Kaufmännische Berufsmatura 2017

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1 Kaufmännische Berufsmatura 07 Serie a: Lösungen Serie a - Lösungen Prüfungsdauer: Max. zahl: 50 Minuten 00 Bewertungshinweise: Mehrfachlösungen sind nicht gestattet. Als Resultate gelten nur eindeutig gekennzeichnete Zahlen, Mengen oder Sätze. Die Diagramme müssen korrekt beschriftet sein. Bei fehlenden Antwortsätzen oder Lösungsmengen werden abgezogen. Bei den einzelnen Ausrechnungsteilschritten gilt allgemein:. Fehler: Abzug von 50% der maximalen Punktzahl dieses Teilschritts. Fehler: 0 für diesen Teilschritt Es gibt keine halben. Ist bei grafischen Lösungen die zugrundeliegende Funktionsgleichung falsch, diese falsche Funktion jedoch korrekt gezeichnet, müssen die für die grafische Darstellung gegeben werden. Als Grundlage gilt das Dokument : Hinweise zur Lösungsdarstellung vom Dieser Lösungs- und Bewertungsschlüssel darf nur von -Lehrenden kaufmännischer Berufsschulen verwendet werden. Insbesondere darf er in späteren Jahren im Unterricht zu Übungszwecken nicht : kopiert und an Lernende abgegeben werden. Jede weitere Verwendung der Originalprüfung wie auch dieses Schlüssels bedarf der Bewilligung der Kommission Kaufmännische Berufsmatura, Kt. ZH. Kommerzielle Verwendung - auch nur auszugsweise - bleibt untersagt. Seite von 4

2 Kaufmännische Berufsmatura 07 Serie a: Lösungen Aufgabe a) Die Tageseinnahmen eines Kinderzirkus betrugen CHF ' Eine Eintrittskarte für Erwachsene kostet CHF 8.50, eine für Kinder CHF Wie viele Erwachsene und Kinder besuchten den Zirkus, wenn insgesamt 50 Besucher gezählt wurden? (6) x: Anz. Erwachsene, y: Anz. Kinder x + y = x + 5.5y = 55 x = 50, y = Erwachsene und 00 Kinder besuchten den Zirkus. Var. : Var. : Fehlende Variablendefinition Fehlender Antwortsatz - - b) Ermitteln Sie die Definitions- und die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems. (G = R R) (6) () () 3 x y+3 = 0 x + y+6 = D x = R\{4}, D y = R\{ 3} Erste Variable Zweite Variable x = 8; y = 7 3 L = {(8/ 7 3 )} Lösungsmenge nicht korrekt oder fehlend - Seite von 4

3 Kaufmännische Berufsmatura 07 Aufgabe Serie a: Lösungen 8 Bei der Produktion von 50 Päckchen Gummibärchen fallen Gesamtkosten von CHF an, 400 Päckchen kosten insgesamt CHF Ein Päckchen wird für CHF.5 verkauft. a) Bestimmen Sie die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion. Berechnen Sie ebenfalls die Gewinnschwelle. (7) Kosten: y K = 0.5x Erlös: y E =.5x Gewinn: y G = 0.75x 500 Gewinnschwelle:.5x = 0.5x x = 000 Die Gewinnschwelle wird bei 000 Päckchen Gummibärchen erreicht. 3 Fehlender Antwortsatz - b) Stellen Sie den Sachverhalt von Aufgabe a grafisch vollständig dar. (5) K: E: G: Fehlende oder unvollständige Achsenbeschriftung Fehlende oder unvollständige Geradenbeschriftung - - Seite 3 von 4

