Jan Auffenberg. Die Lösung der Bewegungsgleichung eines einzelnen Pendels liefert wie in Versuch M1 betrachtet die Eigenfrequenz der Pendel zu:

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1 Protokoll zu Veruch M: Gekoppelte Pendel. Einleitung Im folgenden Veruch werden Schwingungen von durch eine weiche Feder gekoppelten Pendeln unterucht, deren Schwingungebenen eich ind. Die chwache Kopplung durch die Feder hat periodiche Schwingungänderungen der Schwingungamplituden beider Pendel zur Folge, wa man al Schwebung bezeichnet.. heorie. Bewegungen von gekoppelten Pendeln Um die Bewegungen möicht genau mathematich bechreiben zu können, geht man von folgenden Annahmen au: - Beide Pendel chwingen in einer Ebene. - Beide Pendel beitzen die eiche Eigenfrequenz, d.h. auch die eiche Länge und die eiche Mae. - E werden nur kleine Aulenkungen unterucht, o daß in ϕ ϕ. - Man nimmt den horizontalen Abtand de Pendel von der Nullage al Aulenkung. Die Löung der Bewegungeichung eine einzelnen Pendel liefert wie in Veruch M betrachtet die Eigenfrequenz der Pendel zu: D m wobei mg D it. L Folich it die Schwingungdauer de einzelnen Pendel: π π m D Im Gegenatz zu dieen einzelnen Pendeln, bei denen die rücktreibende Kraft F D nur von der Mae und der Länge de Pendel owie der Erdbechleu-

2 nigung abhängt, wirken bei gekoppelten Pendeln zuätzlich noch Kräfte aufgrund der Kopplungfeder. Den Zuammenhang zwichen der Aulenkung de Pendel und der Aulenkung der Feder wird durch: l ( ' ') ( ) L bechrieben. Die Kraft die auf beide Pendel wirkt it alo: F, ± DF '( ' ') l D F D F ' o er- L hält man chließlich: Definiert man weiterhin: F ± D ( ) F, Damit ergeben ich die Newton chen Bewegungeichungen der Pendel zu: ( Pendel : m D DF ) ( Pendel : m D + DF ) Diee gekoppelten Differentialeichungen laen ich entkoppeln. Dazu ubtituiert man: z und z + und addiert und ubtrahiert beide Gleichungen. So erhält man: D + m z F z + z + z Hierau laen ich zunächt zwei Spezialfälle untercheiden:

3 a) Gleichinnige Bewegung Bei einer eichinnigen Bewegung werden beide Pendel eich augelenkt, e it alo: Man kann ofort erkennen, daß in dieem Fall die Frequenz der Schwingung der gekoppelten Pendel eich der Eigenfrequenz der Pendel it, d.h. b) Gegeninnige Bewegung Bei einer eninnigen Bewegung werden beide Pendel um den eichen Betrag, jedoch in entengeetzte Richtungen augelenkt, alo Die Frequenz dieer Schwingung beträgt: + m D F Will man die entkoppelten Differentialeichungen allgemein löen, o bedient man uch eine in co Anatze. E ind folich: z z Ain( t) + Bco( t C in( t) + Dco( t ) ) Setzt man al Anfangbedingungen vorau, daß nur eine der Pendel augelenkt it und daß ich beide Pendel in Ruhe befinden, o entpricht da: ( () () () ) Nach Einarbeiten dieer Randbedingungen in die oben bechriebenen Anätze erhält man AC. Die Löungen für die Aulenkungen ergeben ich wie folgt zu: 3

4 [ co( t) + co( t) ] [ co( t) + co( t) ] oder nach Anwendung von Additiontheoremen: co ( ) t co ( + ) t in ( ) t in ( + ) t Setzt man den Fall chwacher Kopplung vorau, kann man au dieen Ergebnien erkennen, daß co ( + ) t owie in ( + ) t zeitlich chnell verän- derliche und daß co ( ) t owie änderliche Größen ind. in ( ) t zeitlich langam ver- Diee bechreiben gerade da Schwebungphänomen, d.h. die Modulation der Amplitude der Pendelauchläge. Die Aulenkung olcher einer Schwingung it in Abb. 3 dargetellt. 4

