Lösungen zu Aufgabenblatt 10P

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1 Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester Juni 05 Lösungen zu Aufgabenblatt 0P Aufgabe (Funktionsgrenzwerte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: cos(x) x cos( x ) cos(x) x log(x) ( sin(x) x ) Lösung: Wir ermitteln die Grenzwerte mit der Regel von L Hospital. Bei den Grenzwerten der linken Spalte müssen wir dabei die Regel von L Hospital jeweils zweimal anwenden. cos(x) x = sin(x) x cos( x ) cos(x) = sin( x) sin(x) = cos(x) = = cos( x) 4 cos(x) = 4 Um die Grenzwerte der rechten Spalte zu ermitteln, müssen wir vor der Anwendung der Regel von L Hospital den Term in eine geeignete Form bringen. log(x) x log(x) = x ( sin(x) ) x sin(x) = x x sin(x) = = x x 3 = ( ) x = 0 cos(x) sin(x) + x cos(x) = sin(x) cos(x) x sin(x) = 0 Aufgabe (Konvexität) (a) Es sei f(x) = e (x a). Wo ist die Funktion konvex, wo ist sie konkav? Berechnen Sie auch die Wendepunkte. Hinweis: x 0 heißt Wendepunkt einer Funktion f, wenn ein ɛ > 0 existiert, so dass f im Intervall (x 0 ɛ, x 0 ) konvex und im Intervall (x 0, x 0 + ɛ) konkav ist, oder umgekehrt. (b) Es sei f : R R eine zweimal differenzierbare konvexe Funktion. Zeigen Sie, dass dann auch die Funktion g(x) := e f(x) konvex ist.

2 (c) Zeigen Sie: Für alle a, b R 0 gilt: a + b a + b. Lösung: (a) Wir berechnen die zweite Ableitung von f(x). f(x) = e (x a) f (x) = (x a)e (x a) f (x) = (e (x a) (x a) e (x a)) = ( (x a) ) e (x a) = ( 4(x a) ) e (x a) Wir berechnen die Nullstellen der zweiten Ableitung: ( 4(x a) ) e (x a) = 0 Daraus folgt: Auf (, a auf (a auf (a + ( 4(x a) ) = 0 (x a) = x = a ± ) gilt f (x) > 0, also ist f dort (streng) konvex,, a + ) gilt f (x) < 0, also ist f dort (streng) konkav und, ) gilt f (x) > 0, also ist f dort wieder (streng) konvex. Die Wendepunkte sind damit a und a + (b) Wir berechnen einfach wieder die zweite Ableitung von g(x) = e f(x). In Kurzform Es gilt nun: g = e f f. g = e f f f + e f f = e f ( (f ) + f ) e f > 0 nach Eigenschaft der Exponentialfunktion, (f ) 0 wegen x 0 für alle x R und f 0, da nach Voraussetzung f konvex ist. Also g = e f ( (f ) + f ) 0, womit g konvex ist.

3 Die Funktion f(x) = x ist streng konkav, denn f (x) = x f (x) = 4 x 3 = 4 x 3 < 0 Wähle λ =. Dann gilt nach Definition für eine konkave Funktion f: ( ) a + b f(a) + f(b) f a + b a + b. Aufgabe 3 (Taylorpolynome) (a) Berechnen Sie 0 mit dem 3. Taylorpolynom von x bei x 0 = (vgl. Beispiel 5.48). Schätzen Sie auch den Fehler ab. (b) Geben Sie für die Funktion cos(x) ein Taylorpolynom T n (x) bei x 0 = 0 an, so dass für alle x [, ] ist. (c) Finden Sie a 0,..., a 3 mit cos(x) T n (x) < 0 7 4x 3 x + 6x 7 = a 3 (x ) 3 + a (x ) + a (x ) + a 0. (d) Geben Sie für f(x) = x exp(x) die Taylorreihe um x 0 = an. Hinweis: Die Ableitungen von f haben wir in Blatt 9P ermittelt. Lösung: (a) Sei f(x) = x. Dann gilt: f (x) = x = x, f (x) = 4 x 3, f (x) = 3 8 x 5 und f (4) (x) = 5 6 x 7. Daraus folgt: T 3 (x) = x 0 + x 0 (x x 0 ) 8 x 3 0 (x x 0 ) + 6 x 5 0 (x x 0 ) 3 = + (x ) 8 (x ) + 6 (x )3. Wir wollen 0 approximieren und gehen dafür wie in Beispiel 5.48 vor: ( 0 = 9 + = 9 + ) =