4 Kaufmännische Berufsmatura 07 Serie a: Lösungen c) Wie viele Päckchen Gummibärchen müssen produziert und verkauft werden, damit ein Gewinn von CHF erwirtschaftet wird? () Gewinn: = 0.75x 500 x = Es müssen Päckchen hergestellt und verkauft werden. Fehlender Antwortsatz - d) Neu möchte der Betrieb die Gewinnschwelle bereits bei 00 Päckchen erreichen. Zu welchem Preis muss ein Päckchen Gummibärchen verkauft werden, damit dies erreicht wird? () Kosten: y K = 0.5x = = 00 Erlös neu: m 00 = 00 m =.75 Ein Päckchen muss für CHF.75 verkauft werden. Fehlender Antwortsatz - e) Bei einer Produktion von mehr als 500 Päckchen Gummibärchen können die Kosten optimiert werden. Die variablen Stückkosten betragen für die zusätzlichen Päckchen nur noch 80% der ursprünglichen Stückkosten. Bestimmen Sie die neue Kostenfunktion ab 500 Päckchen. () y K = 0.4(x 500) oder y K = 0.4x Seite 4 von 4

5 Kaufmännische Berufsmatura 07 Serie a: Lösungen Aufgabe 3 8 Ein Bauer möchte aus Äpfeln und Birnen Süssmost pressen. Er muss mindestens 50 kg Äpfel und kann höchstens 80 kg Birnen verarbeiten. Er benötigt mindestens 30 Liter Süssmost, wobei pro 00 kg Obst 80 Liter Saft gepresst werden können. Damit der Most bekömmlich ist, soll er mindestens gleich viele Äpfel wie Birnen, höchstens aber 50% mehr Äpfel als Birnen enthalten. Das Pressen von 00 kg Äpfeln kostet den Bauern CHF 0.00, für 00 kg Birnen beträgt sein Aufwand CHF a) Erstellen Sie das lineare Programm (x = Menge Äpfel in kg, y = Menge Birnen in kg) und formulieren Sie die Zielfunktion für die minimalen Kosten. Ohne Grafik! (7) () x 50 () y 80 (3) x + y 400 (4) y x (5) x.5y (z) z =.x +.8y b) Ein Jahr später hat er auf das Kaufverhalten reagiert und seine Produktionsdaten angepasst. Das neue lineare Programm lautet nun: (7) () x 40 () y 360 (3) x + y 300 (4) y 3x (5) x 3y (z) z =.6x + 0.8y Erstellen Sie ein entsprechendes Planungspolygon mit Zielfunktion für die minimalen Kosten. Seite 5 von 4

6 Kaufmännische Berufsmatura 07 Serie a: Lösungen Je Gerade Polygon z min & P min Fehlende Beschriftungen (Achsen,, Gerade) -, max. -3 b) Wie viele Kilogramm von jeder Obstsorte muss der Bauer pressen, um die Kosten minimal zu halten? () P min: (3) geschnitten mit (4) x = 3x x = 75 y = 5 Er muss 75 kg Äpfel und 5 kg Birnen pressen. Fehlender Antwortsatz - b3) Wie viel kostet ihn Liter Most bei der günstigsten Zusammensetzung? () z = = 300 (für 300 kg, entspricht 40 Liter Most) Kosten pro Liter: 300/40=.5 Ein Liter Most kostet den Bauern CHF.5. Fehlender Antwortsatz - Seite 6 von 4

7 Kaufmännische Berufsmatura 07 Aufgabe 4 Serie a: Lösungen 4 Ermitteln Sie die Definitions- und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. (G = R) 5(x 3) 4x 3 = 3x 5 D = R\ { 3 } 4 5(x 3) 4x 3 = 3x 5 (4x - 3) 0x 5 = (3x 5)(4x 3) 0x 5 = x 9x = x 39x = 4x 3x ± x, = 8 x = ; x = 5 4 L = {; 5 4 } Keine oder falsche Lösungsmenge - Seite 7 von 4

8 Kaufmännische Berufsmatura 07 Aufgabe 5 Serie a: Lösungen 3 Gegeben ist eine quadratische Funktion f : y = x x + und eine lineare Funktion f : y = x + 9. a) Bestimmen Sie die Nullstellen beider Funktionen. (3) Nullstellen f : 0 = x x + N (-4 / 0) N (3 / 0) Nullstelle f : N 3(-9 / 0) b) Berechnen Sie den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion. () Scheitelpunkt: S(-0.5 /.5) Punktdarstellung formal nicht korrekt - c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Funktionen. (4) x + 9 = x x + x + x 3 = 0 x = x = -3 y = 0 y = 6 S (/0) S (-3/6) Punktdarstellung formal nicht korrekt - Seite 8 von 4