5 Für die Schwingungdauer der Pendelchwingung gilt: 4π + Für die Schwebungdauer gilt: S 4π. Kopplunggrad a) Statiche Betimmung Zunächt einmal wird der Kopplunggrad tatich definiert al Quotient der Aulenkungen. Man gibt an einem Pendel eine Aulenkung vor und vereicht diee dann mit der Aulenkung de zweiten Pendel, alo it: k Im Gleichgewichtzutand it D DF ( ) Damit läßt ich der Kopplunggrad auch chreiben al: k DF D + D F b) Dynamiche Betimmung Der Kopplunggrad kann auch dynamich über die relative Frequenzaufpaltung, d.h. betimmt werden, da diee eine Funktion de Kopplunggrade it und e it: k D DF + DF + + 5

6 Diee läßt ich weiterhin umformen, o daß: + k k und chließlich: + k k Sind die Kopplunggrade hinreichend klein, o kann man die Reihenentwicklungen für die Wurzeln benutzen: + k + k k² + k³ k 3 + k + k² k³... Multipliziert man diee Entwicklungen o erhält man: k + k² + k³... 6

7 3. Bechreibung der Apparatur 3. Zubehör - Pendel - Stoppuhr - Kopplungfeder - Meßlatte - Rollbandmaß - Stativmaterial 3. Aufbau de Veruch Der Aufbau de Veruch it den Abbildungen bi 3 unter. zu entnehmen. 7

8 4. Durchführung de Veruch 4. Betimmung der Schwingungdauer der einzelnen Pendel Im folgenden werden die Ergebnie der Meung der Schwingungdauer der einzelnen Pendel dargetellt. Um die Schwingungdauer beer zu betimmen wurde die Dauer t von Schwingungen gemeen. E ergab ich: Pendel : Pendel : t (49,7,5) (,49,) ± ± t (49,9,5) (,5,3) ± ± Man kann alo ehen, daß innerhalb der Meßunicherheiten beide Pendel die eiche Schwingungdauer und damit auch die eiche Eigenfrequenz beitzen. Dadurch wird eine Anpaung nicht nötig, wa poitiv zu vermerken it, da ont die Pendel hätten zerägt werden müen. 4. Statiche Betimmung de Kopplunggrade In dieem Veruchteil wurde zur tatichen Betimmung de Kopplunggrade der gekoppelten Pendel eine Aulenkung am erten Pendel - alo - voreben und die dadurch hervorgerufene Aulenkung de zweiten Pendel alo - für verchiedene Kopplungen gemeen. Dabei ergaben ich folgende Ergebnie:. Kopplung. Kopplung 3. Kopplung, cm,8 cm, cm, cm, cm,5 cm 5, cm,7 cm 5, cm,9 cm 5, cm 3,8 cm, cm 3,7 cm, cm,5 cm, cm 4,9 cm 5, cm 4,6 cm 5, cm 3, cm 5, cm 6,3 cm 3, cm 5,6 cm 3, cm 3,8 cm 3, cm 7,5 cm l ( 36 ± )cm l ( 6 ± ) cm l ( 55 ± ) cm Alle in der abelle aufgeführten Aulenkungen wurden mit einer Unicherheit von ±,cm betimmt. 8

