 1
Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 0 Mathematik + Übung 6 Besprechung der Aufgaben ) - ) des Übungsblatts am jeweils ersten Übungstermin zwischen Montag, 7..0 und Donnerstag,
MehrAnalysis I. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 26, 207 Erinnerung Satz. (Zwischenwertsatz) Sei f : [a, b] R stetig mit f(a) f(b). Dann gibt es zu jedem
MehrAnalysis für Informatiker und Statistiker Nachklausur
Prof. Dr. Peter Otte Wintersemester 213/14 Tom Bachmann, Sebastian Gottwald 14.3.214 Analysis für Informatiker und Statistiker Nachklausur Lösungsvorschlag Name:.......................................................
MehrTutorium: Analysis und lineare Algebra. Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen
Tutorium: Analysis und lineare Algebra Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Die Regeln von de l
MehrStetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit.
Stetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit. Beispiel: Betrachte ie Funktion f(x) = 1/x auf em Intervall D = (0, 1]. f ist in jeem Punkt p (0, 1] stetig. Denn: Sei p (0, 1] un ε > 0 gegeben. Setze δ = min (
MehrMathematisches Institut der Universität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorsten Heidersdorf. Probeklausur
Mathematisches Institut der Universität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorsten Heidersdorf Probeklausur Diese Probeklausur soll a) als Test für euch selber dienen, b) die Vorbereitung auf die Klausur
MehrMisterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C)
Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 14..009 (Version C Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen aus der Vorlesung
MehrTutorium: Analysis und lineare Algebra
Tutorium: Analysis und lineare Algebra Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Die Regeln von de l
Mehrf(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0
5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.
MehrTutorium: Analysis und lineare Algebra
Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der Abschlussklausur (Teil 2) Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Determinanten 3 Determinanten Determinanten kleiner Matrizen
Mehr11. Anwendungen der Differentialrechnung
124 Andreas Gathmann 11. Anwendungen der Differentialrechnung Im letzten Kapitel haben wir gesehen, wie wir von nahezu allen Funktionen ihre Ableitung berechnen können und welche elementaren Eigenschaften
MehrETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld
ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,
MehrD-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 10. y(x) = Ae ( 3+2i)x + Be ( 3 2i)x. λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2. y(x) = Ae x + Bxe x.
D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi Musterlösung 10 1. a) Das charakteristische Polynom ist λ 2 + λ 2 = (λ + 2)(λ 1) mit den beiden verschiedenen Nullstellen λ = 2 λ = 1. Die allgemeine Lösung
MehrDifferentialrechnung. Mathematik I für Chemiker. Daniel Gerth
Differentialrechnung Mathematik I für Chemiker Daniel Gerth Überblick Differentialrechnung Dieses Kapitel erklärt: Was man unter den Ableitungen einer Funktion versteht. Wie man die Ableitungen einer Funktion
MehrHöhere Analysis. Lösungen zu Aufgabenblatt 7. Aufgabe 1 (Eigenschaften von Kurven) Fachbereich Informatik Sommersemester 2018 Prof. Dr.
Fachbereich Informatik Sommersemester 8 Prof Dr Peter Becker Höhere Analysis Lösungen zu Aufgabenblatt 7 Aufgabe (Eigenschaften von Kurven ++6 Punkte (a Untersuchen Sie, ob die Kurve sin(πt cos(πt t t,
Mehr4 Differenzierbarkeit
7 4 DIFFERENZIERBARKEIT Sei dazu 0 < ρ < s < r. Dann gilt lim sup k k a k
MehrAufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 Hilfskräfte: A. Weiß, W. Thumann 6.3.29 NWF I - Mathematik Universität Regensburg Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Die folgenden
MehrLösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung Thomas Wassong FB17 Mathematik Universität Kassel 30. April 2008 Einführung Reihen in der Mathematik Reihen zum Lösen von Differentialgleichungen
MehrAnalysis I. 6. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 6. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Eine Relation zwischen den Mengen X und Y.
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 13. es kann keine allgemein gültige Aussage getroffen werden.
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 3 MC-Aufgaben (Online-Abgabe). Wenn man zwei beliebig oft differenzierbare Funktionen addiert, dann werden ihre Taylorreihen an einem Punkt
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 26. ẋ 1 = x 1 + 2x ẋ 2 = 2x 1 + x 2
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 6. Es ist das folgende autonome System ẋ = x + x + 3 ẋ = x + x von linearen Differenzialgleichungen. Ordung gegeben. Welche der folgenden
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Differenzierbarkeit und Taylor-Entwicklung Übungen, die mit einem Stern markiert sind, werden als besonders wichtig erachtet.. Jacobi-Matrix Man bestimme die Jacobi-Matrix
MehrUniversität Stuttgart Fakultät Mathematik und Physik Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung. Lösungen zur Probeklausur 2.
Adµ Universität Stuttgart Fakultät Mathematik und Physik Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung Blatt Probeklausur 2 Lösungen zur Probeklausur 2 Aufgabe 1 1. Formulieren Sie den Satz von Taylor
Mehr6 Die Bedeutung der Ableitung
6 Die Bedeutung der Ableitung 24 6 Die Bedeutung der Ableitung Wir wollen in diesem Kapitel diskutieren, inwieweit man aus der Kenntnis der Ableitung Rückschlüsse über die Funktion f ziehen kann Zunächst
Mehr