9 Kaufmännische Berufsmatura 07 Serie a: Lösungen d) Stellen Sie die beiden Funktionen grafisch dar und kennzeichnen Sie alle berechneten. (4) f : 3 f : Fehlende Beschriftungen (Achsen,, Funktionen) -, max. - Seite 9 von 4

10 Kaufmännische Berufsmatura 07 Aufgabe 6 Serie a: Lösungen 5 Gegeben ist folgende Parabel p. Bestimmen Sie ihre Funktionsgleichung. y = ax + bx 6 N : 0 = a ( 5) + b ( 5) 6 N : 0 = a 3 + b 3 6 a = 0.4; b = 0.8 y = 0.4x + 0.8x 6 Fehlende Funktionsgleichung - Seite 0 von 4

11 Kaufmännische Berufsmatura 07 Aufgabe 7 Serie a: Lösungen 6 a) Ein KMU hat im Jahr 009 sämtliche Büros für CHF neu möbliert. In der Steuererklärung für das Jahr 05 beträgt der Buchwert des Mobiliars noch CHF Zu welchem degressiven Abschreibungssatz in % wird das Büromobiliar abgeschrieben? (3) = q A q A = 0.75 p = 5 Der Abschreibungssatz von Büromobiliar beträgt 5%. Fehlender Antwortsatz - b) Firmenautos werden steuerlich in der Regel mit 40% degressiv abgeschrieben. In einer Firma werden die Wagen ersetzt, wenn ihr Wert unter einen Zehntel des Anschaffungspreises gesunken ist. Wie lange werden die Firmenautos, auf ganze Jahre gerundet, durchschnittlich gefahren? (3) 0 = 0.6n n 4.5 Die Wagen werden durchschnittlich 5 Jahre lang gefahren. Fehlender Antwortsatz - Seite von 4

12 Kaufmännische Berufsmatura 07 Aufgabe 8 Serie a: Lösungen 5 Petra zahlte auf ihr Sparkonto zusätzlich zum bereits angelegten Guthaben Anfang 00 CHF ein. Anfang 03 zahlte sie nochmals CHF ein. Ende 06 ist das Guthaben auf ihrem Sparkonto, welches während der gesamten Zeit zu % verzinst worden ist, auf CHF angewachsen. Wie gross war der Kontostand vor der ersten Einzahlung von CHF am Anfang des Jahres 00? (5) x = Kontostand Anfang 00 vor Einzahlung von CHF in CHF (x ) = x = x = Am Anfang des Jahres 00 betrug das Guthaben CHF Fehlender Antwortsatz - Seite von 4

13 Kaufmännische Berufsmatura 07 Aufgabe 9 Serie a: Lösungen Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich. a) a +a 6 a 4 : ( a+ a+ ) (5) (a + 3)(a ) (a + ) (a + ) : (a + )(a ) (a + )(a + ) = a+3 (a+)(a+) a+ a+3 = a + b) ( b 3 a ) b b 8 a 6 (4) = b a b 3b 4 3a = a 3 c) log a (8a) + log a ( a ) log a ( 4 a ) (3) log a ( 8a a a 4 ) = log a(a 3 ) = 3 Seite 3 von 4

14 Kaufmännische Berufsmatura 07 Serie a: Lösungen Aufgabe 0 7 Ermitteln Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. (G = R) a) 3 x = 7 x (3) 3 x = 3 6 3x (oder logarithmieren) x = 6 3x 4x = 8 x = L = {} Fehlende Lösungsmenge - b) 3 6 x 3 = 5 x (4) log(3) + (x 3) log(6) = (x) log(5) log(3) 3 log(6) = (x) log(5) (x) log(6) log(3) 3 log(6) = x( log(5) log(6)) x = x 3 log(3) 3log (6) log(5) log (6) =.9967 L = { 3} Fehlende Lösungsmenge - Seite 4 von 4