4 Bleibt die Abschätzung von + mit dem Taylorpolynom bei x 9 0 =. + 9 = ( ) ( ) 3 9 = Welchen Fehler haben wir für + 9 gemacht? Um dies zu ermitteln, wenden wir den Satz von Taylor an. R 4 ( + 9 ) = 5 6 4! ξ 7 ( ) 4 9 ) Der Gesamtfehler für die Abschätzung von 0 = 3 + müsste also sein. Probe mit bc. 3*(+/8-/648+/664) sqrt(0) *(+/8-/648+/664) - sqrt(0) ( 9 (b) Für cos(x) bei x 0 = 0 besteht T 0 (x) aus den Summanden der Potenzreihe bis zur Potenz n = 0, also T 0 (x) = x! + x4 4! x6 6! + x8 8! x0 0!. Wie groß ist der Fehler auf dem Intervall [, ]? Nach dem Satz von Taylor gilt R (x) = cos() (ξ) x.! Es gilt cos () (x) = sin(x). Wegen sin(x) und x folgt für x [, ]. R (x)! < (c) Natürlich können wir die Frage beantworten, wenn wir die rechte Seite vollständig ausmultiplizieren und dann einen Koeffizientenvergleich durchführen. Mit der Taylorreihe geht es aber einfacher. 4

5 Es sei f(x) = 4x 3 x + 6x 7. Damit ist f (n) (x) = 0 für n 4, also ab der vierten Ableitung ist der Term f (n) (x 0 ) stets gleich null. Insbesondere ist damit auch der Restterm n! null und die Taylorreihe konvergiert gegen die Funktion f(x). Wir bilden die erste bis dritte Ableitung: Wir wählen x 0 = und erhalten damit f (x) = x 4x + 6 f (x) = 4x 4 f (x) = 4. f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 6 f (x 0 )(x x 0 ) 3 = + 4(x ) + 0(x ) + 4(x ) 3. Sie können sich durch ausmultiplizieren selbst davon überzeugen, dass gilt. 4x 3 x + 6x 7 = + 4(x ) + 0(x ) + 4(x ) 3 (d) Von Blatt 9P wissen wir: Die n-te Ableitung von f(x) = x e x ist Für x 0 = haben wir dementsprechend Daher lautet die Taylorreihe f (n) (x) = (x + nx + n(n ))e x. f(x 0 ) = (n + n + )e. n=0 e(n + n + ) (x ) n. n! Die Taylorreihe konvergiert gegen die Funktion f. Hierzu schauen wir uns den Restterm nach dem Satz von Taylor an: R n+ (x) = eξ (ξ + (n + )ξ + n(n + )) (x ) n+ (n + )! Für genügend großes n (z.b. n > ξ) und eine geeignete Konstante C (z.b. C > 4e ξ ) gilt n(n + ) R n+ (x) C (n + )! x n+ x n = C x (n )! für n, weil die Faktoren in (n )! immer größer werden. 0 5

e x e x x e x + e x (falls die Grenzwerte existieren), e x e x 1 e 2x = lim x 1

e x e x x e x + e x (falls die Grenzwerte existieren), e x e x 1 e 2x = lim x 1 Aufgabe a Hier kann man die Regel von de l Hospital zweimal anwenden (jeweils und die Ableitung des Nenners ist für hinreichend große x ungleich. Dies führt auf e x e x e x + e x e x + e x e x e x e x

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