9 4.3 Meung der Schwingungdauern von gekoppelten Pendeln Im folgenden werden die Ergebnie der Meung der Schwingungdauer von gekoppelten Pendeln bei eichinniger und bei eninniger Bewegung dargetellt. Damit diee genauer betimmt werden können, wurden die Dauern Schwingungen jeweil 5 Mal gemeen. bzw. für. Kopplung. Kopplung 3. Kopplung 49, 4,8 49,6 4,5 49,3 38,7 49,4 4,7 49, 4,7 49,7 38,8 49, 4,6 49, 4,5 49,6 38,8 49,5 4,7 49, 4,5 49, ,6 4,7 49, 4,3 49,3 --- l ( 36 ± )cm l ( 6 ± ) cm l ( 55 ± ) cm Alle in der abelle aufgeführten Zeiten wurden mit einer Unicherheit von ±,5 betimmt. 4.4 Meung der Schwebungdauern der gekoppelten Pendel Im folgenden werden die Ergebnie der Meung der Schwebungdauer von gekoppelten Pendeln dargetellt. Damit diee genauer betimmt werden können, wurden die Dauern bzw. ind nur für 5 Schwebungen gemeen. für Schwebungen gemeen. Die farbigen Werte. Kopplung. Kopplung 3. Kopplung l ( 36 ± )cm l ( 6 ± ) cm l ( 55 ± ) cm Alle in der abelle aufgeführten Zeiten wurden mit einer Unicherheit von ± betimmt. 9

10 5 Auwertung 5. Betimmung der Kopplunggrade Au den unter 4. aufgeführten Meßwerten laen ich folgende Kopplunggrade entprechend der Formel k - berechnen.. Kopplung. Kopplung 3. Kopplung,8,,5,8,7,53,85,5,45,84,4,5,87,7,5 Mittelwert:,83,5,5 Standardabweichung:,3,3,3 Ab. Unicherheit:,,, Rel. Unicherheit:,8 %, %,5 % Endergebni: k,83, k,5, k,5, ± ± 3 ±

11 5. Berechnung der Schwebungdauer au den gemeenen Schwingungdauern für eich- und eninnige Bewegungen Zunächt werden hier die Mittelwerte der gemeenen Schwingungdauern für Schwingungen ermittelt und dann auf eine Schwingung umgerechnet. a) Schwingungdauern für eichinnige Bewegungen. Kopplung. Kopplung 3. Kopplung 49, 49,6 49,3 49,4 49, 49,7 49, 49, 49,6 49,5 49, 49,7 49,6 49, 49,3 Mittelwert: 49,4 49, 49,5 Standardabweichung:,,, Ab. Unicherheit:,,, Rel. Unicherheit:, %, %, % Zwichenergebni: (49,4 ±,) (49, ±,) (49,5 ±,) Endergebni: (,47 ±,) (,46 ±,) (,48 ±,) b) Schwingungdauern für eichinnige Bewegungen. Kopplung. Kopplung 3. Kopplung 4,8 4,5 38,7 4,7 4,7 38,8 4,6 4,5 38,8 4,7 4, ,7 4,3 --- Mittelwert: 4,7 4,5 38,8 Standardabweichung:,,, Ab. Unicherheit:,,, Rel. Unicherheit:, %, %, % Zwichenergebni: (4,7 ±,) (4,5 ±,) (38,8 ±,) Endergebni: (,4 ±,) (,3±,) (,94 ±,)

12 Au dieen Werten läßt ich die Schwebungdauer augehend von der Formel: S 4π berechnen. Damit folgen:. Kopplung: S ( 3,4 ±,4). Kopplung: S ( 3,8 ±,6) 3. Kopplung: S ( 7,8 ±,) Die gemeenen Schwebungdauern werden wie folgt augewertet:. Kopplung. Kopplung 3. Kopplung 3, 3,4 8, 3, 3,5 7,9 3, 3,4 7,8 3, 3,4 8, 3, 3,4 8, Mittelwert: 3, 3,4 8, Standardabweichung:,,, Ab. Unicherheit:,,, Rel. Unicherheit:, %, %,3 % Endergebni: S ( 3, ±,) S ( 3,4 ±,) S ( 8, ±,) Beim Vereich der gemeenen Schwebungdauern mit den berechneten Schwebungdauern bleibt zu agen, daß diee für alle Kopplungen im Bereich der Meßunicherheiten übereintimmen.

