Grundlagen Algebra. Bruchgleichungen

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1 Bruchgleichungen EL / GS _Bruchgl.mc Definition: Eine Gleichung, bei er eine Variable x auch im Nenner vorkommt, ohne ass man sie kürzen kann, heißt Bruchgleichung. Bezeichnung: Gleichungen, ie ie gleiche Lösungsmenge haben, heißen äquivalent. Bestimmung er Lösungsmenge: Man löst eine Bruchgleichung, inem man ie Definitionsmenge bestimmt (Nenner ungleich Null), ie Gleichung mit em Hauptnenner multipliziert un ie so entstehene Gleichung löst. Definition: Eine Gleichung a x b c x 0 mit a,b,c, IR un c x 0 heißt lineare Bruchgleichung. Bestimmung er Lösungsmenge: () Man löst ie Bruchgleichung a x c x bestimmt, ie Gleichung mit em Hauptnenner c x 0 multipliziert un ie so entstehene Gleichung a x b 0 löst. () Man löst ie Bruchgleichung a x b c x b 0, inem man ie Definitionsmenge ID IR \ { } c k (k Konstante), inem man ie Definitions- menge ID IR \ { } bestimmt un ie Bruchgleichung in ie Form a x b c c x k 0 bringt. Die linke Seite wir soann auf en Hauptnenner gebracht, beie Terme zusammengefasst un ie neue Gleichung A x B 0 nach Schema () gelöst. c x Beispiele azu siehe auf en nächsten Seiten. /

2 Aufgabe : x ID IR \ { } x auflösen, x IL { } Durch Multiplizieren mit em Nenner Umformung er Bruchgleichung in eine lineare ( x ) auflösen, x Darstellung er Gleichung mit : l( x) : r( x) : ( x ) vereinfachen x Bestimme iejenigen x-werte, für ie gilt: ( x) 0 ( x) 0 auflösen, x Graphische Lösung er Gleichheit er Funktionswerte Definitionslücke x - l(x) r(x) Projektion auf x-achse Lösung x Graph von (x) l(x) - r(x) Definitionslücke x - Lösung x - /

3 Aufgabe : ID IR \ { ; } auflösen, x 5 IL { 5 } Durch Multiplizieren mit em Hauptenner Umformung er Bruchgleichung in eine lineare ( ) Darstellung er Gleichung mit : l( x) : ( ) r( x) : vereinfachen 0 Bestimme iejenigen x-werte, für ie gilt: ( x) 0 ( x) 0 auflösen, x 5 Graphische Lösung er Gleichheit er Funktionswerte Definitionslücke x Definitionslücke x l(x) r(x) Projektion auf x-achse Lösung x Graph von (x) l(x) - r(x) Definitionslücke x Definitionslücke x Lösung x 5 /

4 Aufgabe : ( x ) ( ) x Darstellung er Gleichung mit : l( x) : x ( x ) ( x ) x auflösen, x 0 x ID IR \ { ; } IL { 0 } Durch Multilpizieren mit em Hauptnenner Umformung er Bruchgleichung in eine lineare r( x) : Bestimme iejenigen x-werte, für ie gilt: ( x) 0 ( x) 0 auflösen, x 0 Graphische Lösung er Gleichheit er Funktionswerte 0 Definitionslücke x Definitionslücke x l(x) r(x) Projektion auf x-achse Lösung x 0 0 Graph von (x) l(x) - r(x) Definitionslücke x Definitionslücke x Lösung x 0 /

5 Aufgabe : x x x 9 ID IR \ { ; } x x auflösen, x x x 9 IL ID Durch Multilpizieren mit em Hauptnenner Umformung er Bruchgleichung in eine lineare ( x ) ( ) x x x also eine Ientität Darstellung er Gleichung mit : l( x) : x r( x) : x Bestimme iejenigen x-werte, für ie gilt: ( x) 0 Graphische Lösung er Differenzfkt. ist urchlöcherte x-achse 0 Graph von (x) l((x) - r(x) Definitionslücke x - Definitionslücke x Lösung IL ID Definitionslücke ist keine Lösung 5 /

6 Aufgabe 5: x x ID IR\ { ; 0 ; } x x auflösen, x x IL { } Durch Multilpizieren mit em Hauptnenner Umformung er Bruchgleichung in eine quaratische x ( x ) x ( ) ( x ) ( ) Darstellung er Gleichung mit : l( x) : x ( x ) x ( ) r( x) : ( x ) ( ) vereinfachen Graphische Lösung er keine Gleichheit er Funktionswerte 0 0 Definitionslücke x - Definitionslücke x Definitionslücke x 0 Graph von (x) l(x) - r(x) Definitionslücke x Definitionslücke x Definitionslücke x 0 /