13 5.3 Berechnung der rel. Frequenzaufpaltung Die relative Frequenzaufpaltung läßt ich mit Hilfe der gemeenen Schwingung- und Schwebungdauern berechnen. Dabei it: 4π π S S Setzt man die zuvor betimmten Werte ein, o erhält man:. Kopplung:,6 ±, 3. Kopplung:,59 ±, 3. Kopplung:,78 ±, 4 3

14 5.4 Überprüfung de theoretichen Zuammenhang für die rel. Frequenzaufpaltung Um den theoretichen Zuammenhang zwichen der rel. Frequenzaufpaltung und der Reihenentwicklung k + k² + k³... zu überprüfen, wurden in Diagramm die ich au dieer Reihenentwicklungen ergebenen Werte en die zuvor au der Schwebungdauer errechneten aufgetragen. Diagramm : Rel. Frequenzaufpaltung - Reihenentwicklung en berechneten Wert,35,3,5 y,36 -,757 Entwickelte Werte,,5,,5,5,,5,,5,3,35 Berechnete Werte Würde die Reihenentwicklung eakt mit den zuvor berechneten Werten übereintimmen, o erwartete man eine Steigung der Aueichgeraden von. Wie in Diagramm zu ehen it, trifft die nicht zu, die Steigung amt graphich betimmter Unicherheit: c,3 ±, 4

15 5.5 Prüfung der Reihenentwicklung Im folgenden oll geprüft werden, für welchen Wertebereich die Reihenentwicklung k + k² + k³... kann auf Arten gechehen: von den eakten Werten um mehr al % abweicht. Die a) Graphich: In Diagramm ind die Kurven von,9,9 + k k und k + k² + k³... en k aufgetragen. Der Faktor,9 ergibt ich darau, daß man weiß, daß die Reihenentwicklung nach unten vom eakten Wert abweicht. Der Schnittpunkt beider geraden gibt gerade den Wert an, ab dem die Abweichung größer al % it. Diagramm : Abchätzung der Reihenentwicklung,4, rel. Frequenzaufpaltung,8,6,4 Reihenentwicklung 9% der eakten Werte,,,,3,4,5,6,7,8 Kopplunggrad k Man kann erkennen, daß ab einem Wert von etwa k,6 gerade die Abweichung größer al % it. 5

16 b) Numerich: Dieer Grenzwert läßt ich auch numerich errechnen. Beträgt die Abweichung genau % o gilt in dieem Fall: 9 + k k + k² + k³ 3 k Darau folgt: k + k² + k³ k k Eine analytiche Betimmung der Nulltelle diee Audrucke liefert ein Polynom 7. Grade, wa wir nicht unbedingt weiter verwenden möchten... Dafür laen wir un da Ergebni von unerem Rechner betimmen. Da Ergebni lautet: k,58 E it erichtlich, daß beide Methoden da eiche Ergebni liefern, wobei da errechnete eakter cheint. Da die von un betimmten Kopplunggrade liegen weit unter dieem Wert. 6

17 6. Dikuion Bei der Dikuion de Veruch muß man generell agen, daß die von un erreichten Ergebnie durchau den Erwartungen entprechen. Bei den Kopplunggraden wird deutlich, daß dieer von der Poition der Feder abhängig it. Je kleiner die Länge l it, deto kleiner it auch der Kopplunggrad. Die Schwingungdauern der gekoppelten Pendel bei eichinnigen Bewegungen timmen mit den Eigenchwingungen der einzelnen Pendel überein, wa den theoretichen Überlegungen entpricht. Auffallend ind jedoch bei allen Meungen ehr kleine Unicherheiten. Wenn man ich die Realität de Veruch mal vor Augen hält, o muß man fettellen, daß fat alle der von un durchgeführten Meungen nur ehr ungenau waren. Da gilt vor allem für die Vorgabe von Aulenkungen, die mit Hilfe der Meßlatte nur grob abgechätzt werden konnten. Auch die Zeitmeung mit Stoppuhr und Praktikantenreaktionzeit birgt größere Unicherheiten al z.b., %. Unerer Meinung nach it die wenig realitich. Die Unteruchung der Reihenentwicklung hat gezeigt, daß diee tatächlich nur für kleine Kopplunggrade ohne größere Abweichungen anwendbar it. 7